Curvas Técnicas

by Alfonso Medina

​CURVAS

TÉCNICAS

​Las curvas técnicas (óvalos, ovoides y espirales) están formadas por arcos de circunferencia tangentes entre sí.

Los óvalos y ovoides son curvas planas y cerradas, ya que empiezan y terminan en el mismo punto, compuestas por cuatro arcos de circunferencia tangentes interiores dos a dos. Los óvalos tienen dos ejes de simetría, mientras que el ovoide (llamado así por su forma de huevo) tan solo dispone uno. Es particularmente interesante que aprendáis a construir el óvalo que sustituye a la elipse en la perspectiva isométrica, y que sería la representación en ese sistema de representación de la circunferencia.

​Las espirales son curvas abiertas y planas generadas por un punto que se aleja del núcleo, aumentando constantemente su radio de giro.

 

​El Óvalo

​Dado el el eje mayor:

​Hay varias formas de construir un óvalo a partir del eje mayor. Aquí veremos dos casos.

1. ​Dividimos en tres partes iguales el eje mayor aplicando el teorema de Thales. Las divisiones C y D son los dos centros de los arcos menores.

2. ​​Se trazan dos circunferencias auxiliares con centro en C y D, y radio 1/3 del eje AB. Éstas se cortan En E y F, centros de los arcos mayores.

3. ​A continuación se hallan los puntos de enlace de os arcos, uniendo E y F con C y D. Salen así G H I J.

4. ​Los arcos mayores tienen de radio el diámetro de las circunferencias.

​4. Por último, se resalta el contorno con mayor grosor, y ya está terminado.

​Dado el eje mayor.2º método.

División del eje en 4 partes iguales y mediatriz:

1. ​Dado AB, eje mayor, lo dividimos en cuatro partes obteniendo O1 y O2 en las divisiones más cercanas a A y B. Con centro en el punto medio del eje mayor, trazamos una circunferencia cuyo radio mida la cuarta parte de dicho eje que corta a la mediatriz de AB en O3 Y O4 centro de los arcos simétricos respecto de AB.

2. ​Para determinar los puntos de enlace y radios de estos dos últimos arcos, unimos los centros correspondientes como en el ejercicio precedente.

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​La Espiral de Fibonacci: una aproximación de la espiral áurea generada dibujando arcos circulares de 90º, conectando las esquinas opuestas de los cuadrados ajustados a los valores de la sucesión; adosando sucesivamente cuadrados de lado 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21 y 34. De hecho, cuanto más grandes los números de Fibonacci, más cerca está la aproximación.

​Óvalo conociendo su eje menor:

​Los extremos del eje menor dado serán centros de dos de los cuatro arcos de este óvalo (O3 y O4) y cuyo radio será igual al propio eje menor. Trazamos una circunferencia auxiliar de diámetro igual al eje menor dado que cortará a su mediatriz en los puntos O2 y O1, centros de los dos arcos restantes.

​Los puntos de enlace se calculan uniendo centros y con ellos los radios de los arcos de centros O1 y O2, arcos que cortarán a la mediatriz del eje menor en A y B, extremos del eje mayor. 

​Dados los dos ejes del óvalo:

1. ​Se centran los dos ejes con sus mediatrices. Después se unen los extremos A y C, y se lleva desde el centro del óvalo, sobre el eje menor el semieje mayor. Sale así E.

2. ​Con centro en C y radio CE, se hace un arco hasta cortar a AC en X.

3. ​A continuación, la mediatriz de de AX cortará en el eje mayor en O₁ y a la dirección del eje menor en O_4. Los centros O₂ y O₃ se consiguen por simetría.

4. ​Finalmente, se unen O₃ y O₄ con O₁ y O₂ respectivamente, y se terminan los arcos como en casos anteriores.

​El Ovoide:

Es una curva cerrada y plana compuesta por dos arcos de circunferencia de igual radio, y otros dos de distinto radio, uno de ellos una semicircunferencia. Tiene un eje de simetría que contiene a los centros de los arcos desiguales. Se denomina diámetro en el ovoide al diámetro de la semicircunferencia normal al eje.

