PRESENTASI MATRIKS

Kuliah Jarak Jauh Program e-Learning Inherent
Fakultas Ilmu Komputer Universitas Indonesia

Aljabar Matriks

SASMIATI, S.Pd., M.Pd.

Kuliah Jarak Jauh Program e-Learning Inherent
Fakultas Ilmu Komputer Universitas Indonesia

Cakupan materi dan prasyarat

Cakupan materi
•Kesamaan matriks

•Jumlahan matriks

•Perkalian matriks dengan skalar

•Perkalian dua matriks

•Matriks inverse

Materi Prasyarat:

Sistem Persamaan Linier
Operasi baris elementer

Kuliah Jarak Jauh Program e-Learning Inherent
Fakultas Ilmu Komputer Universitas Indonesia

Matriks

•Matriks adalah susunan bilangan-bilangan yang terdiri atas baris-baris
dan kolom-kolom.

•Masing-masing bilangan dalam matriks disebut entri atau elemen.
Ordo (ukuran) matriks adalah jumlah baris kali jumlah kolom.

a11 a12…….a1j ……a1n
a21 a22 ……a2j…….a2n
:

: : :

ai1 ai2 ……aij…….. ain
:

: :

:

am1 am2……amj……. amn

A =
baris

kolom

Notasi:

Matriks: A = [aij]

Elemen: (A)ij = aij

Ordo A: m x n

Kuliah Jarak Jauh Program e-Learning Inherent
Fakultas Ilmu Komputer Universitas Indonesia

Matriks persegi

Matriks persegi (bujur sangkar) adalah matriks yang jumlah baris
dan jumlah kolom sama.

1 2 4

2 2 2

3 3 3

Trace(A) = 1 + 2 + 3

Trace dari matriks adalah jumlahan elemen-elemen diagonal utama

diagonal utama

Kuliah Jarak Jauh Program e-Learning Inherent
Fakultas Ilmu Komputer Universitas Indonesia

Matriks nol dan identitas

matriks nol adalah matriks yang semua elemennya nol

0 0

0
0 0

0 0

1 0

0 1

1 0 0

0 1 0

0 0 1

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

I2
I3
I4

matriks identitas adalah matriks persegi yang elemen diagonal utamanya 1
dan elemen lainnya 0

Kuliah Jarak Jauh Program e-Learning Inherent
Fakultas Ilmu Komputer Universitas Indonesia

Kesamaan dua matriks

•Dua matriks sama jika ukuran sama dan setiap entri yang bersesuaian sama.

1 2 4

2 1 3

A =
1 2 4

2 1 3

B =

1 2 2

2 1 3

C =
2 1 2

2 1 3

D =

1 2 4

2 2 2
E =

x 2 4

2 2 2
F =

2

2

2

4

5

6

9

0

7

G =
H =

?

?

?

?

?

?

?

?

?

A = B

C ≠ D

E = F jika x = 1

G = H

2

2

2

4

5

6

9

0

7

Kuliah Jarak Jauh Program e-Learning Inherent
Fakultas Ilmu Komputer Universitas Indonesia

Jumlahan dan pengurangan dua matriks

•Contoh

10 22

1

-1

A =
2

6

7

5

B =

10+2

22+6

1+7

-1+5

A + B =
12 28

8

4
=

8 16

-6 -6

=

A - B =
10-2

22-6

1-7

-1-5

• Apa syarat agar dua matriks dapat dijumlahkan?
•Jawab: ordo dua matriks tersebut sama

A = [aij] dan B = [bij] berukuran sama,

A + B didefinisikan: (A + B)ij = (A)ij + (B)ij = aij + bij

Kuliah Jarak Jauh Program e-Learning Inherent
Fakultas Ilmu Komputer Universitas Indonesia

Latihan: Jumlahan dua matriks (lanjutan)

5 6 1

7 2 3

C =
25 30 5

35 10 15

D =

C + D =

?

?

?

?

?

?

1 4 -9
3 7 0
5 9 -13

K =
7 3 1
-2 4 -5
9 -4 3

L =

K + L =

?

?

?

?

?

