MME - Aula 1: Nivelamento Números Complexos - Parte 1

MME - Aula 1: Nivelamento Números Complexos

By LUIS CLAUDIO LA

​MME = Métodos Matemáticos para Engenharia

Você sabia?

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No próximo slide você verá um vídeo que fala da história da equação de 2º grau...

​Um pouco de história...

​A notação que vê à esquerda usando letras para representar números desconhecidos, foi desenvolvida no Século XVI com um francês chamado François Viète (1540-1603) e Bhaskara viveu no Século XII (1114-1185).

Vamos ​ver um pouco desta história?

Scipione del Ferro (1465-1525)

Professor da Universidade de Bologna e conheceu Pacioli quando este visitou Bologna nos anos 1501 e 1502.

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​

Del Ferro conseguia resolver a equação cúbica na forma x³+px+q=0

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​Um pouco de história...

Antônio Maria FIOR​

Consta que, por volta de 1510, um matemático italiano de nome Scipione del Ferro encontrou uma forma geral de resolver equação do tipo x³+px+q=0, mas morreu sem publicar sua descoberta.

​

Seu aluno, Antônio Maria FIOR conhecia tal solução e tentou ganhar notoriedade com ela. Na época era comum os desafios entre sábios.

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​Um pouco de história...

​Niccolo Fontana TARTÁGLIA

FIOR espalhou a notícia e logo Niccolo de Brescia (<= Cidade), conhecido como Tartaglia conseguiu resolver equações da forma x³+mx²=n e também espalhou a notícia.

​

FIOR desafiou Tartaglia para uma disputa pública e cada um podia dar ao outro 30 problemas com 40 ou 50 dias para resolvê-los. Niccolo Tartaglia resolveu todos os problemas em poucos dias... Será que ele sabia de algo?

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​Um pouco de história...

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​Um pouco de história...

​O que Tartaglia tinha percebido foi que em toda equação de 3º grau pode ser transformada em outra mais simples fazendo uma mudança de variável. Veja....

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​Um pouco de história...

Depois, na nova equação, uma nova mudança de variável e ficou com o seguinte...

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​Um pouco de história...

Depois, na nova equação, uma nova mudança de variável e ficou com o seguinte...

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​Um pouco de história...

Resumo:

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Esta fórmula é conhecida como fórmula de Cardano-Tartáglia

​Um pouco de história...

Uma nova personagem

Girolamo Cardano (1501-1576) conseguiu, depois de uma visita ao Niccolo Fontanta Tartaglia, ver todo o desenvolvimento até encontrar a fórmula para resolver equações de 3º grau.

​

Muito inteligente, apenas com o que ele viu, conseguiu refazer sozinho o caminho até chegar à solução.​

​

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​Um pouco de história...

Ars Magna

Em 1545 Girolamo Cardano (1501-1576) publica um livro chamado Ars Magna em que mostra como a equação de 3º grau pode ser resolvida e com isso, trouxe para si a fama de ter conseguido encontrar esta fórmula.

​

Detalhe, você pode comprar esse livro na Amazon hoje, sabia? Clique AQUI.​

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​Um pouco de história...

A batalha das equações cúbicas

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​Um pouco de história...

A semente

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​Um pouco de história...

A semente

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​Um pouco de história...

A semente

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Veja os detalhes deste cálculo e toda a história NESTE ARTIGO.

​Um pouco de história...

A semente

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​Um pouco de história...

Mas... Por que não usamos esta fórmula?

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Números Complexos​

Definição (moderna)

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Números Complexos​

Exemplos

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Números Complexos​

Operações com os números complexos

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Números Complexos​

As operações com os números complexos são as mesmas que são feitas com binômios lá na antiga 7ª Série (8º Ano hoje). A única coisa que deve atentar é que todas as vezes que aparecer i² isso deve ser igual a -1.

​

Adição e Subtração

(x+i.y) + (a+i.b)=x+a+i (y+b)​

​

​Exemplo: 2+3i + 5-4i = 2+5 + i.(3-4)=7+i.(-4)=7-4.i

Multiple Choice

Se $$z_1=-7+3i$$   e $$z_2=3+4i$$   então $$z_1+z_2$$   será igual a

• $$4+7i$$  

• $$-4+7i$$  

• $$4-7i$$  

• $$-4-7i$$  

Multiple Choice

Se $$z_1=5-4i$$   e $$z_2=-8-5i$$   então $$z_1-z_2$$   será igual a

• $$3-9i$$  

• $$-3+9i$$  

• $$13+i$$  

• $$-13-i$$  

Operações com os números complexos

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Números Complexos​

Multiplicação

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(x+i.y)*(a+i.b)=xa+i.xb+i.ya+i².yb​=xa+i.(xb+ya)+(-1).yb​=xa-yb+i.(xb+ya)

​

​Exemplo: (2+3i).(5-4i) = 2x5-2x4.i+5x3i-3x4.i² = 10-8.i+15.i-12.(-1)

= 10-8.i+15.i+12= 10+12-8.i+15.i= 22+7.i

​

Basicamente você faz a multiplicação como se estivesse multiplicando dois binômios...

​

Multiple Choice

Se $$z_1=2+7i$$   e $$z_2=3-4i$$   então $$z_1\cdot z_2$$   será igual a

• $$6+28i$$  

• $$-22+13i$$  

• $$6-28i$$  

• $$34+13i$$  

Operações com os números complexos

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Números Complexos​

Operações com os números complexos

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Números Complexos​

Multiple Choice

Qual o módulo do número complexo $$z=-6+4i$$ ?

• $$\sqrt{52}$$  

• $$-\sqrt{52}$$  

• $$\sqrt{20}$$  

• $$-\sqrt{20}$$  

Operações com os números complexos

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Números Complexos​

Operações com os números complexos

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Números Complexos​

Multiple Choice

Se $$z=5-7i$$  , qual é o conjugado de z?

• $$-5+7i$$  

• $$5-7i$$  

• $$5+7i$$  

• $$-5-7i$$  

Multiple Choice

Se $$z=5-7i$$  , o que obtemos com o produto $$z.\overline{z}$$  ?

• $$74$$  

• $$-24$$  

• $$25+49i$$  

• $$25-49i$$  

Multiple Choice

Se $$z=-3+2i$$  , o que obtemos com o produto $$z.\overline{z}$$  ?

• $$13$$  

• $$-5$$  

• $$-9+4i$$  

• $$9+4i$$  

Finalizando...

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Veja os detalhes deste cálculo e toda a história NESTE ARTIGO.

Números Complexos​

Falaremos sobre a divisão entre números complexos na próxima aula.

​

Aguardem...

​;-)