Spektralsatz

Spektralsatz

​Sei V ein n-dimensionaler euklidischer oder unitärer Vektorraum, f: V --> V eine lineare Abbildung.

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Wann heißt $$f$$  selbstadjungiert?

• $$f\ =f^{-1}$$  

• $$\forall x,y\ \in V:$$   $$<f\left(x\right),\ f\left(y\right)>\ =<x,y>$$  

• $$\forall x,y\ \in V:$$   $$<f\left(x\right),y>\ =<x,y>$$  

• $$\forall x,y\ \in V:$$   $$<f\left(x\right),y>\ =\ <x,\ f\left(y\right)>$$  

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Erinnerung: V Vektorraum, $$<\cdot,\ \cdot>$$  Skalarprodukt, $$f:\ V\ \to V$$  linear. Welche Aussagen gelten?

• $$f\$$  selbstadjungiert $$\Rightarrow$$   $$\exists B\$$  ONB:

  $$D_{BB}\left(f\right)$$  symmetrisch /hermitesch

• Ist $$f$$  selbstadjungiert, so kann $$f$$  Eigenwerte $$\lambda\in\text{C}\setminus\text{IR}$$  haben

• $$f$$  selbstadjungiert $$\Rightarrow$$   $$\forall B$$  ONB: $$D_{BB}\left(f\right)$$  symmetrisch /hermitesch

• $$\exists B$$  ONB mit $$D_{BB}\left(f\right)$$  symmetrisch /hermitesch $$\Rightarrow$$   $$f$$  selbstadjungiert

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Welche Aussagen sind wahr?

• $$f$$  selbstadjungiert $$\Rightarrow$$   $$\exists B$$  ONB von V aus Eigenvektoren von $$f$$  

•    $$f$$  selbstadjungiert $$\Leftarrow$$   $$\exists B$$  ONB von V aus Eigenvektoren von $$f$$  und alle Eigenwerte von $$f$$  reell

• $$f$$   selbstadjungiert $$\Leftarrow$$   $$\exists B$$  ONB von V aus Eigenvektoren von $$f$$  

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Sei $$A\ =\left(a_{ij}\right)_{1\le i,j\le n}$$   eine symmetrische oder hermitesche Matrix. Was gilt?

• $$A$$  pos. def. $$\Rightarrow$$  alle Eigenwerte von $$A$$  sind reell und $$>$$  0

• Die Matrizen $$A_k:=\left(a_{ij}\right)_{1\le i,j\le k}$$  für $$1\le k\le n$$  heißen Hauptminoren von A

•   $$A$$  pos. def. $$\Longleftarrow$$   alle Eigenwerte von $$A$$  sind reell und $$>$$  0

• $$A$$  pos. def. $$\Longleftrightarrow$$  die Determinanten aller Hauptminoren sind $$\ge0$$  

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Sei $$A$$  eine pos. def. symmetrische oder hermitesche Matrix. Welche Eigenschaften erfüllt $$\sqrt{A}$$  ?

• $$\sqrt{A}\cdot\sqrt{A}$$  =A

• $$\sqrt{A}$$  symmetrisch/hermitesch

• $$\sqrt{A}$$  positiv definit

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Was besagt die Cartan-Zerlegung?

• $$\forall A\ \in\text{IR}^{n\times n}$$    $$\exists O_1,O_2\in O\left(n\right)$$  und $$D$$  pos. def. Diagonalmatrix mit $$A\ =\ O_1DO_2$$  

• $$\forall A\ \in GL\left(n,\text{IR}\right):$$   $$\exists O_1,O_2\in O\left(n\right)$$  und $$D$$  pos. def. Diagonalmatrix mit $$A\ =\ O_1DO_2$$  

• $$\forall A\ \in GL\left(n,\ \text{IR}\ \right):$$    $$\exists O\ \in O\left(n\right)$$   und $$D$$  pos. def. Diagonalmatrix mit $$A\ =\ O^TDO$$