TRANSFORMASI (Math) 9

TRANSFORMASI

Sumber: MajalahGriya Asri (modifikasipenulis)

Transformasi

Translasi (Pergeseran)

Refleksi (Pencerminan)

Rotasi (Perputaran)

Dilatasi (Perkalian)

PETA KONSEP

Gambar di samping menunjukkan seorang anak
sedang bermain prosotan. Panjang landasan
prosotan tersebut 4 meter. Ia meluncur mulai dari
bagian atas prosotan sampai ke bagian bawah
dengan kemiringan atau arah mengikuti
permukaan landasan prosotan. Dari situasi
tersebut, dapatkah kalian menentukan jauhnya
jarak pergeseran yang ditempuh oleh anak
tersebut? Bagaimana arah pergeseran masing-
masing anggota tubuh anak tersebut selama
berseluncur?

Gambar di samping menunjukkan seorang anak
sedang bermain prosotan. Panjang landasan
prosotan tersebut 4 meter. Ia meluncur mulai dari
bagian atas prosotan sampai ke bagian bawah
dengan kemiringan atau arah mengikuti
permukaan landasan prosotan. Dari situasi
tersebut, dapatkah kalian menentukan jauhnya
jarak pergeseran yang ditempuh oleh anak
tersebut? Bagaimana arah pergeseran masing-
masing anggota tubuh anak tersebut selama
berseluncur?

4.1 TRANSLASI (PERGESERAN)

Pengertian Transiasi

4.1 TRANSLASI (PERGESERAN)

Pengertian Transiasi

Perhatikan gambar berikut.

Pada translasi tersebut, diperoleh hubungan-
hubungan berikut:
•AB → A’B’ (dibaca: AB menempati A’B’), maka
AB = A’B’ dan AB // A’B’,
•AD → A’D , maka AD = A’D’ dan AD // A’D’,
•Segi empat ABCD → segi empat A’B’C’D , maka
segi empat ABCD kongruen atau sama dan
sebangun dengan segi empat A’B’C’D .

Pada translasi tersebut, diperoleh hubungan-
hubungan berikut:
•AB → A’B’ (dibaca: AB menempati A’B’), maka
AB = A’B’ dan AB // A’B’,
•AD → A’D , maka AD = A’D’ dan AD // A’D’,
•Segi empat ABCD → segi empat A’B’C’D , maka
segi empat ABCD kongruen atau sama dan
sebangun dengan segi empat A’B’C’D .

Translasi (pergeseran) adalah suatu perpindahan semua titik pada
suatu bodang (datar) dengan jarak (besar) dan arah yang sama.
Suatu translasi dapat diwakili oleh sebuah ruas garis berarah.

4.1 TRANSLASI (PERGESERAN)

Contoh Soal

Gambarlah persegi panjang EFGH dan bayangannya pada translasi (pergeseran)
yang diwakili oleh !
a. Bagaimana hubungan sisi GF dan bayangannya?
b. Bagaimana hubungan bangun EFGH dan bayangannya?

Jawab:
Gambarlah persegi panjang EFGH, kemudian tentukan bayangannya
dengan cara membuat .
a. Bayangan dari adalah Panjang dan .
b. Bangun dan bayangannya yaitu bangunkongruen atau sama dan
sebangun.

4.1 TRANSLASI (PERGESERAN)

Notasi Translasi dengan Pasangan Bilangan

Suatu translasi, selain dapat diwakili oleh sebuah ruas garis berarah,
dapat juga dinyatakan dengan pasangan bilangan dengan x sebagai
komponen mendatar (horizontal) dan y sebagai komponen tegak
(vertikal).

Suatu translasi, selain dapat diwakili oleh sebuah ruas garis berarah,
dapat juga dinyatakan dengan pasangan bilangan dengan x sebagai
komponen mendatar (horizontal) dan y sebagai komponen tegak
(vertikal).

Translasi (a/b) memindahkan titik dengan aturan berikut:
• a satuan mandatar ke kanan jika posisi a positif atau a satuan
ke kiri jika a negatif.
• b satuan tegak ke atas jika b positif atau b satuan ke bawah jika
b negatif.

4.1 TRANSLASI (PERGESERAN)

Koordinat Bayangan

Gambar di samping menunjukkan titik A(–6, 5) digeser 10
satuan ke kanan, kemudian digeser lagi 8 satuan ke bawah.
Gambar di samping menunjukkan titik A(–6, 5) digeser 10
satuan ke kanan, kemudian digeser lagi 8 satuan ke bawah.

