Infinit de multe numere prime

Un număr prim este un întreg pozitiv care are exact 2 divizori pozitivi. Primele câteva numere prime sunt

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, ... .

Când mergem la numere întregi pozitive mai mari, observăm că numerele prime devin din ce în ce mai rare. Este posibil ca, la un moment dat, să fi găsite toate numerele prime și, prin urmare, tot ce este mai mare este ccompus? Răspunsul se demonstrează a fi nu:

Teorema lui Euclid

​

Există infinit de multe numere prime.

Au existat multe demonstrații ale acestui fapt. Cel mai vechi, care a dat naștere numelui, a fost de Euclid din Alexandria în jurul anului 300 î.Hr. Această lecție listează mai multe demonstrații ale acestei teoreme.

​Demonstrația lui Euclid

Pentru orice mulțime finită de numere prime {p₁, p₂, p₃, ..., p_n}, Euclid a luat în considerare numărul

n = p₁p₂p₃...p_n +1.

n are un divizori primi p (fiecare întreg are cel puțin un divizor prim). Dar p nu este egal cu oricare dintre p_i. (Dacă p a fost egal cu oricare dintre p_i, ​atunci p ar trebui să dividă 1, ceea ce este imposibil.) Deci, pentru orice mulțime finită de numere prime, este posibil să se găsească un alt prim care nu este în acea mulțime.

Cu alte cuvinte, o mulțime finită de numere prime nu poate fi mulțimea tuturor numerelor prime.​

Observați că demonstrația originală a lui Euclid a fost o demonstrație directă, nu o demonstrație a contradicției.

​Demonstrația lui Euler

​Demonstrația folosind numerele Fermat

​Idee similară cu demonstrația folosind numere fermat

​Demonstrația lui Thue

​Demonstrație bazată pe teoria informației

​Demonstrația topologică a lui Fürstenberg

​

Pe mulțimea de numere întregi Z, se definește o topologie având sub baza tuturor progresiilor aritmetice non-constante (nemărginite în ambele direcții). Se poate demonstra că toate mulțimile deschise din această topologie sunt fie infinite, fie vide.

Pentru fiecare prim p și întreg k definim A_p,k​ mulțimea tuturor numerelor întregi din progresia aritmetică cu diferența p care conţin k. Putem vedea cu ușurință că A_p,0​ este exact mulțimea tuturor numerelor întregi divizibile cu p. Mai mult decât atât, avem A_p,1∪A_p,2∪...∪A_p,p-1 = (A_p,0)^c. Membrul stâng este reunirea mulțimilor deschise și, astfel, deschisă; deci A_p,0​ este închisă.

Acum, să presupunem că există finit mai multe numere prime. Apoi reunirea U a tuturor A_p,0-urilor, fiind o reuniune finită de mulțimi închise, este, de asemenea, închisă. Dar, prin definiția numerelor prime, singurele numere întregi care nu sunt divizibile cu niciun prim sunt unitățile 1 și -1. Astfel, complementul lui U e {−1,1}. Fiind complementul unei mulțimi închise, {−1,1} ar trebui să fie deschisă; dar acesta este o mulțime finită nevidă, contrazicând rezultatul nostru că mulțimile deschise în această topologie sunt fie infinite, fie vide. Astfel, trebuie să existe infinit de multe numere prime. ​

​Cel mai mare număr prim cunoscut

​

În ciuda faptului că există infinit de multe numere prime, este de faptul dificil să găsești unul mare. În scopuri recreative, oamenii au încercat să găsească un număr cât mai mare prim. Cel mai mare număr prim cunoscut în prezent este 2^82.589.933 - 1, având 24.862.048 de cifre. Acest lucru a fost găsit de marele proiect căutarea numerelor prime Mersenne cu ajutorul Internetului, care utilizează calculul distribuit pentru a descoperi numere prime de forma 2ⁿ - 1, cunoscut sub numele de numerele prime Mersenne. Numerele prime mersenne sunt foarte rare; de fapt, este o problemă deschisă dacă există infinit de multe numere prime Mersenne sau nu. Doar 50 sunt cunoscute până în prezent, dintre care cel mai mare este cel de mai sus.

​Bibliografie

Infinit de multe numere prime. Brilliant.org. 11:19, 22 octombrie 2022, de la https://brilliant.org/wiki/infinitely-many-primes/