Funcții inversabile

O funcție inversă este "inversarea" unei alte funcții; mai exact, inversul va schimba intrarea și ieșirea cu funcția originală.

Având în vedere o funcție f(x), inversul este scris f^-1(x), dar acest lucru nu ar trebui să fie citit ca un exponent negativ. În general, inversul unei funcții nu este același cu reciprocitatea sa.

Înțelegerea (și menținerea directă) a funcțiilor inverse și a funcțiilor reciproce se reduce la înțelegerea operațiilor, identităților și inverselor în sens mai larg. Sunteți deja foarte familiarizați cu aceste lucruri din aritmetica de bază. Având în vedere un obiect x (să zicem, un număr real sau o funcție), ceea ce considerăm inversul său x^-1 va depinde de operație. Două obiecte sunt inverse dacă le putem aplica operația și putem recupera elementul de identitate pentru acea operație. Iată câteva exemple:

Dacă operația este adunare, elementul de identitate este 0, deoarece adunarea lui 0 la orice obiect x rămâne x însuși: 0 + x = x și x+0=x. Astfel, două obiecte sunt inverse aditive dacă pot fi adunate împreună pentru a produce 0. Având în vedere un număr sau o funcție x, aditivul invers este întotdeauna -x.

Dacă operația este înmulțirea, elementul de identitate este 1, deoarece înmulțirea oricărui obiect x cu 1 dă x însuși: 1⋅x=x și x⋅1=x. Prin urmare, două obiecte sunt inverse multiplicative dacă pot fi înmulțite împreună pentru a da 1. Având în vedere un număr sau o funcție nenulă x, inversul multiplicativ este întotdeauna 1/x, altfel cunoscut sub numele de inverse.

În cazul inverselor funcționale, operația este compusa funcției. Este mai puțin evident acum, dar elementul de identitate pentru compunere este x. Pentru a vedea acest lucru, observați că, dacă g(x) este compusă cu funcția x, ajungem la g(x)∘x = g(x) și x∘g(x) = g(x). Astfel, funcțiile date f(x) și g(x), g(x) este inversa lui f(x) dacă și numai dacă g(f(x))=x și f(g(x))=x. În acest caz, scriem g(x)=f^-1(x).

Exemple de bază

Luați în considerare următoarea funcție:

x	f(x)	​	x	f-1(x)
1	4	​	4	1
2	2	​	2	2
3	2	​	2	3
4	1	​	1	4
5	7	​	7	5

Pentru a determina f^-1(1), trebuie să găsim toate valorile lui x astfel încât f(x) = 1. Din tabel, acest lucru se întâmplă numai atunci când x = 4, deci f^-1 (1) = 4. Pentru a determina f^-1(2), trebuie să găsim toate valorile lui x astfel încât f(x) = 2. Din tabel, acest lucru se întâmplă cu f(2) = 2, f(3) = 2. Astfel f^-1(2) = { 2, 3 }.

Prin urmare, inversul unei funcții nu trebuie să fie o funcție în sine, deoarece ar putea prelua mai multe valori.

​

Fill in the Blanks

Dacă f(x) = 16x + 3, care este valoarea lui f^-1(3)?

Soluție

f⁻¹(3)=x⟹f(x)=3⟹16x+3=3⟹16x=0⟹x=0

Găsirea inversei unei funcții - grafic

Având în vedere punctul de coordonate (x,y) pe graficul lui f, știm că punctul (y,x) este pe graficul lui f^-1. Aceste două puncte sunt legate de a fi simetrice în raport cu dreapta y = x. Prin urmare, graficul lui y = f^-1(x) este reflectarea graficului lui y = f(x) față de dreapta y = x.

Acest lucru ne oferă o modalitate de a trasa graficul funcției inverse (dacă axele sunt trase la aceeași scară).

1) În primul rând, am ori bucata de hârtie de-a lungul dreptei y = x.

2) Apoi, vom urmări graficul lui f(x) să lase o amprentă pe cealaltă parte.

3) În cele din urmă, vom scoate amprenta, care ne va da graficul lui f ^-1(x).