Ovoide dado el diámetro :

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1. ​Se traza la mediatriz del diámetro AB, y se dibuja la circunferencia. Los centros de los arcos simétricos están situados en los extremos del diámetro(A y B serían O₃ y O₄). El centro de la semicircunferencia (O₁) está en la mitad de AB, y el centro del arco menor, O_2, en la circunferencia, sobre la mediatriz de AB.

2. ​Se unen A y B (O₃ y O₄) con O₂. En estas direcciones estarán los puntos de enlace de los arcos simétricos con los del arco menor.

3. ​Finalmente, se trazan los arcos simétricos con radio igual al diámetro AB, se realiza el arco menor con centro O₂, y se resalta el contorno del ovoide.

Ovoide dado el eje de simetría :

​

1. ​Se divide el eje en seis partes iguales. La división 2 será el centro O₁ de la semicircunferencia, y la división 5 el centro O₂ del arco menor.

2. ​Se unen O₁ y C (1/3 del eje) y se dibuja la semicircunferencia.

3. Con centro en O₁ y radio hasta D (2/3 del eje) se ​dibuja una semicircunferencia que corte a la dirección del diámetro en los centros O₃ y O_4.

4. ​Se termina de manera similar al caso anterior uniendo O₃ y O₄ con O₂, y se termina el trazado de los arcos del ovoide como vemos en la siguiente figura.

​La espiral:

​Una espiral es una curva abierta y plana que da vueltas alrededor de un punto alejándose de él. El paso de la espiral es la distancia entre dos vueltas o espiras consecutivas.

A las espirales también se les denomina volutas, aunque una voluta también podría llamarse espiral poligonal o falsa espiral de n centros. Una espiral poligonal es una curva formada por arcos tangentes interiores entre sí con centros en los vértices de un polígono.

​Voluta de dos centros:

​Sobre una recta situamos los dos centros a la distancia deseada. La distancia entre los centros, aquí es igual a la mitad del paso.

1º- Con centro en 1 y radio 1-2 trazamos una semi-circunferencia que nos da el punto A.

2º- Con centro en 2 y radio 2-A trazamos una semi-circunferencia, en el lado opuesto a la primera. Obtenemos punto B.

3º- Con centro en 1, de nuevo, trazamos una semicircunferencia de radio 1-B, obteniendo el punto C.

Se trata de alternar los centros 1 y 2, trazando semicircunferencias, siempre en el mismo lado para cada centro y abriendo el compás el radio máximo posible en cada paso. Al emplear todos los centros se obtiene una vuelta o espira.

​Voluta de 6 puntos

​1º- Dividimos la circunferencia en un numero de partes iguales (en este caso la hemos dividido en doce partes iguales.

2º- Dividimos un radio en el mismo número de partes iguales. Este radio, por ejemplo, se divide en 12 y en su extremo perteneciente a la circunferencia tendrá el último punto que obtengamos de la espiral. El radio se divide en el mismo nº de partes que la circunferencia, así que en 12 también.

3º- Llevamos la distancia desde el centro de la circunferencia hasta la división del radio nº1 al radio divisor nº1.

4º- Llevamos la distancia desde el centro hasta la división del radio nº2 al radio divisor nº 2.

5º- Así procedemos sucesivamente con todos los radios divisores. Cada punto obtenido sobre las divisiones de la circunferencia es un punto de la espiral que trazamos a mano alzada.

​Espiral de Arquímedes

​Espiral Logarítmica

​La espiral de Durero queda encajada en un rectángulo áureo, por lo que necesitamos recordar como trazar este rectángulo.

​En cualquier caso finalmente obtenemos un rectángulo áureo que contiene un cuadrado y otro rectángulo áureo.

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​La Espiral Áurea:

​Este rectángulo áureo más pequeño podemos dividirlo en otro cuadrado y otro rectángulo áureo menor. Este proceso podemos repetirlo cuantas veces deseemos o podamos. De igual modo podemos añadir al lado mayor un cuadrado para conseguir otro rectángulo áureo mayor succesivamente.