?

?

?

?

D + C =

L + K =

Apa kesimpulanmu? Apakah jumlahan matriks bersifat komutatif?

Kuliah Jarak Jauh Program e-Learning Inherent
Fakultas Ilmu Komputer Universitas Indonesia

Quiz: Jumlahan dua matriks

•Quiz:

1. C + D =…
2. C + E = …
3. A + B = …

3

-8

0

4

7

2

-1

8

4

C =
D =

3

7

2

5

2

6

-1

8

4

E =
2

7

2

5

2

6

0

0

0

0

0

0

A =
0

0

0

0

0

0

B =

6

-1

2

9

9

8

-2

16

8

C +D =

Feedback:

Kuliah Jarak Jauh Program e-Learning Inherent
Fakultas Ilmu Komputer Universitas Indonesia

Hasil kali skalar dengan matriks

•Contoh:

5 6 1

7 2 3

A =

5A = 5x5 5x6 5x1

5x7 5x2 5x3

25 30 5

35 10 15

=

250 300 50

350 100 150
H =
H = 50A

Catatan: Pada himpunan Mmxn, perkalian matriks dengan skalar bersifat
tertutup (menghasilkan matriks dengan ordo yang sama)

Diberikan matriks A = [aij] dan skalar c, perkalian
skalar cA mempunyai entri-entri sebagai berikut:

(cA)ij = c.(A)ij = caij

Apa hubungan H dengan A?

Kuliah Jarak Jauh Program e-Learning Inherent
Fakultas Ilmu Komputer Universitas Indonesia

Hasil kali skalar dengan matriks (lanjutan)

•K 3 x 3

1 4 -9
3 7 0
5 9 -13

K =

5 20 -45
15 35 0
25 45 -65
5K =

4 16 -36
12 28 0
20 36 -52

4K =

Kuliah Jarak Jauh Program e-Learning Inherent
Fakultas Ilmu Komputer Universitas Indonesia

Latihan: Hasil kali skalar dengan matriks

Diketahui bahwa cA adalah matriks nol. Apa kesimpulan Anda tentang A
dan c?

0

0

0

0

0

0

A = A =
2

7

2

5

2

6

c = 0 c = 7

cA =
0*2 0*7 0*2

0*5 0*2 0*6

0

0

0

0

0

0

=

cA =
7*0 7*0 7*0

7*0 7*0 7*0

Kasus 1: c = 0 dan A matriks sembarang.
Kasus 2: A matriks nol dan c bisa berapa saja.

Contoh:

kesimpulan

Kuliah Jarak Jauh Program e-Learning Inherent
Fakultas Ilmu Komputer Universitas Indonesia

Perkalian matriks

2 3 4 5

8 -7 9 -4

1 -5 7 -8

A =

1 2

7 -6

4 -9

11 3

B =

A B =

2.1 +3.7+4.4+5.11 -35

-49 -35

-94 -55

94 -35

-49 -35

-94 -55

=

Kuliah Jarak Jauh Program e-Learning Inherent
Fakultas Ilmu Komputer Universitas Indonesia

Perkalian matriks (lanjutan)

Definisi:

Jika A = [aij] berukuran m x r , dan B = [bij] berukuran r x n, maka matriks

hasil kali A dan B, yaitu C = AB mempunyai elemen-elemen yang

didefinisikan sebagai berikut:

r
∑ aikbkj = ai1b1j +ai2b2j+………airbrj

k = 1

(C)ij = (AB)ij =

2 3 4 5

8 -7 9 -4

1 -5 7 -8

A =

1 2

7 -6

4 -9

B =

Tentukan AB dan BA

A

B

AB

m x r

r x n

m x n

• Syarat:

Kuliah Jarak Jauh Program e-Learning Inherent
Fakultas Ilmu Komputer Universitas Indonesia

Perkalian matriks (lanjutan)

2 3 4 5

8 -7 9 -4

1 -5 7 -8

A =

1 2

7 -6

4 -9

11 3

B =

A B =

2.1 +3.7+4.4+5.11 -35

-49 -35

-94 -55

94 -35

-49 -35

-94 -55

=

BA tidak didefinisikan

Kuliah Jarak Jauh Program e-Learning Inherent
Fakultas Ilmu Komputer Universitas Indonesia