Să ne uităm la un exemplu.

Draw

În figura de mai jos, curba albastră este graficul funcției y = x² - 4x + 3, iar dreapta neagră este y = x. Desenați graficul inversei curbei albastre.

Soluție (I)

1) Deoarece ambele axe sunt trase la aceeași scară, astfel încât să putem plia pur și simplu graficul după y = x pentru a obține partea roșie.

Soluție (II)

2) Acum urmărim restul graficului pentru a obține graficul complet al inversului.

3) Curba roșie este inversa curbei albastre. Rețineți că curbele sunt reflecții reciproce față de dreapta y = x. Am găsit graficul inversului funcției!​

Când este inversa o funcție?

După cum sa menționat, inversul unei funcții nu trebuie să fie o funcție. Pentru ca aceasta să fie o funcție, având în vedere orice valoare a lui y, există cel mult o valoare x astfel încât f(x) = y. Aceasta înseamnă că atunci când ne uităm la o dreaptă orizontală y = c, taie graficul în cel mult 1 punct. Acest lucru este, de asemenea, cunoscut sub numele de testul liniei orizontale.

Mai formal, spunem că

Definiție

Inversa funcției f este o funcție, dacă și numai dacă f este o funcție bijectivă.

Demonstrație

Dacă f nu a fost injectivă, atunci ar exista f(x) pentru două valori ale lui x, pe care le numim x1 și x₂​. Atunci f^-1(f(x)) va avea două valori x₁​ și x₂. Cu toate acestea, o funcție nu poate avea două ieșiri pentru o intrare. Atunci nu mai este o funcție. Deci f trebuie să fie injectivă.

Dacă f nu este surjectivă, atunci ar exista o valoare k∈X astfel încât f(x) = k care nu are o soluție reală pentru x. Acest lucru se datorează faptului că există o anumită valoare care aparține codomeniului funcției, dar nu și în imaginea funcției. Atunci f^-1(k) nu ar fi definit ca k nu este în imaginea lui f^-1. Nu trebuie să existe o astfel de valoare în domeniul lui f^-1 pentru care f^-1 este nedefinit. Prin urmare, mulțimea de valori posibile ale lui f trebuie să fie egală cu codomeniul lui f. Prin urmare, f trebuie să fie o funcție surjectivă.

Pentru că f trebuie să fie atât o funcție injectivă, cât și una surjectivă, este o funcție bijectivă.​

Găsirea inversei unei funcții - algebric

Pentru a găsi inversa lui f, facem următorii pași:

1) Verificați dacă îndeplinește testul de dreaptă orizontală.

2) Substituiți x cu f^-1(x) și f(x) cu x. Facem f^-1(x) subiectul formulei. 3) Determinați domeniul lui f^-1, care este codomeniul lui f. Rețineți că este posibil ca acest lucru să nu fie imaginea lui f.

4) Determinați imaginea lui f^-1, care este domeniul de aplicare al lui f.

Să trecem prin următoarele exemple:

Multiple Choice

Găsiți inversul lui f:R→R, f(x) = 2x + 8 .

• f⁻¹:R→R, $$f^{-1}\left(x\right)=\frac{x+8}{2}.$$  

• f⁻¹:R→R, $$f^{-1}\left(x\right)=\frac{x-8}{4}.$$  

• f⁻¹:R→R, $$f^{-1}\left(x\right)=\frac{x-8}{2}.$$  

• f⁻¹:R→R, $$f^{-1}\left(x\right)=\frac{x-4}{2}.$$  

Soluție

Multiple Choice

Găsiți inversul lui g:[0,∞)→[0,∞), $$g\left(x\right)=\sqrt[]{\frac{x}{2}}.$$  

• g^-1:[0,∞)→[0,∞), g^-1(x)=x²

• g^-1:[0,∞)→[0,∞), g^-1(x)=2x²

• g^-1:[1,∞)→[1,∞), g^-1(x)=2x²

• g^-1:[0,∞)→[0,∞), g^-1(x)=2x

Soluție

În acest exemplu, vedem de ce este important să se determine codomeniul funcției originale, în loc să ne bazăm doar pe intervalul dat.

