KAIDAH PENCACAHAN

KAIDAH PENCACAHAN

by Dedi Pradesa

KAIDAH PENCACAHAN

By Ni Sukreni

​KAIDAH PENCACAHAN

​MODUL MATEMATIKA WAJIB

​KELAS XII MIP/IPS

​OLEH

​SUGIYO PRASETYO,S.Pd.

Kaidah Pencacahan

(Sub Topik Aturan Penjumlahan dan

Aturan Perkalian)

by Ni Ketut Sartini

Poll

BAGAIMANA KABAR ANANDA HARI INI?

Petunjuk:

1. ​Pada lesson ini kalian akan mempelajari materi aturan penjumlahan dan aturan perkalian.

2. Cermati permasalahan yang diberikan dengan baik agar kalian menguasai konsep aturan penjumlahan dan aturan perkalian dengan baik

3. ​Pada lesson ini juga disedikan 4 latihan soal yang harus kalian jawab untuk menguji pemahaman kalian terhadap materi aturan penjumlahan dan aturan perkalian

4. ​Di akhir aktivitas kalian diminta mengisi refleksi terhadap pembelajaran ini.

5. ​Selamat belajar.

​​1. Aturan Penjumlahan

Sebelum kita membahas prinsip dasar aturan penjumlahan, perhatikan dua masalah berikut!

​

​Masalah 1.1

​Di dalam kotak pensil terdapat 5 pulpen dan 3 pensil, berapakah banyaknya cara memilih satu pulpen atau satu pensil?

​​​Untuk masalah 1 dapat kita selesaikan sebagai berikut:

• Kejadian pertama (memilih satu pulpen) dapat terjadi dengan 5 cara.

• Kejadian kedua (memilih satu pensil) dapat terjadi dengan 3 cara.

Jadi, banyaknya cara memilih satu pulpen atau satu pensil adalah 5 + 3 = 8 cara.

​

​​Masalah 1.2

​Mira mempunyai 3 kemeja dan 2 kaos. Pada saat akan bepergian Mira memakai salah satu dari kemeja atau kaos yang dimilikinya. Tentukan banyak pilihan kemeja atau kaos yang dapat dipakai Mira!

​

​Permasalahan ini dapat diselesaikan sebagai berikut.

​

Banyak kemeja yang dimiliki Mira ada 3. Dengan demikian ia dapat memilih salah satu dari 3 kemeja tersebut. Banyak kaos yang dimiliki Mira ada 2. Dengan demikikan, ia dapat memilih salah satu dari 2 kaos tersebut. Oleh karena Mira hanya dapat memakai salah satu dari kemeja atau kaos yang dimilikinya, banyak pilihan yang dimiliki Mira adalah 3+2=5 pilihan.

​

​Masalah di atas memberikan gambaran mengenai cara mencacah yang disebut aturan penjumlahan

​Some text here about the topic of discussion.

​Helloo anak-anak apa khabar ? salam sehat ya ... hari ini kita bertemu lagi dengan pelajaran Matematika .. kali ini ibu akan ajak kalian belajar dengan Quizizz .. dengan topik "Kaidah Pencacahan" ... namun sebelumnya isi daftar hadir dulu ya ...

​Secara khusus aturan penjumlahan berbunyi sebagai berikut.

​

“Jika kejadian pertama dapat terjadi dalam m cara dan kejadian kedua secara terpisah dapat terjadi dalam n cara, maka kejadian pertama atau kejadian kedua dapat terjadi dalam (m + n) cara.”

​

 Aturan penjumlahan dapat diperluas sebagai berikut.

​

​“Jika kejadian pertama dapat terjadi dalam n₁ cara, kejadian kedua secara terpisah dapat terjadi dalam n₂ cara, kejadian ketiga secara terpisah dapat terjadi dalam n₃ cara, dan seterusnya, dan kejadian ke-p secara terpisah dapat terjadi dalam n_p cara, maka kejadian pertama, atau kedua, atau ketiga, ... , atau kejadian ke-p dapat terjadi dalam (n₁ + n₂ + n₃ + ... + n_p) cara.”

