Quiz 2: Skalarprodukte

Quiz 2: Skalarprodukte

By Elias S.

Multiple Choice

$$s:\ V\ \times V\ \to\text{IR}$$  heißt per Definition Skalarprodukt genau dann, wenn $$s$$  

•  symmetrisch

  positiv definit

• bilinear symmetrisch

  nicht ausgeartet

• bilinear symmetrisch

  positiv definit

• bilinear

  symmetrisch

  positiv definit

  nicht ausgeartet

Multiple Select

Welche der Aussagen sind erfüllt?

( $$V\$$ ist  $$\text{IR}-$$  Vektorraum, $$B$$  Basis, $$s:\ V\ \times V\ \to\text{IR}$$  Skalarprodukt)

• $$s$$  nicht ausgeartet

• $$V$$  heißt euklidischer VR

• $$F_B\left(s\right)$$  positiv definit, symmetrisch, aber i.A. nicht invertierbar

• Alle Eigenwerte von $$F_B\left(s\right)$$  sind $$>0$$  

Multiple Select

Was sind Aussagen der Cauchy-Schwarz-Ungleichung?

Sei $$\left(V,\ <\cdot,\ \cdot>\right)$$  ein euklidischer Vektorraum, so

• $$<x,y>$$    $$\le<x,x>^2\cdot<y,y>^2$$   

• $$<x,y>^2=$$   $$<x,x>\cdot<y,y>$$   $$\Longleftrightarrow$$   

  $$x,y$$  linear abhängig

• $$<x,y>^2=$$   $$<x,x>\cdot<y,y>$$   $$\Longleftrightarrow$$   

  $$x,y$$  linear unabhängig

• $$<x,y>^2\ \le$$    $$<x,x>\cdot<y,y>$$   

Multiple Select

Welche Eigenschaften hat eine Norm $$\left|\cdot\right|\ :\ V\ \ \to\text{IR}$$  ? Für alle $$v\ \in V:$$  

• $$\forall\alpha\in\text{IR}:\$$   $$\left|\alpha v\right|\ =\ \left|\alpha\right|\ \cdot\left|v\right|$$  

• $$\left|v\right|\ =\ 0\$$   $$\Leftrightarrow$$   $$v\ =\ 0$$  

• $$\left|v\right|+\left|w\right|\ \le\left|v+w\right|$$  

• $$\left|v\right|\ >\ 0$$  

Multiple Select

Welche Aussagen sind erfüllt?

$$\left(V,\ <\cdot,\ \cdot>\right)$$  euklidischer VR $$\left|\cdot\right|\ =\ \sqrt{<\cdot,\cdot>}$$   $$\left|\cdot\right|\ =\ \sqrt{<\cdot,\ \cdot>}$$  

• $$\left|x\right|\ :=\sqrt{<x,x>}$$  ist Norm

• Für $$V\ =\ \text{IR}^n:$$   $$<x,y>\ :=\ \sum_{i=1}^nx_iy_i$$  ist Skalarprodukt

• $$\left|x\right|\ =\sqrt{x_1^2+\dots+x_n^2}$$  ist von $$<x,y>$$  wie in (2) induziert (d.h. $$\left|x\right|\ =\ \sqrt{<x,\ x>}$$  )

• $$S^n\ :=$$   $$\left\{x\ \in\text{IR}^{n+1\ }:\ \left|x\right|=\ 1\right\}$$  mit $$\left|\cdot\right|$$   wie in (3)