Untuk mempermudah pemahaman, situasi tersebut dapat
dinyatakan dengan cara berikut.

Dengan demikian, dapat disimpulkan sebagai berikut.

Bayangan titik A(x, y) pada translasi (a/b) adalah A’(x+a, y+b).

Untuk mempermudah pemahaman, situasi tersebut dapat
dinyatakan dengan cara berikut.

Dengan demikian, dapat disimpulkan sebagai berikut.

Bayangan titik A(x, y) pada translasi (a/b) adalah A’(x+a, y+b).

4.1 TRANSLASI (PERGESERAN)

Contoh Soal

A(8, 3), B(5, –3), dan C(10, –2) adalah titik sudut pada ΔABC. Pada translasi ,
Δ ABC dipetakan ke Δ A’B’C’.
a. Gambarlah ΔABC beserta bayangannya!
b. Tentukan koordinat titik A’, B’, dan C’!

Jawab:
a. Lihat gambar di samping.
b. Translasi .
Bayangan dari titik A(8, 3) adalah A (8 + (–8), 3 + 1),
maka A (0, 4).
Bayangan dari titik B(5, –3) adalah B (5 + (–8), –3 + 1), maka B (–3, –2).
Bayangan dari titik C(10, –2) adalah C (10 + (–8), –2 + 1), maka C (2, –1).

4.1 TRANSLASI (PERGESERAN)

Dua Translasi Berurutan

Perhatikan gambar di samping.
mewakili translasi dan mewakili translasi .
Perhatikan gambar di samping.
mewakili translasi dan mewakili translasi .

Hubungan komponen dan terhadap komponen dapat
dinyatakan dengan cara berikut.
⊕ mewakili ⊕
.
Dengan demikian, dapat disimpulkan sebagai berikut.

Hubungan komponen dan terhadap komponen dapat
dinyatakan dengan cara berikut.
⊕ mewakili ⊕
.
Dengan demikian, dapat disimpulkan sebagai berikut.

Untuk dua translasi berurutan (a/b) dan (c/d) berlaku:
(a/b) + (c/d) = (a+c/b+d)

4.1 TRANSLASI (PERGESERAN)

Contoh Soal

Kerjakan Latihan 1 halaman 9

Tentukan nilai a, b, p dan m pada translasi berikut.
a.

b.

Jawab:

▪

▪

▪

▪

4.2 REFLEKSI (PENCERMINAN)

Refleksi (Pencerminan) Terhadap Garis

Berdasarkan gambar tersebut, dapat diperoleh sifat-sifat yang
terdapat pada refleksi (pencerminan) sebagai berikut.

1.

Jarak titik asal P terhadap cermin (garis) AB sama dengan
jarak bayangan P’ terhadap cermin (garis) tersebut.
2.

Garis yang menghubungkan titik asal dan bayangannya, yaitu
PP, tegak lurus terhadap cermin (garis) AB.

Dengan demikian, untuk menentukan bayangan suatu titik pada
refleksi terhadap garis, dapat ditentukan berdasarkan kedua sifat
di atas.

Berdasarkan gambar tersebut, dapat diperoleh sifat-sifat yang
terdapat pada refleksi (pencerminan) sebagai berikut.

1.

Jarak titik asal P terhadap cermin (garis) AB sama dengan
jarak bayangan P’ terhadap cermin (garis) tersebut.
2.

Garis yang menghubungkan titik asal dan bayangannya, yaitu
PP, tegak lurus terhadap cermin (garis) AB.

Dengan demikian, untuk menentukan bayangan suatu titik pada
refleksi terhadap garis, dapat ditentukan berdasarkan kedua sifat
di atas.

A. Bayangan suatu titikA. Bayangan suatu titik

4.2 REFLEKSI (PENCERMINAN)

Refleksi (Pencerminan) Terhadap Garis

Menentukan bayangan suatu garis menggunakan sifat berikut.

Jika sembarang garis AB direfleksikan (dicerminkan) terhdap
sebuah garis menghasilkan bayangan A’B’, maka:
Panjang AB = A’B’ dan AA’ // BB’.

Menentukan bayangan suatu garis menggunakan sifat berikut.

Jika sembarang garis AB direfleksikan (dicerminkan) terhdap
sebuah garis menghasilkan bayangan A’B’, maka:
Panjang AB = A’B’ dan AA’ // BB’.