​Contoh 1

​Di dalam kantong terdapat 10 kelereng berwarna merah, 7 kelereng berwarna hijau, 5 kelereng berwarna kuning, dan 3 kelereng berwarna biru. Berapakah banyaknya kemungkinan untuk mengambil satu kelereng berwarna merah atau hijau atau kuning atau biru?

​​Jawab:

• ​Kejadian pertama (mengambil satu kelereng merah) dapat terjadi dengan 10 cara

• ​Kejadian kedua (mengambil satu kelereng hijau) dapat terjadi dengan 7 cara.

• ​Kejadian ketiga (mengambil satu kelereng kuning) dapat terjadi dengan 5 cara

• ​Kejadian keempat (mengambil satu kelereng biru) dapat terjadi dengan 3 cara.

  Jadi banyaknya cara mengambil satu kelereng warna merah atau hijau atau kuning atau biru adalah 10 + 7 + 5 + 3 = 25 cara.

Sebelum kita membahas prinsip dasar aturan perkalian, perhatikan masalah berikut!

​Masalah 2.1

Wayan memiliki 3 baju yang berbeda warna, yaitu hijau, biru, dan abu-abu. Dia juga mempunyai 2 celana panjang yang warnanya berbeda, yaitu biru dan hitam seperti pada gambar di bawah ini.

​

​

​

​

​

​Dapatkah kalian menolong Wayan untuk menentukan banyaknya setelan baju dan celana berbeda yang dapat digunakan Wayan?

​2. Aturan Perkalian

​

​

​

​

​

Dari permasalahan tersebut, kalian dapat membuat tabel untuk mencatat semua setelan baju dan celana berbeda seperti berikut ini

​

​

​

​

​

​​Dari tabel di atas diperoleh banyaknya stelan baju dan celana berbeda yang dapat digunakan Wayan ada 6.

Saksikan video berikut :

​

​

​

​

​

​Atau bisa kalian simulasikan seperti ini

​

​

Jika dihubungkan dengan banyak baju dan celana berbeda yang dimiliki Wayan, maka kita bisa menuliskan 6 = 3 x  2 = n(B) x n(C). Atau banyak setelan baju dan celana berbeda yang dapat digunakan Wayan merupakan hasil perkalian antara banyak baju berbeda dengan banyak celana berbeda yang dimiliki Wayan.

​

 

​Masalah 2.2 Melambungkan Sekeping Uang Logam dan Sebuah Dadu

​

Di SMP, kalian telah mempelajari tentang ruang sampel. Banyak anggota ruang sampel dari sekeping mata uang logam ada 2, yaitu Angka dan Gambar atau bisa ditulis dengan S₁ = {A, G}. Banyak anggota ruang sampel dari sebuah dadu ada 6, yaitu mata dadu 1, 2, 3, 4, 5, dan 6 atau bisa ditulis dengan S₂ = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

​a. Ambillah sekeping mata uang logam dan sebuah dadu, kemudian lambungkan keduanya bersama-sama.

​b. Catatlah hasil-hasil yang mungkin berupa pasangan berurutan. Misalnya, jika setelah melambungkan uang logam dan dadu tersebut diperoleh sisi gambar pada uang dan angka 1 pada dadu, maka ditulis dalam pasangan berurutan

(A, 1).

​c. Dapatkah kalian menentukan semua hasil yang mungkin berupa pasangan berurutan dari percobaan di atas?

​

​Nah, untuk menjawab pertanyaan ini, kita membuat tabel untuk mencatat semua hasil yang mungkin dari percobaan seperti berikut ini.

​

Home

Open in new tab

Copy link

​Bisa juga dengan cara mendaftar anggotanya seperti berikut:

S = {(A, 1), (A, 2), (A, 3), (A, 4), (A, 5), (A, 6), (G, 1), (G, 2), (G, 3), (G, 4), (G, 5), (G, 6)}

Banyak anggota dari ruang sampel S atau ditulis n(S) = 12.

Berarti banyak hasil yang mungkin dari pelambungan sekeping mata uang logam dan sebuah dadu adalah 12.