Perkalian matriks (lanjutan)

1. Diberikan A dan B, AB dan BA terdefinisi. Apa kesimpulanmu?

2. AB = O matriks nol, apakah salah satu dari A atau B pasti matriks nol?

2 3
2 3
A =

3 -3
-2 2
B =

0 0
0 0
AB =

B

A

n x k

m x n

m = k

ABmxm
ABnxn

AB dan BA
matriks persegi

AB matriks nol, belum tentu A atau B matriks nol

A

B

n x k

m x n

Kuliah Jarak Jauh Program e-Learning Inherent
Fakultas Ilmu Komputer Universitas Indonesia

Latihan: Perkalian matriks (lanjutan)

Tentukan hasil kalinya jika terdefinisi.

•A B = ??

•AC = ??

•BD = ??

•CD = ??

•DB = ??

2 3 4 5
4 7 9 0
2 3 5 6

A =

1 2
-9 0
8 0
5 6

B =

7 -11 4
3 5 -6

C =

1 8 9 5 6
2 5 6 -9 0
0 -4 7 8 9

D =

Kuliah Jarak Jauh Program e-Learning Inherent
Fakultas Ilmu Komputer Universitas Indonesia

Perpangkatan matriks

Contoh:

2 3
1 2
A =

A2 =
2 3
1 2

2 3
1 2

A3 = A x A2 =2 3

1 2

2 3
1 2

2 3
1 2

A0 = I
An =

n faktor

An+m = An Am

A A A …A

Kuliah Jarak Jauh Program e-Learning Inherent
Fakultas Ilmu Komputer Universitas Indonesia

Penyajian SPL dalam persamaan matriks

•SPL dalam bentuk:

•dapat disajikan dalam bentuk persamaan matriks:

a11x1 + a12x2 + a13x3 +….. ..a1nxn = b1

a21x1 + a22x2 + a23x3 +…….a2nxn = b2
:
am1x1 + am2x2 + am3x3 + ……amnxn = bm

a11 a12……...a1n
a21 a22 ……..a2n
:

: :

am1 am2…… amn

x1
x2
:
xn

=

b1
b2
:
bn

A:matriks koefisien

Ax = b

x

b

Kuliah Jarak Jauh Program e-Learning Inherent
Fakultas Ilmu Komputer Universitas Indonesia

Contoh: Penyajian SPL dengan
persamaan matriks

x1 + 2x2 + x3 = 6

-x2 + x3 = 1

4x1 + 2x2 + x3 = 4

SPL

1

2

1

0

-1 1

4

2

1

x1

x2

x3

=

6

1

4

1.x1 +2.x2 + 1.x3

0.x1 + -1.x2 + 1.x3

4.x1 +2.x2 + 1.x3

=

6

1

4

Kuliah Jarak Jauh Program e-Learning Inherent
Fakultas Ilmu Komputer Universitas Indonesia

Perkalian matriks sebagai fungsi: rotasi

•Matriks rotasi 45 derajat A dan vektor x

½√2 -½√2

-½√2 ½√2
A =
A x = ½√2

-½√2

1

0

=

x

y

x

x’ = Ax =

x =
π/4

1

0

½√2

-½√2

Kuliah Jarak Jauh Program e-Learning Inherent
Fakultas Ilmu Komputer Universitas Indonesia

Perkalian dengan matriks identitas

1 0 0

0 1 0

0 0 1

A=
1 2 3

7 5 6

-9 3 -7

A.I =

1 2 3

7 5 6

-9 3 -7

=

1 0 0

0 1 0

0 0 1

I.A =

=

1 2 3

7 5 6

-9 3 -7

1 2 3

7 5 6

-9 3 -7

1 2 3

7 5 6

-9 3 -7

Kuliah Jarak Jauh Program e-Learning Inherent
Fakultas Ilmu Komputer Universitas Indonesia

Perkalian dengan matriks identitas

AB = A dan BA = A, apa kesimpulanmu?

