Teorema fundamentală a algebrei

Teorema fundamentală a algebrei afirmă că orice polinom neconstant cu coeficienți complecși are cel puțin o rădăcină complexă. Teorema implică faptul că orice polinom cu coeficienți complecși de grad n are n rădăcini complexe, numărate cu multiplicitate. Un câmp F cu proprietatea ca fiecare polinom neconstant cu coeficienti in F are o rădăcină în F se numește închis algebric, astfel încât teorema fundamentală a algebrei afirmă că

Câmpul C din numere complexe este închis algebric.

Exemplu

Ne-am putea aștepta ca polinoamele cu coeficienți complecși să aibă probleme cu inexistenta rădăcinilor similare cu cele ale polinoamelor reale; adică nu este nerezonabil să ghicești că niște polinomi ca x³+ix²-(1+πi)x-e nu va avea o rădăcină complexă, iar găsirea unei astfel de rădăcini va necesita căutarea într-un câmp mai mare care conține numerele complexe. Teorema fundamentală a algebrei spune că nu este cazul: toate rădăcinile unui polinom cu coeficienți complecși pot fi găsite trăind deja în interiorul numerelor complexe.

Factorizarea

Această secțiune oferă o declarație mai precisă a diferitelor forme echivalente ale teoremei fundamentale a algebrei. Acest lucru necesită o definiție a multiplicității unei rădăcini a unui polinom.

Definiție

Multiplicitatea unei rădăcini r a unui polinom f(x) este cel mai mare întreg pozitiv k astfel încât (x-r)^k divide f(x). În mod echivalent, este cel mai mic întreg pozitiv k astfel încât fk(r) ≠ 0, unde f^k denotă derivata a k-a a lui f.

Teoremă

Fie F un câmp. Următoarele sunt echivalente:

(1) Fiecare polinom neconstant cu coeficienți în F are o rădăcină în F.
(2) Fiecare polinom neconstant de grad n cu coeficienți în F are n rădăcini în F, numărate cu multiplicitate.
(3) Fiecare polinom neconstant cu coeficienți în F se împarte complet ca produs al factorilor liniari cu coeficienți în F.

Demonstrație

În mod clar (3)⇒(2)⇒(1), deci singura parte netrivială este (1)⇒(3). Pentru a vedea acest lucru, aplicăm inducția matematică pe gradul n al lui f(x). Cazul de bază n =1 este clar. Acum, să presupunem că rezultatul este adevărat pentru polinoame de grad n-1. Atunci, fie f(x) un polinom de grad n. Până la alineatul (1), f(x) are o rădăcină a. Un argument al algoritmului de împărțire standard arată că x-a este un factor al lui f(x)

Împărțim f(x) la x-a pentru a obține f(x) = (x-a)q(x)+r, unde r este un polinom constant. Înlocuirea lui x cu a în ambii membrii dă 0 = (a-a)q(a)+r, deci r =0. Deci f(x) = (x-a)q(x). Dar q(x) este un polinom de grad n-1, deci se împarte într-un produs al factorilor liniari prin ipoteza inductivă. Deci rezultatul este demonstrat prin inducție. ​

Teorema fundamentală a algebrei spune că domeniul C a numerelor complexe are proprietate (1), deci prin teorema de mai sus trebuie să aibă proprietățile (1), (2) și (3).

Exemplu

Dacă f(x) = x⁴-x³-x+1, atunci rădăcinile complexe pot fi luate în considerare una câte una până când polinomul este luat în considerare complet: f(1) = 0, deci x⁴-x³-x+1 = (x-1)(x³-1). Atunci 1 este o rădăcină a lui x³-1, deci x⁴-x³-x+1 = (x-1)(x-1)(x²+x+1), și acum x² + x + 1 are două rădăcini complexe, și anume a treia rădăcină primitivă a unității ω și ω², unde ω=e^2πi/3. Deci x⁴-x³-x+1 = (x-1)²(x−ω)(x−ω²). Există trei rădăcini distincte, dar patru rădăcini cu multiplicitate, deoarece rădăcina 1 are multiplicitate 2.

Aplicațiile teoremei

Capacitatea de a lua în considerare orice polinom peste numerele complexe reduce multe probleme neliniare dificile față de alte câmpuri (de exemplu, numerele reale) la cele liniare peste numerele complexe. De exemplu, fiecare matrice pătrată peste numerele complexe are o valoare eigen complexă, deoarece polinomul caracteristic are întotdeauna o rădăcină. Acest lucru nu este valabil pentru numerele reale, de exemplu matricea  

care rotește planul real de coordonate cu 90^∘, nu are valori proprii reale.

O altă aplicație generală este în domeniul geometriei algebrice sau în studiul soluțiilor la ecuațiile polinomiale. Ipoteza că coeficienții ecuațiilor polinomiale se află într-un câmp închis algebric este esențială pentru simplificarea și consolidarea teoriei, deoarece garantează că câmpul este "suficient de mare" pentru a conține rădăcini de polinoame. De exemplu, mulțimea de soluții complexe la o ecuație polinomială cu coeficienți reali are adesea proprietăți mai naturale și mai utile decât mulțimea de soluții reale.

O altă aplicație care merită menționată pe scurt este integrarea cu fracții parțiale. Peste cifrele reale, există cazuri incomode care implică factori pătratici ireductibili ai numitorului. Algebra este simplificată prin utilizarea fracțiilor parțiale peste numerele complexe (cu precizarea că este necesară o analiză complexă pentru a interpreta integralele rezultate).

Polinoame peste numerele reale

Fie p(x) un polinom cu coeficienți reali. Este adevărat că p(x) pot fi luați în considerare în factori liniari peste numerele complexe, dar factorizarea este puțin mai complicată dacă factorii trebuie să aibă coeficienți reali.

De exemplu, polinomul x² + 1 poate fi luat în considerare ca (x-i) (x+i) peste numerele complexe, dar peste numerele reale este ireductibil: nu poate fi scris ca un produs a două polinoame neconstante cu coeficienți reali.

Teoremă

Fiecare polinom p(x) cu coeficienți reali poate fi luat în considerare ca produs de factori liniari și factori pătratici ireductibili cu coeficienți reali.

Demonstrație

Fill in the Blank

Fie f(x) un polinom monic cu coeficienți reali, astfel încât 2 și 1+i sunt ambele rădăcini ale lui f. Să presupunem că f are cel mai mic grad posibil, având în vedere aceste cerințe. Cât este f(3)?

Clarificare: $$i=\sqrt[]{-1}.$$

Soluție

Deoarece 1+i este o rădăcină, la fel și 1-i este o rădăcină.
f(x)=(x-2)(x-(1+i))(x-(1-i)))=x³-4x²+6x-4
f(3)=5

Bibliografie

Fundamental Theorem of Algebra. Brilliant.org. Retrieved 14:22, December 18, 2022, from https://brilliant.org/wiki/fundamental-theorem-of-algebra/

Subject | Subject