​

Coba kita mencari hubungan antara n(S) = 12 dengan banyaknya hasil yang mungkin untuk objek mata uang logam yakni n(S₁) = 2 dan banyaknya hasil yang mungkin untuk objek dadu yakni n(S₂) = 6.

Kalau kita amati secara seksama ternyata n(S) = 12 = 2 x 6 = n(S₁) x n(S₂)

​

​Dua masalah di atas memberikan gambaran mengenai cara mencacah yang disebut aturan perkalian.

​Contoh 2

​Putri akan menyusun bilangan ratusan dari angka–angka 0,1,2,3. Tentukan banyak susunan bilangan ratusan yang terdiri atas angka-angka berbeda yang dapat dibentuk.

​Jawab:

​Untuk menyelesaikan soal di atas, kalian dapat mendata bilangan-bilangan yang mungkin terbentuk sebagai berikut:

​

​

​Dengan demikian ada 18 bilangan ratusan berbeda yang dapat disusun dari angka 0,1,2 dan 3

​ATURAN PENJUMLAHAN

​Agar lebih mudah, kalian juga dapat menerapkan konsep aturan perkalian pada persoalan tersebut sebagai berikut.

​ Bilangan ratusan memiliki nilai tempat ratusan, puluhan dan satuan.

1. ​Angka-angka yang dapat menempati nilai tempat ratusan ada 3 yaitu 1,2 dan 3

2. ​Angka-angka yang dapat menempati nilai tempat puluhan ada 4 yaitu 0,1,2,dan 3. Oleh karena bilangan ratusan yang disusun harus berbeda, setelah satu angka menempati tempat ratusan, tersisa (4-1)= 3 angka sehingga ada 3 cara untuk mengisi nilai tempat puluhan.

3. ​Setelah dua angka menempati tempat ratusan, dan puluhan tersisa (4-2)= 2 angka sehingga ada 2 cara untuk mengisi nilai tempat satuan.

​Dengan demikian, dapat disusun sebagai berikut:

​Jadi banyaknya bilangan ratusan berbeda yang dapat disusun dari angka 0,1,2,3 adalah

​3x3x2=18 bilangan

Selamat kalian sudah menguasai materi dengan baik.

Pada slide berikutnya kalian akan dihadapkan pada soal-soal untuk melatih/menguji pemahaman kalian terhadap materi ini.

Selamat mengerjakan!

Multiple Choice

 Dalam susunan kepanitiaan OSIS, terdapat sie keamaan, sie budi pekerti, sie kesenian, sie olahraga, dan sie kebersihan lingkungan. Sie keamaan terdiri dari 10 anggota, sie budi pekerti terdiri dari 12 anggota, sie kesenian 10 anggota, sie olahraga 8 anggota, dan sie kebersihan lingkungan terdiri dari 10 anggota. Jika salah satu dari anggota sie tersebut dipilih untuk mewakili OSIS dalam rapat evaluasi program sekolah, tentukan banyak cara memilih perwakilan OSIS tersebut.                                                                          

• 50

• 45

• 40

• 35

• 30

Fill in the Blank

Kota A dan kota E dihubungkan oleh beberapa jalan melalui kota B, C dan D seperti pada gambar.

Jika seseorang berangkat dari kota A menuju kota E, tentukan banyak alternative jalan yang dapat dipilih. (ketik angka yang merupakan jawaban akhirnya saja)

Fill in the Blank

Dari angka-angka 1,3,5,6,8,9 akan disusun bilangan terdiri atas 3 angka berlainan. Banyaknya bilangan lebih besar dari 600 yang dapat dibuat adalah ....

Multiple Choice

Made mencari buku tentang Olahraga, Politik dan Kesehatan. Di perpustakaan sekolah, Made menemukan beberapa macam buku dari jenis buku yang dibutuhkannya. Berikut adalah data buku yang dibutuhkannya yang ada di perpustakaan.

Made hanya boleh meminjam dua buku, dengan catatan hanya satu buku untuk setiap jenis yang diinginkannya. Tentukan banyak pilihan variasi buku yang dapat dipinjam Made.

• 120

• 84

• 74

• 15

Open Ended

Apa kesimpulan yang kalian peroleh dari pembelajaran ini?