B. Bayangan suatu garisB. Bayangan suatu garis

Bayangan suatu bangun diperoleh dengan cara mencerminkan
koordinat masing-masing titik sudutnya. Koordinat titik-titik sudut
tersebutnya dihubungkan sehingga diperoleh bayangan bangun
tersebut.

Bayangan suatu bangun diperoleh dengan cara mencerminkan
koordinat masing-masing titik sudutnya. Koordinat titik-titik sudut
tersebutnya dihubungkan sehingga diperoleh bayangan bangun
tersebut.

C. Bayangan suatu bangunC. Bayangan suatu bangun

4.2 REFLEKSI (PENCERMINAN)

Contoh Soal

Perhatikan gambar di samping.
Pada gambar tersebut, titik A terletak di luar garis PQ.
Gambarlah bayangan dari titik A bila direfleksikan terhadap garis PQ.

Jawab:

Langkah-langkah menggambar bayangan titik A sebagai berikut.
(i) Dari titik A, buatlah garis AM yang tegak lurus terhadap PQ dengan menggunakan penggaris
siku.
(ii) Perpanjanglah garis AM sampai A’ dengan panjang AM = MA’. Titik A adalah bayangan dari
titik A pada refleksi terhadap garis PQ.

Kerjakan Latihan 3 halaman 121

4.2 REFLEKSI (PENCERMINAN)

Refleksi pada Bidang Koordinat

Gambar di samping menunjukkan refleksi titik A dan
B terhadap sumbu-sumbu koordinat. Titik A dan B
adalah bayangan titik A dan B pada refleksi terhadap
sumbu-x, sedangkan titik A dan B adalah bayangan
titik A dan B pada refleksi terhadap sumbu-y.
Pada refleksi terhadap sumbu-x, diperoleh: A(4, 2)
↔ A (4, –2).
B(–6, –4) ↔ B (–6, 4).
Jadi, P(a, b) ↔ P (a, –b).

Pada refleksi P(a, b) terhadap sumbu-x, maka:
P(a, b) <-> P’(a, -b).
Pada refleksi titik P(a, b) terhadap sumbu-y, maka:
P(a, b) <-> P”(-a, b)

Gambar di samping menunjukkan refleksi titik A dan
B terhadap sumbu-sumbu koordinat. Titik A dan B
adalah bayangan titik A dan B pada refleksi terhadap
sumbu-x, sedangkan titik A dan B adalah bayangan
titik A dan B pada refleksi terhadap sumbu-y.
Pada refleksi terhadap sumbu-x, diperoleh: A(4, 2)
↔ A (4, –2).
B(–6, –4) ↔ B (–6, 4).
Jadi, P(a, b) ↔ P (a, –b).

Pada refleksi P(a, b) terhadap sumbu-x, maka:
P(a, b) <-> P’(a, -b).
Pada refleksi titik P(a, b) terhadap sumbu-y, maka:
P(a, b) <-> P”(-a, b)

A.

Refleksi terhadap Sumbu Koordinat

A.

Refleksi terhadap Sumbu Koordinat

4.2 REFLEKSI (PENCERMINAN)

Contoh Soal

Tentukan bayangan titik P(–12, 25) pada refleksi terhadap sumbu-y .
Jawab:

Kerjakan Latihan 3 halaman 121

4.2 REFLEKSI (PENCERMINAN)

Refleksi pada Bidang Koordinat

Perhatikan gambar berikut.Perhatikan gambar berikut.
B.

Refleksi terhadap Garis yang Sejajar dengan Sumbu Koordinat

B.

Refleksi terhadap Garis yang Sejajar dengan Sumbu Koordinat

Pada refleksi P(a, b) terhadap garis x = h, maka:
P(a, b) <-> P’(2h – a, b).
Pada refleksi P(a, b) terhadap garis y = h, maka:
P(a, b) <-> P’(a, 2h – b).

4.2 REFLEKSI (PENCERMINAN)

Contoh Soal

Tentukan koordinat bayangan titik P(–5, –2) jika direfleksikan
terhadap garis dengan persamaan x = –1 .
Jawab:

Kerjakan Latihan 4 halaman 123

4.2 REFLEKSI (PENCERMINAN)

Refleksi pada Bidang Koordinat

C.

Refleksi terhadap Garis y = x dan y =

x

C.

Refleksi terhadap Garis y = x dan y =

x
Perhatikan gambar berikut.Perhatikan gambar berikut.

