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MME - Aula 1: Nivelamento Números Complexos - Parte 1

MME - Aula 1: Nivelamento Números Complexos - Parte 1

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Mathematics

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LUIS CLAUDIO LA

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29 Slides • 7 Questions

1

MME - Aula 1: Nivelamento Números Complexos

By LUIS CLAUDIO LA

​MME = Métodos Matemáticos para Engenharia

2

Você sabia?

Subject | Subject

No próximo slide você verá um vídeo que fala da história da equação de 2º grau...

​Um pouco de história...

​A notação que vê à esquerda usando letras para representar números desconhecidos, foi desenvolvida no Século XVI com um francês chamado François Viète (1540-1603) e Bhaskara viveu no Século XII (1114-1185).

Vamos ​ver um pouco desta história?

3

4

Scipione del Ferro (1465-1525)

Professor da Universidade de Bologna e conheceu Pacioli quando este visitou Bologna nos anos 1501 e 1502.

Del Ferro conseguia resolver a equação cúbica na forma x³+px+q=0

Subject | Subject

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​Um pouco de história...

5

Antônio Maria FIOR​

Consta que, por volta de 1510, um matemático italiano de nome Scipione del Ferro encontrou uma forma geral de resolver equação do tipo x³+px+q=0, mas morreu sem publicar sua descoberta.

Seu aluno, Antônio Maria FIOR conhecia tal solução e tentou ganhar notoriedade com ela. Na época era comum os desafios entre sábios.

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​Um pouco de história...

6

Niccolo Fontana TARTÁGLIA

FIOR espalhou a notícia e logo Niccolo de Brescia (<= Cidade), conhecido como Tartaglia conseguiu resolver equações da forma x³+mx²=n e também espalhou a notícia.

FIOR desafiou Tartaglia para uma disputa pública e cada um podia dar ao outro 30 problemas com 40 ou 50 dias para resolvê-los. Niccolo Tartaglia resolveu todos os problemas em poucos dias... Será que ele sabia de algo?

Subject | Subject

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​Um pouco de história...

7

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​Um pouco de história...

media

​O que Tartaglia tinha percebido foi que em toda equação de 3º grau pode ser transformada em outra mais simples fazendo uma mudança de variável. Veja....

8

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​Um pouco de história...

Depois, na nova equação, uma nova mudança de variável e ficou com o seguinte...

media

9

Subject | Subject

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​Um pouco de história...

Depois, na nova equação, uma nova mudança de variável e ficou com o seguinte...

media

10

Subject | Subject

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​Um pouco de história...

media

11

Resumo:

Subject | Subject

Esta fórmula é conhecida como fórmula de Cardano-Tartáglia

​Um pouco de história...

12

Uma nova personagem

Girolamo Cardano (1501-1576) conseguiu, depois de uma visita ao Niccolo Fontanta Tartaglia, ver todo o desenvolvimento até encontrar a fórmula para resolver equações de 3º grau.

Muito inteligente, apenas com o que ele viu, conseguiu refazer sozinho o caminho até chegar à solução.​

Subject | Subject

...

​Um pouco de história...

media

13

Ars Magna

Em 1545 Girolamo Cardano (1501-1576) publica um livro chamado Ars Magna em que mostra como a equação de 3º grau pode ser resolvida e com isso, trouxe para si a fama de ter conseguido encontrar esta fórmula.

Detalhe, você pode comprar esse livro na Amazon hoje, sabia? Clique AQUI.​

Subject | Subject

...

​Um pouco de história...

media

14

A batalha das equações cúbicas

Subject | Subject

...

​Um pouco de história...

media

15

A semente

Subject | Subject

...

​Um pouco de história...

media

16

A semente

Subject | Subject

...

​Um pouco de história...

17

A semente

Subject | Subject

Veja os detalhes deste cálculo e toda a história NESTE ARTIGO.

​Um pouco de história...

18

A semente

Subject | Subject

Veja os detalhes deste cálculo e toda a história NESTE ARTIGO.

​Um pouco de história...

19

Mas... Por que não usamos esta fórmula?