Multiple Choice

Găsiți inversul lui

h : [-1, 0]→[0,1], h(x)=−x².

• h⁻¹:[ 0,1]→[−1,0], $$h^{-1}\left(x\right)=\sqrt[]{-x}.$$  

• h⁻¹:[ 0,1]→[−1,0], $$h^{-1}\left(x\right)=-\sqrt[]{x}.$$  

• h⁻¹:[ 0,1]→[−1,0], $$h^{-1}\left(x\right)=-\sqrt[]{-x}.$$  

• h⁻¹:[ 0,1]→[−1,0], $$h^{-1}\left(x\right)=\sqrt[]{x}.$$  

Soluție

Multiple Choice

Găsiți inversul lui f:R→R, f(x)=4e^2x + 3.

• f⁻¹:(3,∞)→R, $$f^{-1}\left(x\right)=\lg\sqrt[]{\frac{x+3}{4}}.$$  

• f⁻¹:(3,∞)→R, $$f^{-1}\left(x\right)=\lg\sqrt[]{\frac{x-3}{4}}.$$  

• f⁻¹:(3,∞)→R, $$f^{-1}\left(x\right)=\ln\sqrt[]{\frac{x+3}{4}}.$$  

• f⁻¹:(3,∞)→R, $$f^{-1}\left(x\right)=\ln\sqrt[]{\frac{x-3}{4}}.$$  

Soluție

Fill in the Blanks

Funcția inversă a lui $y=\sqrt[]{x-3}+6$  e y=x²+ax+b (x≥c), unde a, b și c sunt constante. Cât este a+b+c?

Soluție

Multiple Choice

Găsiți inversul lui f:(−∞,0]→[0,∞), f(x))=2ln(x²+1).

• f^-1:[0,∞)→(−∞,0], $$f^{-1}\left(x\right)=-\sqrt[]{e^{\frac{1}{2}x}-1}.$$  

• f^-1:[0,∞)→(−∞,0], $$f^{-1}\left(x\right)=-\sqrt[]{e^{\frac{1}{2}x}+1}.$$  

• f^-1:[0,∞)→(−∞,0], $$f^{-1}\left(x\right)=\sqrt[]{e^{\frac{1}{2}x}+1}.$$  

• f^-1:[0,∞)→(−∞,0], $$f^{-1}\left(x\right)=-\sqrt[]{e^{\frac{1}{2}x}-1}.$$  

Soluție

Multiple Choice

Trei funcții f,g și h satisfac h(x)=g(f(x)). Dacă ni se dă:

h(x)=x²+2x-4

g(x)=3e^x-2,​ care este ecuația lui f(x)?

• $$\ln\frac{x^2+2x+2}{3}$$  ​

• $$\ln\frac{x^2+2x-2}{3}$$  ​

• $$\ln\frac{x^2-2x-2}{3}$$  ​

• $$\ln\frac{x^2+2x-1}{3}$$  ​

Soluție

​Probleme avansate

Fill in the Blanks

Funcția g:R→B este definit ca g(x) = x² - 6x + 8. Mulțimea A conține numerele din intervalul (−∞,a]. Găsiți valoarea maximă posibilă a lui a și mulțimea B astfel încât g^-1 există.

Soluție

Multiple Choice

Găsiți expresia pentru g^-1(x) din exemplul anterior, precum și domeniul și imaginea sa.

• g : [−1.∞) → (−∞,3], $$g^{-1}\left(x\right)=3-\sqrt[]{x-1}$$  ​

• g : [−1.∞) → (−∞,3], $$g^{-1}\left(x\right)=3\pm\sqrt[]{x+1}$$  ​

• g : [−1.∞) → (−∞,3], $$g^{-1}\left(x\right)=3-\sqrt[]{x+1}$$  ​

• g : [−1.∞) → (−∞,3], $$g^{-1}\left(x\right)=3+\sqrt[]{x+1}$$  ​

Soluție

Bibliografie

Funcții inverse. Brilliant.org. 09:52, 20 septembrie 2022, de la https://brilliant.org/wiki/functions-inverses/