Pada refleksi terhadap garis y = x atau x = y, maka:
P(a, b) <-> P’(b, a).
Pada refleksi terhadap garis y = -x atau x = -y, maka:
P(a, b) <-> P’(-b, -a).

4.2 REFLEKSI (PENCERMINAN)

Contoh Soal

Tentukan koordinat bayangan titik S(12, –7) jika direfleksikan terhadap
garis dengan persamaan berikut.
a. y = x
b. y = –x
Jawab:

Kerjakan Latihan 5 halaman 127

4.2 REFLEKSI (PENCERMINAN)

Refleksi pada Bidang Koordinat

Pada Gambar 4.16, besar ∠POP1 = 30° dan besar ∠POP2 = 50°.
Rotasi (perputaran) sejauh 30° berlawanan dengan arah perpu-
taran jarum jam, memetakan titik P ke titik P1. Sementara itu,
rotasi sejauh 50° berlawanan dengan arah perputaran jarum jam,
memindahkan titik P ke titik P2. Selanjutnya, rotasi yang arahnya
berlawanan dengan arah perputaran jarum jam disebut arah
positif, sedangkan yang searah dengan arah perputaran jarum jam
disebut arah negatif.

Suatu rotasi (perputaran) pada bidang datar ditentukan oleh unsur-unsur berikut!
1.Pusat rotasi.
2.Besar sudut (jarak) rotasi.
3.Arah rotasi (searah atau berlawanan arah dengan putaran jarum jam).
Jika berlawanan arah dengan arah perputaran jarum jam, maka sudut putarnya positif.
Jika searah dengan arah peeputaran jarum jam, maka sudut putarnuya negatif.

4.3 ROTASI (PERPUTARAN)

Pengertian Rotasi (Perputaran)

Perhatikan Gambar 4.17 di samping! Gambar 4.17
Garis AB dirotasikan –40° dengan pusat O,
menghasilkan bayangan yaitu garis A’B’.
Pada rotasi tersebut, A → A’, B → B’, dan AB → A’B’,
sehingga diperoleh:
(i) panjang AB = A’B’,
(ii) ΔOAB kongruen dengan ΔOA B ,
(iii) titik O adalah titik invarian (tetap).

Pada rotasi dengan sembarang sudut putar terdapat sifat berikut:
1. Sebuah garis sama panjang dengan bayangannya.
2. Sebuah bangun kongruen atau sama dan sebangun dengan
bayangannya.

4.2 REFLEKSI (PENCERMINAN)

Contoh Soal

Diagonal-diagonal persegi ABCD berpotongan di titik O. Tentukan bayangan titik B
pada rotasi 90° dengan pusat berikut.
1. Titik O

2. Titik A
Jawab:

4.3 ROTASI (PERPUTARAN)

Rotasi pada Bidang Cartesius

Untuk setiap rotasi -90° dengan pusat rotasi Ο(0, 0), maka:
P(a, b)  P’(b, -a)
Catatan:
Rotasi dengan pusat Ο (0,0) dan sudut putar p° dapat ditulis {Ο, p°}.

A. Rotasi 90°A. Rotasi 90°

Perhatikan gambar di samping.
Gambar 4.18 tersebut menunjukkan rotasi –90° dengan
pusat rotasi O(0, 0) yang memetakan titik C ke C’ dan titik D
ke D’.
Pada rotasi tersebut diperoleh hubungan berikut:
Titik C(6, 4) → C’(4, –6).
Titik D(–4, –5) → D’(–5, 4).
Jadi, P(a, b) → P’(b, –a).
• a dan b pada titik P’ bertukar tempat.
• a menjadi –a (berlawanan).

Perhatikan gambar di samping.
Gambar 4.18 tersebut menunjukkan rotasi –90° dengan
pusat rotasi O(0, 0) yang memetakan titik C ke C’ dan titik D
ke D’.
Pada rotasi tersebut diperoleh hubungan berikut:
Titik C(6, 4) → C’(4, –6).
Titik D(–4, –5) → D’(–5, 4).
Jadi, P(a, b) → P’(b, –a).
• a dan b pada titik P’ bertukar tempat.
• a menjadi –a (berlawanan).

4.3 ROTASI (PERPUTARAN)

Rotasi pada Bidang Cartesius

Untuk setiap rotasi -90° dengan pusat
rotasi Ο(0, 0), maka:
P(a,b)  P’(b, -a)

B. Rotasi 90°B. Rotasi 90°

Perhatikan gambar berikut.Perhatikan gambar berikut.