Open Ended

Bagaimana perasaan kalian mempelajari materi ini?

Multiple Choice

Ali memiliki 3 pasang sepatu dan 5 pasang sandal. Ali akan pergi ke rumah temannya, ada berapa cara bagi Ali untuk menggunakan alas kaki untuk bepergian?

• 8

• 15

• 9

• 25

Open Ended

Tulis masukan/saran kalian terhadap pembelajaran ini!

Multiple Choice

Perjalanan dari Kota A ke kota C harus melalui kota B. Banyak rute dari kota A ke kota B ada 5, sedangkan banyaknya rute dari kota B ke Kota C ada 3. Banyaknya rute perjalanan A ke B adalah ....

• 3

• 15

• 8

• 5

Multiple Choice

Banyak bilangan ratusan yang dapat dibuat dari angka - angka 3, 5, 6, dan 9 adalah ...

• 3

• 12

• 24

• 36

• 64

Multiple Choice

Anton, Bonar, Cuncun, dan Dimas akan bekerja secara berurutan. Banyak urutan bekerja yang dapat disusun dengan Dimas selalu pada urutan pertama adalah ...

• 3

• 4

• 6

• 12

• 18

Multiple Choice

Sebuah rumah memiliki 5 buah pintu. Banyak cara masuk rumah kemudian keluar pada pintu yang berbeda ada ... cara

• 2

• 4

• 5

• 9

• 20

Multiple Choice

Ada 3 jenis musik di gawai Janji yaitu 6 buah hip hop, 4 buah reggae, dan 10 dangdut. Banyaknya cara Janji mendengarkan musik dari gawainya adalah ....

• 20

• 24

• 120

• 180

• 240

Multiple Choice

Nilai dari 3 ! + 2 ! = ...

• 5

• 6

• 7

• 8

• 9

Multiple Choice

nilai dari  $$\frac{7!}{5!}$$  = .....

• 2 ! 

• 2

• 35

• 42

• 48

​Setelah membaca pemaparan di atas, berikut diberikan beberapa soal latihan

Multiple Choice

$$\frac{6!}{\left(6\ -\ 3\right)!}\ =...$$  adalah

• 50

• 60

• 100

• 120

• 360

Multiple Choice

Dari 8 calon pengurus RT, akan dipilih seorang ketua, seorang wakil ketua, seorang sekretaris, dan seorang bendahara. Banyaknya cara pemilihan pengurus RT tersebut adalah ....

• 1.860

• 1.680

• 1.420

• 1.260

• 1.120

Multiple Choice

Benarkah ada 24 cara untuk menggunakan celana jika banyaknya celana pendek ada 13 buah dan celana panjang 11 buah?

• Benar

• Salah

Multiple Choice

= ...

• 80

• 60

• 20

• 10

Multiple Choice

Enam orang peserta suatu lomba memperebutkan juara I , juara II, dan juara III. Banyak posisi juara yang dapat terjadi adalah ...

• 6

• 18

• 120

• 216

• 240

Multiple Choice

Rombongan wisata keluarga berangkat dari kota Q ke kota Z melalui kota R. Jika jumlah rute dari kota Q ke R adalah 3 dan dari kota R ke kota Z sebanyak 4 jalan, berapa banyak rute yang dapat dilakukan oleh rombongan tersebut ?

• 4

• 8

• 10

• 12

Multiple Choice

Dalam suatu pertemuan terdapat 10 orang yang belum saling kenal. Agar mereka saling kenal maka mereka saling berjabat tangan.

Banyaknya jabat tangan yang dapat terjadi adalah...

• 90

• 60

• 45

• 35

Multiple Choice

Pada sebuah tes, seorang peserta hanya diwajibkan mengerjakan 8 dari 10 soal yang diberikan.

Banyak susunan soal yang mungkin dikerjakan adalah....

• 45 susunan

• 36 susunan

• 30 susunan

• 25 susunan

Fill in the Blank

Pak Sani mempunyai 3 sepeda motor, 2 mobil dan 4 sepeda. Jika pak sani ingin pergi ke kantor, maka banyak cara pak sani memilih kendaraan yang digunakan adalah

Multiple Choice

Ada berapa cara menyusun dua huruf dari sebuah kata “HIDUP”?

