Sistemas de tres ecuaciones lineales con tres incógnitas

​¿Qué representa?

​Interpretación gráfica

En un sistema de tres ecuaciones lineales con tres incógnitas, cada una representa​ un plano es un sistema tridimensional. La solución del sistema es el punto en el que se cruzan los tres planos.

https://www.geogebra.org/m/czyx5ekw​

Pulsa el enlace para construir una animación interactiva.​

​Práctica con planos

1. Entra al enlace https://www.geogebra.org/m/czyx5ekw y borra las ecuaciones 1, 2 y 3 que encuentres cargadas. Trata de identificar los ejes "x", "y" y "z". ¿De qué color es cada uno de ellos?. Rota la figura y trata de ponerla en posición para ver cada eje como un punto; en ese momento está viendo de frente los planos que forman las otras dos variables.

2. En ecuación 1 introduce la ecuación: x = 3 y observa el plano que se forma. Rota el modelo hasta lograr que el eje "z" se vea como un punto. ¿Cómo se ve el plano desde esa perspectiva?

3. En la ecuación 2 introduce y = 2 y en la ecuación 3 introduce z = 4 . ¿En qué punto se cruzan los tres planos?

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​Método de reducción por suma y resta

1. Reducir una variable en un par de ecuaciones. El resultado serán dos ecuaciones con dos incógnitas.

2. Resolver ​el sistema que quedó del paso anterior por cualquiera de los métodos ya conocidos.

3. Encontrar la tercera variable sustituyendo en cualquiera de las ecuaciones originales.​

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Multiple Choice

Resolver por el método de suma y resta: $$3x-2y+6z=-15$$  , $$2x+3y-2z=33$$  y $$5x-4y+3z=8$$  

• $$x=7,\ y=3,\ z=-5$$  

• $$x=7,\ y=33,\ z=5$$  

• $$x=7,\ y=\frac{46}{3},\ z=-\frac{31}{9}$$  

• $$Ninguna\ de\ las\ demás$$  

Multiple Choice

Por suma y resta: $$2x+3y=9$$  , $$4x-2z=-2$$  y $$4y+3z=25$$  

• $$x=6,\ y=1,\ z=7$$  

• $$x=6,\ y=-1,\ z=-7$$  

• $$x=6,\ y=-1,\ z=\frac{29}{3}$$  

• $$x=3,\ y=1,\ z=7$$  

​Reducción por sustitución

1. Se despeja una variable en una ecuación.

2. Se sustituye en las otras dos.}

3. Se resuelve el sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas recién obtenido.

​Este método es más práctico en sistemas con ecuaciones que tienen menos variables. Se necesitan menos pasos en estos casos.

​Resolver por sustitución:

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Multiple Choice

Resolver por sustitución: $$2x+y-4z=-9$$  , $$x-y+z=12$$  y $$3x+y+2z=13$$  

• $$x=4,\ y=5,\ z=-3$$  

• $$x=4,\ y=-5,\ z=3$$  

• Ninguna de las demás

• $$x=-4,\ y=-5,\ z=3$$  

Multiple Choice

Resolver por sustitución: $$x-3y=-1$$  , $$3y-z=-9$$  y $$x-4y=1$$  

• $$x=7,\ y=-2,\ z=3$$  

• Ninguna de las demás

• $$x=-7,\ y=-2,\ z=-3$$  

• $$x=-7,\ y=-2,\ z=3$$  

1. Se construye un determinante cuadrado de 3x3 y para calcularlo se puede ampliar las dos primeras columnas a la derecha o bien los dos primeros renglones hacia abajo.

2. Los productos y los signos se trabajan de forma similar a los de 2x2 que ya hemos trabajado.

3. Para estimar las variables de igual forma se dividen los determinantes de cada variable entre el general.

​Método de Cramer (determinantes)

Multiple Choice

Resolver por el método de Cramer: $$3x+2y+4z=5$$  , $$6x+3y-2z=2$$  y $$3x-4y+8z=5$$  

• $$x=-\frac{1}{3},\ y=\frac{1}{2},\ z=\frac{3}{4}$$  

• $$x=\frac{1}{3},\ y=-\frac{1}{2},\ z=\frac{3}{4}$$  

• $$x=\frac{1}{3},\ y=\frac{1}{2},\ z=\frac{3}{4}$$  

• Ninguna de las demás opciones

Multiple Choice

Resolver por el método de Cramer: $$\frac{x}{3}-\frac{y}{4}+\frac{z}{4}=1$$  , $$\frac{x}{6}+\frac{y}{2}-z=1$$  y $$\frac{x}{2}-\frac{y}{8}-\frac{z}{2}=0$$  

• $$x=6,\ y=8,\ z=4$$  

• $$x=-6,\ y=8,\ z=-4$$  

• Ninguna de las demás

• $$x=6,\ y=8,\ z=-4$$