1 4 -9
3 7 0
5 9 -13

1 4 -9
3 7 0
5 9 -13

AB = A dan BA = A, maka B = I

(I matriks identitas)

1 0 0
0 1 0
0 0 1

1 0 0
0 1 0
0 0 1

=

=

1 4 -9
3 7 0
5 9 -13

1 4 -9
3 7 0
5 9 -13

A

A

I

I

A

=

=

Kuliah Jarak Jauh Program e-Learning Inherent
Fakultas Ilmu Komputer Universitas Indonesia

Inverse matriks

B adalah inverse dari matriks A, jika AB = BA = I matriks identitas, ditulis B = A-1

1 0 0

0 1 0

0 0 1

4 2

2 2

½ -½

-½ 1

4 2 1

2 2 1

3 3 1

½ -½ 1

-½ -½ 1

0 3 -2

1 0

0 1

Contoh

A
I
A-1

A-1

A

=

=

4 2

2 2

½ -½

-½ 1

=

=

A

A-1

A-1

A

I

4 2 1

2 2 1

3 3 1

½ -½ 1

-½ -½ 1

0 3 -2

=

=

B

B-1

B-1

B

I

Kuliah Jarak Jauh Program e-Learning Inherent
Fakultas Ilmu Komputer Universitas Indonesia

d

-b

ab-cd

ab-cd

-c

a

ab-cd

ab-cd












Inverse matriks 2x2

4 2

2 2

½ -½

-½ 1

1 0

0 1

d

-b

-c a

1

ad - bc

Jika ad –bc = 0 maka A TIDAK mempunyai inverse.

=

A

I

A-1

a b

c d

A-1
1 0

0 1

=

A-1

=

=

Kuliah Jarak Jauh Program e-Learning Inherent
Fakultas Ilmu Komputer Universitas Indonesia

Contoh: Inverse matriks 2x2

3 2

4 1

A =

I

=

1

-2

3.1-4.2

3.1-4.2

3

-4

3.1-4.2

3.1-4.2












=

A-1

1

2

5

5

3

4
5

5













Kuliah Jarak Jauh Program e-Learning Inherent
Fakultas Ilmu Komputer Universitas Indonesia

Quiz: inverse matriks

1. Kapan matriks TIDAK mempunyai inverse?
ab

cd












2. Tentukan inverse matriks berikut ini

1 0

0 1

d.

5 1

1 2

a.

0 1

0 2

b.

0 0

4 1

c.

1 0

0 1

d.

2/3 -1/5

-1/5 5/3

a.

ad-bc = 0

b. tidak mempunyai inverse

c. tidak mempunyai inverse

Kuliah Jarak Jauh Program e-Learning Inherent
Fakultas Ilmu Komputer Universitas Indonesia

Transpose

Definisi:

Transpose mariks A adalah matriks AT kolom-kolomnya adalah baris-baris dari A,
baris-barisnya adalah kolom-kolom dari A.

4 2 6 7

5 3 -9 7

A =

AT = A’ =

4 5

2 3

6 -9

77

Jika A adalah matriks m x n, maka matriks transpose AT berukuran ………..

[AT]ij = [A]ji

n x m

Kuliah Jarak Jauh Program e-Learning Inherent
Fakultas Ilmu Komputer Universitas Indonesia

Matriks Simetri

Matriks A disebut simetris jika dan hanya jika A = AT

4 2

2 3

A =
4 2

2 3

A’ =
A simetri

1 2 3 4
2 5 7 0
37 8 2
4 0 2 9

A =

= AT

Kuliah Jarak Jauh Program e-Learning Inherent
Fakultas Ilmu Komputer Universitas Indonesia

Matriks ortogonal

Matriks A orthogonal jika dan hanya jika AT = A –1

0 -1

1 0

A =

0 1

-1 0

AT=

B =
½√2 -½√2

½√2 ½√2

BT=
½√2 ½√2

-½√2 ½√2

Jika A adalah matriks orthogonal, maka(A-1)T = (AT)-1

= A-1

= B-1

(A-1)T = (AT)-1

A-1 AT

Kuliah Jarak Jauh Program e-Learning Inherent
Fakultas Ilmu Komputer Universitas Indonesia

