Teorema seriei Riemann

Teorema seriei Riemann este numită după un mare matematician german Bernhard Riemann care a contribuit foarte mult la matematică în domeniul teoriei analitice a numerelor și calculului. În 1859, el a dat o lucrare despre funcția de numărare primară, care este considerată ca fiind una dintre cele mai influente lucrări din teoria numerelor. Teorema seriei Riemann ne spune că dacă o serie infinită este semiconvergentă, atunci i se dă orice valoare r, termenii pot fi permutați astfel încât seria converge la r. Acesta este un rezultat surprinzător, deoarece este evident adevărat că atunci când avem finit de mulți termeni, permutarea termenilor nu provoacă aceeași schimbare și nu este clar de ce a avea infinit de mulți termeni ar putea afecta suma.

Definiții

Open Ended

Arată că seria $$1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+...$$   este convergentă.

Soluție

Open Ended

Demonstrați că seria $$1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+...$$   este divergentă.

Soluție

Serii semiconvergente

Fill in the Blanks

Evaluați seria

$\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n-\frac{1}{2}}\right).$  

Soluție

Obținem o valoare diferită. Dar de ce? Am făcut vreo greșeală? Da, am făcut o mare greșeală. Conform teoremei seriei Riemann, atunci când termenii dintr-o serie sunt rearanjați, seria converge la o valoare diferită (nu neapărat) sau poate chiar să fie divergentă. Acesta este motivul pentru care am obținut o valoare diferită.

Deci, rețineți că atunci când aveți de-a face cu serii infinite, nu ar trebui să rearanjați niciodată termenii din serie.​

Fill in the Blanks

Evaluați valoarea seriei $1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+...\ .$  

Soluție

Bibliografie

Cita ca: Teorema seriei Riemann. Brilliant.org. 11 octombrie 2022, 11 octombrie 2022, de la https://brilliant.org/wiki/riemann-series-theorem/