Das Skalarprodukt

Multiplikation von Vektoren

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Segelbootsfahrt

Einstieg

Poll

Wer mag Segelbootsfahrten ?

(Bootsfahrten allgemein)

• Richtig gut !

• Mag ich gar nicht!

• Mir wird immer schlecht

• ich bin noch nie Boot gefahren

• Ich habe einen Segelschein.

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Word Cloud

Welchen Einfluss kann der Wind auf die Bootsfahrt nehmen ?

Word Cloud

Welche Windeigenschaften sollten berücksichtigt werden ?

Word Cloud

Welche Fälle bezogen auf die Windrichtung sollten untersucht werden ?

Word Cloud

Was hat das mit Vektorrechnung zu tun ?

Vektoren Multiplikation

Man unterscheidet unterschiedliche Arten:

• Multiplikation eines Vektors mit einer Zahl (einem Skalar)

• Multiplikation von zwei Vektoren

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Open Ended

Was bewirkt eine Multiplikation mit einer Zahl (Skalar) bei einem Vektor geometrisch ?

multiplizieren k komponentenweise mit dem Vektor.

​​rechnerisch

Der Vektoren wird "skaliert"
- verlängert: k > 0
- verkürzt: 0 < k < 1

​​graphisch

Multiplikation mit einer Zahl

Explanation Slide...

Multipliziere k komponentenweise, also k Mal der x1 - Komponente und k Mal der x2- Komponente. Bei dreidimensionalen Vektoren funktioniert es genauso. Du musst dann auch die x3 - Komponente multiplizieren.

Multiple Choice

Nun betrachten wir die Aufgabe graphisch.

Gegeben ist der Vektor $$\overrightarrow{\ a\ }$$ und die Zahl k = 3 .

Wir der Vektor verkürzt oder verlängert ?

• verkürzt

• verlängert

Math Response

Berechne:

Schreibe den Vektor als Zeilenvektor: (x₁. x₂)

Wir müssen hier aus technischen Gründen einen Punkt statt Komma verwenden.

Type answer here

Correct Answer: \left(20.20\right)

Deg^°

Rad

Multiple Choice

Frage: Gegeben ist der Vektor $$\overrightarrow{\ a\ }$$ und die Zahl k = 3 . Wie lautet das Ergebnis der Multiplikation ?

• A

• B

Dropdown

Bei der Skalarmultiplikation wird eine Zahl ​

Select answer

( die Zahl nennt man auch ​

Select answer

)​ mit jeder ​

Select answer

des Vektors multipliziert.

Draw

Skizziere die folgende Vektoroperation:

$$2\ \cdot\overrightarrow{\ a\ }$$

Draw

Zeichne die folgende Vektoroperation

Anwendung
der Skalarmultiplikation

Multiple Choice

Wie lautet der neue Geschwindigkeitsvektor ?

Dropdown

Wenn der Wind von hinten kommt, in Geschwindigkeitsrichtung des Bootes, ​ ​ dann gilt: .

Select answer

Wann sind
2 Vektoren parallel ?

Wann sind zwei Vektoren kollinear?

Wenn 2 Vektoren Vielfache voneinander sind.

Parallel, antiparallel und identisch

• Parallel

• Antiparallel

• identisch

Kollinearität

Drag and Drop

Wenn zwei Vektoren parallel, ​identisch oder antiparallel sind, sind sie ​ .

Das bedeutet, dass es ein k (ein ​​

Placeholder

) gibt, durch das sich der eine Vektor als ​ ​

Placeholder

des anderen darstellen lässt. Es gilt: ​ ​

Placeholder

.

Wenn k > 0 ist, dann sind die Vektoren ​

Placeholder

Wenn k < 0 ist, dann sind die Vektoren ​

Placeholder

.Wenn k = 1 ist, sind die Vektoren identisch.

Drag these tiles and drop them in the correct blank above

Skalar

Vielfaches

parallel

antiparallel

orthogonal

Vektor

senkrecht

Categorize

Options (12)

k = 2

k = -2

k = 1

es gibt kein gemeinsames k

Entscheide, welche Vektoren kollinear (parallel/ identisch/ antiparallel) oder nicht kollinear sind.

parallel

antiparallel

identisch

nicht kollinear

Multiple Choice

Bestimmen Sie zwei kollineare Vektoren.

• AH und BC

  sowie

  OB und FA

• OG und BD

  sowie

  OA und OB

• BA und FA

  sowie

  DH und OD

• BG und DH

  sowie

  AG und AC

a) Handelt es sich um ein rechtwinkliges Dreieck ?
b) Entwickle eine allgemeine Formel zur Bestimmung, ob Orthogonalität (senkrecht/ rechtwinklig) vorliegt.

Segel

Multiple Choice

Ist das Segel rechtwinklig ?