Sifat-sifat transpose matriks

A
AT
(AT)T

(AT )T = A

1. Transpose dari A transpose adalah A:

4 2 6 7

5 3 -9 7

4 5

2 3

6 -9

77

4 5

2 3

6 -9

77

= A

Contoh:

Kuliah Jarak Jauh Program e-Learning Inherent
Fakultas Ilmu Komputer Universitas Indonesia

Sifat-sifat transpose matriks

2. (A+B)T = AT + BT

A+B

(A+B)T

T

BT

B

T

A

T

AT

=

=

+

+

Kuliah Jarak Jauh Program e-Learning Inherent
Fakultas Ilmu Komputer Universitas Indonesia

Sifat-sifat transpose matriks

3. (kA)T = k(A) T untuk skalar k

kA

(kA)T = k(A)T

A

T

T

k

Kuliah Jarak Jauh Program e-Learning Inherent
Fakultas Ilmu Komputer Universitas Indonesia

Sifat-sifat transpose matriks

4. (AB)T = BT AT

(AB)T

AB

T
T

A

B

T

=

AB

= BTAT

Kuliah Jarak Jauh Program e-Learning Inherent
Fakultas Ilmu Komputer Universitas Indonesia

Quiz:

Isilah titik-titik di bawah ini
1. A simetri maka A + AT= ……..
2. ((AT)T)T = …….
3. (ABC)T = …….
4. ((k+a)A)T = ….....
5. (A + B + C)T = ……….

Kunci:
1.

2A

2.

AT

3.

CTBTAT

4.

(k+a)AT

5.

AT + BT + CT

Kuliah Jarak Jauh Program e-Learning Inherent
Fakultas Ilmu Komputer Universitas Indonesia

Mengingat kembali

1. Sebutkan 3 operasi baris elementer

2. Diberikan matriks identitas 3x3. Terapkan satu, dua dan tiga kali operasi

baris elementer pada matriks identitas tersebut.

3. Berapa kali operasi baris elementer kamu terapak untuk memperoleh E dari

matriks identitas I?

1 10 0

0

070 0

000 1

00 1 0

E













 










4. Minimal berapa kali kamu menerapkannya untuk memperoleh E?

tiga kali

Salah satu jawaban: 7 kali yaitu,
[1] kalikan brs kedua dengan 7,
[2-4] tiga kali tukar baris 3 dan 4,
[5]kalikan 2 baris pertama,
[6] kalikan 5 baris pertama

Kuliah Jarak Jauh Program e-Learning Inherent
Fakultas Ilmu Komputer Universitas Indonesia

Matriks elementer

•Operasi baris elementer pada matriks

1. mengalikan baris dengan kontanta tidak nol

2. menukarkan posisi dua baris

3. baris dijumlahkan dengan skalar kali baris yang lain

1

1 0 0 0
0 7 0 0
0 0 0 1
0 0 1 0

B













 









1

1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 0 1
0 0 1 0

E













 









2

0 4 0
0 0 1
1 0 0

B







 








2

1 9 0
0 1 0
0 0 1

E







 








Definisi:
Matriks elementer adalah matriks yang dapat diperoleh dari matriks
identitas dengan melakukan tepat satu kali operasi

B1 dan B2 bukan matriks elementer,

E1 dan E2 matriks elementer.

Kuliah Jarak Jauh Program e-Learning Inherent
Fakultas Ilmu Komputer Universitas Indonesia

Matriks elementer (lanjutan)

1 0 0 0

0 7 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

R2 7* R2

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 0 1

0 0 1 0

minimal 3 kali obe

1 0 0 0

0 7 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

1 0 0 8

0 7 0 0

0 0 0 1

0 0 1 0

R3 R4

minimal 2 kali obe

Kuliah Jarak Jauh Program e-Learning Inherent
Fakultas Ilmu Komputer Universitas Indonesia

Matriks elementer (lanjutan)