4.3 ROTASI (PERPUTARAN)

Rotasi pada Bidang Cartesius

Untuk setiap rotasi 180° dengan pusat rotasi Ο(0, 0), maka:
P(a, b)  P’(-a, -b)
Catatan:
Untuk rotasi dengan sudut -180° akan diperoleh hasil yang sama dengan rotasi
180° .

C. Rotasi 180°C. Rotasi 180°

Perhatikan gambar di samping.
Gambar tersebut menunjukkan rotasi 180° dengan pusat
rotasi pangkal koordinat. Pada rotasi tersebut diperoleh
hubungan berikut:
Titik M(5, 3) → M’(–5, –3).
Titik N(4, –5) → N’(–4, 5).
Jadi, P(a, b) → P’(–a, –b).
• a dan b pada titik P’ tidak bertukar tempat.
• a maupun b menjadi berlawanan tanda.

Perhatikan gambar di samping.
Gambar tersebut menunjukkan rotasi 180° dengan pusat
rotasi pangkal koordinat. Pada rotasi tersebut diperoleh
hubungan berikut:
Titik M(5, 3) → M’(–5, –3).
Titik N(4, –5) → N’(–4, 5).
Jadi, P(a, b) → P’(–a, –b).
• a dan b pada titik P’ tidak bertukar tempat.
• a maupun b menjadi berlawanan tanda.

4.3 ROTASI (PERPUTARAN)

Contoh Soal

Tentukan bayangan titik P(12, –6) pada rotasi berikut.
a. [O, 90°]
b. [O, 180°]
Jawab:

Kerjakan Latihan 6 halaman 131-132

4.4 DILATASI (PERKALIAN)

Pengertian Dilatasi

Perhatikan gambar berikut.Perhatikan gambar berikut.

Pada dilatasi, setiap titik P dipetakan ke titik P’ sehingga OP’ = k OP dengan O
sebagai pusat dilatasi dan k adalah faktor skala.

Faktor Skala = jakak dari pusat dilatasi ke titik hasil P’

jakak dari pusat dilatasi ke titik asal P’

Dilatasi (perkalian bangun) dengan pusat O dan faktor skala k dapat
dinyatakan dengan notasi {O,k }.

4.4 DILATASI (PERKALIAN)

Contoh Soal

Pada gambar berikut, bangun asal digambar dengan garis
tebal dan hasil dilatasi digambar dengan garis putus-putus.
Tentukan pusat dilatasi dan faktor skalanya

4.4 DILATASI (PERKALIAN)

Contoh Soal

Jawab:
Untuk menyelesaikan soal ini, perhatikanlah bahwa pusat
dilatasi, titik asal, dan titik hasil (bayangan) harus terletak
pada satu garis lurus.

Kerjakan Latihan 7 halaman 134-135

4.4 DILATASI (PERKALIAN)

Faktor Skala

Pada dilatasi yang memetakan titik P ke titik P’ dengan
pusat dilatasi O dan faktor skala k, berlaku:

1. Jika k positif (k > 0), maka OP dan OP’ sama arahnya
dengan k sebagai faktor skalanya.
2. Jika k negatif (k < 0), maka OP dan OP’ berlawanan
arahnya dengan k sebagai faktor skalanya.

4.4 DILATASI (PERKALIAN)

Dilatasi pda Bidang Koordinat

Perhatikan gambar berikut.Perhatikan gambar berikut.

Pada dilatasi dengan pusat dilatasi O dan faktor skala k,
dengan k positif maupun negatif, berlaku rumus berikut:
P(a, b)[O, k]P’ (a x k, b x k).

4.4 DILATASI (PERKALIAN)

Contoh Soal

Pada gambar berikut, OP adalah bayangan dari OP
pada dilatasi dengan pusat O. Tentukan faktor skalanya

Jawab:

Kerjakan Latihan 8 halaman 139

4.4 DILATASI (PERKALIAN)

Dilatasi dengan Pusat S(x, y)

Perhatikan gambar berikut.Perhatikan gambar berikut.

Pada dilatasi dengan pusat S (x, y) dan faktor skala k,
(positif maupun negatif), berlaku rumus berikut:
P(a, b)[S(x, y), k]P’ (k(a – x) + x, k(b – y) + y).

4.4 DILATASI (PERKALIAN)

Contoh Soal

Tentukan bayangan titik P(8, 5) oleh dilatasi [S(6, 9), 2].
Jawab:

Kerjakan Latihan 9 halaman 142