• 36

• 20

• 15

• 5

​SEKIAN DAN TERIMAKASIH

Multiple Choice

Seorang siswa SMA Jaya Kusuma ditunjuk menjadi wakil sekolahnya untuk mengikuti lomba busana. Siswa tersebut disediakan gaun celana 5 potong, 6 gaun baju dan 3 helain kerudung. Berapa banyak cara pasangan celana, baju dan kerudung yang dapat digunakan oleh siswa tersebut ?

• 30

• 90

• 120

• 150

Multiple Choice

Ada berapa cara menyusun dua huruf dari sebuah kata “HIDUP”?

• 36

• 20

• 15

• 5

Multiple Choice

Untuk menuju ke Kota A dari kota B ada beberapa jenis angkutan yang dapat digunakan. Ada 3 bus, 2 kapal laut, 1 pesawat terbang, dan 1 kereta api yang dapat dipilih. Banyak cara berbeda untuk berangkat menuju kota A dari kota B menggunakan kendaraan tersebut adalah …

• 5

• 6

• 7

• 8

• 9

Multiple Choice

Rombongan wisata keluarga berangkat dari kota Q ke kota Z melalui kota R. Jika jumlah rute dari kota Q ke R adalah 3 dan dari kota R ke kota Z sebanyak 4 jalan, berapa banyak rute yang dapat dilakukan oleh rombongan tersebut ?

• 4

• 8

• 10

• 12

Multiple Choice

Nilai dari 4! adalah ...

• 4

• 8

• 12

• 24

Multiple Choice

Seorang siswa SMA Jaya Kusuma ditunjuk menjadi wakil sekolahnya untuk mengikuti lomba busana. Siswa tersebut disediakan gaun celana 5 potong, 6 gaun baju dan 3 helain kerudung. Berapa banyak cara pasangan celana, baju dan kerudung yang dapat digunakan oleh siswa tersebut ?

• 30

• 90

• 120

• 150

​ATURAN PERKALIAN

Misalkan, ada n1 cara melakukan kegiatan 1, n2 cara melakukan kegiatan 2, ..., nk cara melakukan kegiatan k, dimana semua kegiatan tersebut dilakukan bersamaan, maka banyak cara melakukan seluruh kegiatan adalah:

​

n1×n2×n3×...×nk

​

Kapan digunakan aturan perkalian?

Aturan perkalian dipakai jika:

1. Ada satu kegiatan terdiri dari beberapa tahap.

2. Ada beberapa kegiatan berbeda yang semuanya harus dilakukan (BERSAMAAN)

Multiple Choice

Nilai dari 4! adalah ...

• 4

• 8

• 12

• 24

Multiple Choice

Nilai dari $$\frac{5!}{3!}$$  adalah ...

• 10

• 20

• 30

• 40

Multiple Choice

Nilai dari $$\frac{5!}{3!}$$  adalah ...

• 10

• 20

• 30

• 40

Multiple Choice

Gilang memiliki 3 kaos dengan warna putih, merah dan biru dan juga memiliki 2 celana panjang yang berwarna hitam dan cokelat. Beberapa kemungkinan Gilang akan menggunakan kaos dan juga celana panjang?

• 5

• 6

• 7

• 8

• 9

Multiple Choice

Dengan menggunakan angka-angka 1,2,3,4,6,7,8. akan dibentuk bilangan yang terdiri dari 4 angka dengan ketentuan bilangan tersebut lebih dari 6000. Berapa banyak bilangan yang dapat disusun dari angka-angka tersebut ...

• 240

• 360

• 520

• 680

Multiple Choice

Sebuah aula gedung terdiri dari 10 pintu masuk. 6 anak akan memasuki aula tersebut dengan pintu yang berbeda. Banyak cara 6 anak tersebut bisa masuk ke aula adalah ...

• 151200

• 172100

• 315200

• 42300

Multiple Choice

Dari 10 pengurus OSIS akan dipilih 4 siswa untuk menduduki jabatan ketua, wakil , sekretaris dan bendahara. Banyaknya cara pemilihan 4 siswa terssebuta adalah ...