R2 4* R2

R3 R2

1 0 0

0 0 1

0 1 0

R1 4R2+R1

1 0 0

0 1 0

0 0 1

1 0 0

0 4 0

0 0 1

1 4 0

0 1 0

0 0 1

Kuliah Jarak Jauh Program e-Learning Inherent
Fakultas Ilmu Komputer Universitas Indonesia

Inverse matriks elementer

1 0 0
0 0 1
0 1 0

E1 =

R2 R3

1 0 0
0 0 1
0 1 0

(E1)-1 =

1 0 0
0 0 1
0 1 0

1 0 0
0 0 1
0 1 0

1 0 0
0 1 0
0 0 1

=

1 0 0
0 2 0
0 0 1

E3=

R2 2 R2

1 2 0
0 1 0
0 0 1

E3 =

R1 R1+2R2

1 -2 0
0 1 0
0 0 1

(E3)-1 =

1 2 0
0 1 0
0 0 1

1 -2 0
0 1 0
0 0 1

1 0 0
0 1 0
0 0 1

=

1 0 0
0 ½ 0
0 0 1

(E2)-1 =

1 0 0
0 2 0
0 0 1

1 0 0
0 1 0
0 0 1

=

1 0 0
0 ½ 0
0 0 1

Kuliah Jarak Jauh Program e-Learning Inherent
Fakultas Ilmu Komputer Universitas Indonesia

Matriks elementer (lanjutan)

R2 4* R2

R3 R2

1 0 0

0 0 1

0 1 0

R1 4R2+R1

1 0 0

0 1 0

0 0 1

1 0 0

0 4 0

0 0 1

1 4 0

0 1 0

0 0 1

R2 (1/4)* R2

R3 R2

1 0 0

0 0 1

0 1 0

R1 - 4R2+R1

1 0 0

0 1/4 0

0 0 1

1 -4 0

0 1 0

0 0 1

E1=
E1

-1=

E2=

E3=

E2

-1=

E3

-1=

Kuliah Jarak Jauh Program e-Learning Inherent
Fakultas Ilmu Komputer Universitas Indonesia

Inverse matriks elementer (lanjutan)

I E

I E

-1

Mengalikan baris ke dengan
konstanta tak nol k

Mengalikan baris ke i
dengan konstanta tak nol
1/k

Menukar baris ke i dengan
baris ke j

Menukar baris ke i dengan
baris ke j

Baris ke i ditambah k kali
baris ke j

Baris ke i dikurangi k kali
baris ke j

Kesimpulan:
Setiap matriks elementer mempunyai inverse dan
inverse matrks elementer adalah matriks elementer

Kuliah Jarak Jauh Program e-Learning Inherent
Fakultas Ilmu Komputer Universitas Indonesia

Latihan: inverse matriks elementer

Tentukan inverse matriks elementer berikut ini

Jawaban:

1 0 0
0 2 0
0 0 1

1 0 0
0 0 1
0 1 0

1 0 0
0 1 0
0 5 1

E1

E2

E3

1 0 0
0 0 1
0 1 0

1 0 0
0 1 0
0 -5 1

1 0 0
0 1/2 0
0 0 1

E1

-1

E3

-1

E2

-1

Kuliah Jarak Jauh Program e-Learning Inherent
Fakultas Ilmu Komputer Universitas Indonesia

Sifat-sifat

1. Inverse dari matriks jika ada adalah tunggal:

Jika B = A-1 dan C = A-1, maka B = C

4 2

2 2

A =

½ -½

-½ 1

A-1

4 2

2 2

1 0

0 1

2.(A-1)-1 = A

?