• Ja

• Nein

• Ich weiß es nicht

Reorder

Wie geht man vor bei der Aufgabe a)

• Verbindungsvektoren bestimmen

• Länge der Verbindungsvektoren berechnen

• Pythagoras aufstellen

• Überprüfen, ob die Kathetenlängen zum Quadrat dem Quadrat über der Hypotenuse entspricht.

1

2

3

4

• 1
• 2
• 3
• 4

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Der Wind kommt von der Seite

Was drückt das Skalarprodukt eigentlich aus ?

Das Skalarprodukt erkunden

Geogebra

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Open Ended

Beschreibe nun, welche Beobachtungen du gemacht hast:

Welche Zusammenhänge gibt es zwischen dem Winkel und dem Skalarprodukt ?

Was drückt das Skalarprodukt aus ?

Skalarprodukt von Vektoren

Das Skalarprodukt zwischen zwei Vektoren dient dem Bestimmen des Winkels zwischen diesen beiden. Man multipliziert zwei Vektoren und erhält eine Zahl.

 

 

​

​Das Skalarprodukt ist definiert als die Summe zwischen den Produkten der einzelnen Komponenten. Die zweite Gleichung lässt sich mit dem Kosinussatz beweisen.

Skalarprodukt von Vektoren

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Multiple Choice

Das Skalarprodukt zweier Vektoren gibt eine Aussage über…

• a) Die Fläche des von ihnen aufgespannten Dreiecks

• b) Den Winkel zwischen den beiden Vektoren

• c) Die Länge der beiden Vektoren

• d) Die Fläche der beiden Vektoren, die sie aufspannen

Drag and Drop

Das Skalarprodukt wird so berechnet:

​

Placeholder

= ​

Placeholder

+​

Placeholder

+​

Placeholder

Drag these tiles and drop them in the correct blank above

Multiple Choice

Was ist das Skalarprodukt von ?

(ohne CAS)

• -3

• 3

• 5

• 1

Fill in the Blanks

Der Befehl für das Skalarprodukt des Vektor a und b lautet:

Multiple Choice

Was ist das Skalarprodukt von (3,0,1) und (5,2,2)?

• 17
• 18
• 16
• 19

Multiple Choice

Wozu bestimmt man geometrisch

das Skalarprodukt von zwei Vektoren? Um ...

• die Richtung eines Vektors zu bestimmen.

• zu bestimmen ob zwei Vektoren senkrecht zueinander stehen.

• die Länge eines Vektors zu bestimmen.

• zu bestimmen, ob zwei Vektoren gleich lang sind.

Multiple Choice

Welche Aussage stimmt?

• Ja, sie sind senkrecht zueinander, da das Skalarprodukt 90° ergibt.

• Ja, sie sind senkrecht aufeinander, da das Skalarprodukt Null ergibt.

• Nein, sie sind nicht senkrecht zueinander, da das Skalarprodukt nicht 90° ergibt.

• Diese zwei Vektoren können nicht senkrecht zueinander sein.

Multiple Select

Finde alle passenden Vektoren $$\overrightarrow{u}$$  , sodass $$\overrightarrow{\ u\ }$$ senkrecht zu $$\overrightarrow{\ v\ }$$ steht.

Multiple Choice

Wie groß ist der Winkel $$\alpha$$ zwischen den Vektoren $$\overrightarrow{a\ \ }$$ = (2,1,0) und $$\overrightarrow{\ \ b\ }$$ = (-2,5,-4)? Berechne mit dem CAS. Bestimme den Winkel ganzzahlig (ohne Kommastellen)

• 72°

• 83°

• 92°

• 26°

Multiple Choice

Für welches x sind die Vektoren (x,3,2) und (0,2,5) senkrecht zueinander?

• 16
• -16
• 2
• geht nicht

Multiple Choice

Für welches x sind die Vektoren (x,x,-4) und (4,2,3) senkrecht zueinander?

• 2
• -2
• 3
• geht nicht

Multiple Choice

Für welches x sind die Vektoren (x,3,-4) und (x,1,3) senkrecht zueinander?

• -3
• 4
• 2
• geht nicht

Multiple Choice

Skalarprodukt

• 22

• 15

• 30

• 18

Multiple Choice

Berechne den Winkel

• 60°

• 45°

• 32°

• 18°

Multiple Choice

Interpretiere diese Ergebnisse

• Der Wind trägt überhaupt nicht zur Bewegung bei.

• Der Wind unterstützt die Fahrt nur wenig, da er von der Seite weht.

• Der Wind unterstützt die Fahrt des Bootes stark, da der Winkel nur 32° beträgt.

• Der Wind bremst das Boot, weil der Winkel über 90° liegt.

Fill in the Blanks

Welchen Winkel schliessen die beiden zuvor angegebenen Vektoren ein? Tippen Sie die Zahl auf zwei Kommastellen genau ohne Gradzeichen ein.