• 3050

• 4050

• 5040

• 6040

Multiple Choice

Dari kota A ke kota B dapat ditempuh dengan 2 cara , dari kota B ke kota C dapat ditempuh dengan 4 cara. Ada berapa cara yang ditempuh dari kota A ke kota C melalui kota B

• 6

• 8

• 10

• 12

• 14

Multiple Choice

Dewi akan membuat akun media sosial yang terdiri dari 8 karakter sebagai passwordnya. Kata sandi yang kuat jikamenggabungkan huruf dengan angka contoh DEWI1234, DEWI1345, 1234DEWI dan seterusnya. Jika nama DEWI di letakkan di awal atau diakhir berapa banyak cara sandi akun media sosialnya dapat dibentuk ?

• 5040

• 10080

• 20180

• 28100

Multiple Choice

Keluarga Pak Ilyas tinggal di kota A ingin berlibur ke kota C via kota B menggunakan jalur udara. Rute penerbangan yang tersedia dari kota A ke kota C ada pada gambar.

Pada saat pergi dan pulang Pak Ilyas tidak ingin menggunakan rute penerbangan yang sama. Banyak alternatif rute penerbangan yang dapat dipilih Pak Yahya adalah ...

• 480

• 600

• 720

• 900

Multiple Choice

Dari 11 pemain sepak bola akan dipilh 5 pemain untuk menendang bola pada kesempatan adu penalti . berapa banyak cara untuk memilih 5 pemain tersebut ?

• 2772

• 3772

• 5277

• 7255

Multiple Choice

Banyaknya susunan huruf yang mungkin dibentuk dari kata "SUKINO", apabila huruf pertama dimulai dengan huruf vokal adalah....

• 720

• 360

• 240

• 120

Multiple Choice

Anggota purna Paskibra yang terdiri dari 8 putra dan 5 putri akan dibentuk tim jelajah medan pada kegiatan diklat Paskibra yang terdiri dari 3 putra dan 2 putri . banyaknya tim jelajah medan tersebut yang mungkin dapat dibentuk adalah ...

• 260

• 450

• 560

• 720

Multiple Choice

Juliet mempunyai 9 kemeja, 3 celana dan 4 rok. Jika Juliet akan memakai kemeja dan celana atau kemeja dan rok, Juliet mempunyai pilihan paduan pakaian sebanyak ....

• 27 Cara

• 36 Cara

• 63 Cara

• 72 Cara

Multiple Choice

Sebuah aula gedung terdiri dari 10 pintu masuk. 6 anak akan memasuki aula tersebut dengan pintu yang berbeda. Banyak cara 6 anak tersebut bisa masuk ke aula adalah ...

• 151200

• 172100

• 315200

• 42300

Multiple Choice

Nina memiliki 4 buah baju berwarna merah, kuning, biru, dan hijau. Ia juga memiliki 3 buah celana warna navy, hitam, dan coklat. Ada berapa pasang baju dan celana yang bisa dipakai dengan pasangan yang berbeda ?

• 12

• 14

• 16

• 18

• 20

Multiple Choice

Sebuah tempat sablon kaos menyediakan 6 model kaos dan 10 macam gambar untuk menghias kaos. Banyak pilihan kaos bergambar ada .... buah

• 4

• 16

• 32

• 48

• 60

Multiple Choice

Dalam lomba lintas alam di kawasan pegunungan, panitia menetapkan 4 jalan setapak. Dengan berapa cara seorang peserta dapat menaiki dan menuruni gunung jika jalan setapak yang dilalui harus berbeda?

• 16 cara

• 12 cara

• 8 cara

• 4 cara

Multiple Choice

Sebuah warung menyediakan 4 macam menu makanan dan 8 macam menu minuman. Banyak pasangan makanan dan minuman berbeda yang dapat dipesan pembeli ada....

• 32 pasangan

• 28 pasangan

• 25 pasangan

• 16 pasangan

Fill in the Blank

Gambar berikut adalah jalur yang dapat di tempuh antar kota. Jika pak Ahmad akan berangkat dari kota A ke kota B, berapa banyak cara yang bisa di tempuh pak Ahmad?