(A-1)-1

=

½ -½

-½ 1

A-1 =

A

Kuliah Jarak Jauh Program e-Learning Inherent
Fakultas Ilmu Komputer Universitas Indonesia

Sifat-sifat (lanjutan)

3. Jika A mempunyai inverse maka An mempunyai inverse dan

(An)-1 = (A-1)n, n = 0, 1, 2, 3,…

4 2

2 2

A =

4 2

2 2

A3 =
4 2

2 2

4 2

2 2

½ -½

-½ 1

A-1 =

=

104 64

64 40

(A3)-1 =
0.625 -1

-1 1.625

(A-1)3 =
0.625 -1

-1 1.625

½ -½

-½ 1

½ -½

-½ 1

½ -½

-½ 1

=

sama

Kuliah Jarak Jauh Program e-Learning Inherent
Fakultas Ilmu Komputer Universitas Indonesia

Sifat-sifat (lanjutan)

4. Jika k skalar tidak nol, maka (kA)-1 = 1/k A-1

4 2

2 2

20 10

10 10

(5 A)-1 = 0.1 -0.1

-0.1 0.2

1/5 (A)-1 = 1/5

= 0.1 -0.1

-0.1 0.2

½ -½

-½ 1

(5A) =

=

5

sama

Kuliah Jarak Jauh Program e-Learning Inherent
Fakultas Ilmu Komputer Universitas Indonesia

Sifat-sifat (lanjutan)

5. (AB)-1 = B-1 A-1

4 2

2 2

A =
3 5

2 2

B =

B-1 = ½ 5/4

½ - ¾

(AB)-1 = 16 24

10 14

-1

=
-0.875 1.5

0.625 -1

A-1 B-1 =
½ 5/4

½ - ¾

½ -½

-½ 1
=
-0.5 1
0.75 -1.375

B-1 A-1 = ½ 5/4

½ - ¾

½ -½

-½ 1

=
-0.875 1.5

0.625 -1

Kuliah Jarak Jauh Program e-Learning Inherent
Fakultas Ilmu Komputer Universitas Indonesia

Perkalian dengan matriks elementer

1 2 0

3 1 1

4 1 0

1 0 0

0 4 0

0 0 1

1 1 0

0 1 0

0 0 1

1 0 0

0 4 0

0 0 1

1 2 0

3 1 1

4 1 0

1 2 0

12 4 4

4 1 0

E

A

E

A

R2 4R2

R2 4R2

I

Mengalikan matriks A dari kanan dengan matriks elementer (EA) sama
efeknya dengan menerapkan operasi baris elementer (yang sama dengan
operasi baris elementer untuk mendapat kan E dari I) pada A.

Kuliah Jarak Jauh Program e-Learning Inherent
Fakultas Ilmu Komputer Universitas Indonesia

Matriks elementer dan operasi baris
elementer

Diterapkan obe pada matriks A

R1 R3

I E
R1 R3

R2  ½ R2

I E
R2  ½ R2

R1  R1 + 2R2

I E
R1  R1 + 2R2

123

221

690



















6 9 0
2 2 1
1 2 3



















1 2 3
2 2 1
6 9 0



















0 0 1

1 2 3

0 1 0

2 2 1

1 0 0

6 9 0





























6 9 0
2 2 1
1 2 3



















1 2 3
2 2 1
6 9 0



















1
2

1 2 3

11

6 9 0



















1
2

1001 2 3

0

02 2 1

0016 9 0





























1
2

1 2 3

11

6 9 0



















=

565

221

690



















565

221

690



















120123

010221

001690





























E

E

E

=

=

Hasilnya sama dengan EA

EA

EA

EA

Kuliah Jarak Jauh Program e-Learning Inherent
Fakultas Ilmu Komputer Universitas Indonesia

Mengingat kembali:

Menerapkan operasi baris
elementer pada matriks A sama
dengan mengalikan A dari kanan
dengan matriks elementer yang
sesuai.

Bentuk eselon baris
tereduksi dari matriks
persegi adalah matriks
identitas atau matriks
dengan baris nol

Matriks persegi yang
mempunyai inverse dapat
direduksi menjadi
matriks identitas dengan
serangkaian operasi baris
elementer.

Kita akan
menerapkan
operasi baris
elementer untuk
menentukan
inverse matriks.

Kuliah Jarak Jauh Program e-Learning Inherent
Fakultas Ilmu Komputer Universitas Indonesia

Mencari inverse dengan operasi baris
elementer

obe1 obe 2 ….. obe s
•A--------------------------------------- I

Es Es-1 ….E2 E1 A
Setiap penerapan operasi baris elemener ke i, obe-i pada A, sama dengan mengalikan dengan Ei
dari kanan dengan A.