Subject | Subject

Veja os detalhes deste cálculo e toda a história NESTE ARTIGO.

Números Complexos​

20

21

Definição (moderna)

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Veja os detalhes deste cálculo e toda a história NESTE ARTIGO.

Números Complexos​

22

Exemplos

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Veja os detalhes deste cálculo e toda a história NESTE ARTIGO.

Números Complexos​

23

Operações com os números complexos

Subject | Subject

Veja os detalhes deste cálculo e toda a história NESTE ARTIGO.

Números Complexos​

As operações com os números complexos são as mesmas que são feitas com binômios lá na antiga 7ª Série (8º Ano hoje). A única coisa que deve atentar é que todas as vezes que aparecer i² isso deve ser igual a -1.

Adição e Subtração

(x+i.y) + (a+i.b)=x+a+i (y+b)​

​Exemplo: 2+3i + 5-4i = 2+5 + i.(3-4)=7+i.(-4)=7-4.i

24

Multiple Choice

Se z1=7+3iz_1=-7+3i   e z2=3+4iz_2=3+4i   então z1+z2z_1+z_2   será igual a

1

4+7i4+7i  

2

4+7i-4+7i  

3

47i4-7i  

4

47i-4-7i  

25

Multiple Choice

Se z1=54iz_1=5-4i   e z2=85iz_2=-8-5i   então z1z2z_1-z_2   será igual a

1

39i3-9i  

2

3+9i-3+9i  

3

13+i13+i  

4

13i-13-i  

26

Operações com os números complexos

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Veja os detalhes deste cálculo e toda a história NESTE ARTIGO.

Números Complexos​

Multiplicação

(x+i.y)*(a+i.b)=xa+i.xb+i.ya+.yb​=xa+i.(xb+ya)+(-1).yb​=xa-yb+i.(xb+ya)

​Exemplo: (2+3i).(5-4i) = 2x5-2x4.i+5x3i-3x4.= 10-8.i+15.i-12.(-1)

= 10-8.i+15.i+12= 10+12-8.i+15.i= 22+7.i

Basicamente você faz a multiplicação como se estivesse multiplicando dois binômios...

27

Multiple Choice

Se z1=2+7iz_1=2+7i   e z2=34iz_2=3-4i   então z1z2z_1\cdot z_2   será igual a

1

6+28i6+28i  

2

22+13i-22+13i  

3

628i6-28i  

4

34+13i34+13i  

28

Operações com os números complexos

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Veja os detalhes deste cálculo e toda a história NESTE ARTIGO.

Números Complexos​

29

Operações com os números complexos

Subject | Subject

Veja os detalhes deste cálculo e toda a história NESTE ARTIGO.

Números Complexos​

30

Multiple Choice

Qual o módulo do número complexo z=6+4iz=-6+4i ?

1

52\sqrt{52}  

2

52-\sqrt{52}  

3

20\sqrt{20}  

4

20-\sqrt{20}  

31

Operações com os números complexos

Subject | Subject

Veja os detalhes deste cálculo e toda a história NESTE ARTIGO.

Números Complexos​

32

Operações com os números complexos

Subject | Subject

Veja os detalhes deste cálculo e toda a história NESTE ARTIGO.

Números Complexos​

33

Multiple Choice

Se z=57iz=5-7i  , qual é o conjugado de z?

1

5+7i-5+7i  

2

57i5-7i  

3

5+7i5+7i  

4

57i-5-7i  

34

Multiple Choice

Se z=57iz=5-7i  , o que obtemos com o produto z.zz.\overline{z}  ?

1

7474  

2

24-24  

3

25+49i25+49i  

4

2549i25-49i  

35

Multiple Choice

Se z=3+2iz=-3+2i  , o que obtemos com o produto z.zz.\overline{z}  ?

1

1313  

2

5-5  

3

9+4i-9+4i  

4

9+4i9+4i  

36

Finalizando...

Subject | Subject

Veja os detalhes deste cálculo e toda a história NESTE ARTIGO.

Números Complexos​

Falaremos sobre a divisão entre números complexos na próxima aula.

Aguardem...

;-)

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