Jadi, Es Es-1 ….E2 E1 A = I
(kelompokkan Es sd E1, namakan B)

BA= I
Maka B = A-1
Es Es-1 ….E2 E1 = A-1
Es Es-1 ….E2 E1 I = A-1
Sehingga, jika obe1 obe 2 ….. obe s diterapkan berturut-turut pada matriks identitas I maka akan

dihasilkan A-1

obe1 obe 2 ….. obe s
I ----------------------------------- A-1

•Prosedur: [A|I]  [I | A-1]

•[Contoh1: matriks 2x2 A [A|I]  [I | A-1]

•Contoh2:penerapan metode di atas untuk menentukan inverse matriks 3x3. (pilih matriks yang
sederhana) ]

Kuliah Jarak Jauh Program e-Learning Inherent
Fakultas Ilmu Komputer Universitas Indonesia

Mencari inverse dengan operasi baris
elementer

obe1 obe 2 ….. obe s
A I
Es …. E2 E1 A

Matriks persegi yang mempunyai inverse
dapat direduksi menjadi matriks identitas
dengan serangkaian operasi baris elementer.

Setiap penerapan operasi baris
elemener ke i, obe-i pada A, sama
dengan mengalikan dengan Ei dari
kanan dengan A.

Es Es-1 ….E2 E1 A = I

Inverse matriks A dapat
diperoleh dengan
serangkaian operasi baris
elementer pada A.

A-1

obe1 obe 2 ….. obe s
I A-1
Es …. E2 E1 A

Kuliah Jarak Jauh Program e-Learning Inherent
Fakultas Ilmu Komputer Universitas Indonesia

Mencari inverse dengan operasi baris
elementer (lanjutan)

Prosedur: Menentukan A-1

Diberikan matriks Anxn yang mempunyai inverse

1. Bentuk matriks [A|I]

2. Terapkan operasi baris elementer pada matriks [A|I] sedemikian

hingga A telah tereduksi menjadi matriks identitas I. maka pada saat

yang sama I berubah menjadi A-1.

[I | A-1]

obe obe… obe

[A | I]

Kuliah Jarak Jauh Program e-Learning Inherent
Fakultas Ilmu Komputer Universitas Indonesia

Contoh:

4 2

2 2

A =

A-1=

½ -½

-½ 1

4 2 1 0

2 2 0 1

1 ½ 1/4 0

2 2 0 1

1 ½ 1/4 0

0 1 -½ 1

1 0 ½ -½

0 1 -½ 1

Baris pertama kali 1/4

Brs kedua dikurangi

2 kali brs pertama

Brs pertama dikurangi

1/2 kali brs kedua

I

A-1

Open Ended

Pada prodesur apa saja operasi baris elementer digunakan?

Multiple Choice

Diketahui matriks A dan B seperti gambar di atas, maka A + B = ....

Multiple Choice

Multiple Choice

Ordo dari matriks A adalah ....

• 4 x 3

• 3 x 4

• 3 x 2

• 2 x 3

Fill in the Blanks

Multiple Choice

find:  B x A

• 47     30 9     5

• 17     15 42     35

• 47     9 30    5

• not possible because rows do not match columns

Multiple Select

Pilihlah pernyataan yang benar

• Perkalian matriks bersifat komutatif komutatif

• Menerapkan operasi baris elementer ei pada A hasilnya sama dengan EA, dengan E matriks elementer untuk memperoleh E dari I.

• Setiap matriks elementer mempunyai inverse dan inversenya juga elementer

• Syarat dua matrik bisa dijumlahkan atau dikurnagkan adalah elemennya sama

• Ordo (ukuran) matriks adalah jumlah baris kali jumlah kolom.

Multiple Choice

Multiple Choice

Matriks ordo $$2\times3$$  artinya ....

• 2 baris X 3 kolom

• 2 baris X 3 baris

• 2 kolom X 3 baris

• 2 kolom X 3 kolom

• 2 baris X 3 garis