bilangan bulat

Matematika

MEDIA MENGAJAR

UNTUK SMP/MTs KELAS VII

BILANGAN

Sumber:

PETA KONSEP

Bilangan

Bilangan Bulat
dan Operasinya

Bilangan Bulat

Berdasarkan Konsep Muatan

Bilangan Bulat pada

Garis Bilangan

Bilangan

Berpangkat Bulat

Pecahan dan
Operasinya

Konsep Pecahan

Operasi pada Pecahan

Multiple Choice

hasi dari -5 + 12 x ( 2 - ( -4 )) adalah...

• - 24

• 42

• 48

• 54

Observasi

Pernahkah kalian melihat alat seperti
gambar di samping?
Alat pengukur suhu atau termometer
digunakan untuk mengukur suhu
(temperatur). Ada termometer untuk
mengukur suhu tubuh
dan ada termometer yang digunakan
untuk mengukur suhu udara.
Termometer pada gambar sebelah
kiri menunjuk pada bilangan 22°C.
Artinya, suhu udara di daerah
tersebut adalah 22°C atau 22 derajat
di atas 0 (nol).
Pada termometer, bilangan yang
biasa digunakan adalah bilangan
bulat. Bilangan bulat merupakan

bilangan yang dapat bernilai positif,
nol, atau negatif. Jika bilangan bulat
positif terletak di
sebelah kanan atau sebelah atas
bilangan nol, maka bilangan bulat
negatif adalah bilangan yang terletak
di sebelah kiri atau di bawah
bilangan nol pada garis bilangan.
Dengan demikian, termometer pada
gambar sebelah kanan menunjukkan
bilangan
–17°C yang artinya suhu udara di
lingkungan tersebut adalah minus 17
derajat Celcius atau 17 derajat di
bawah 0 (nol).

1.1 BILANGAN BULAT DAN OPERASINYA

A. Bilangan Bulat Berdasarkan Konsep Muatan

Menurut Ilmu Pengetahuan Alam, ada sebuah benda kecil
yang bermuatan positif dan ada yang bermuatan negatif.
Benda kecil yang bermuatan positif disebut proton dan yang
bermuatan negatif disebut elektron. Jika sebuah proton dan
sebuah elektron bertemu, maka kedua benda tersebut akan
menjadi netral (tanpa muatan). Kenetralan juga terjadi jika
muatan positif dan negatifnya sama banyak.
Perhatikan peragaan berikut.

Perhatikan bahwa 0 (nol) diperagakan
sebagai kumpulan kosong (tanpa muatan)
atau muatan positif dan negatif yang
sama banyak. Sementara 2 (dua)
diperagakan sebagai kumpulan muatan
positif sebanyak 2 (dua) satuan, atau
kumpulan muatan positif 2 (dua) satuan
lebih banyak dari muatan negatifnya.
Berikutnya, negatif 2 (dua)
diperagakan sebagai kumpulan muatan
negatif sebanyak 2 (dua) satuan atau
kumpulan muatan negatif 2 (dua) satuan
lebih banyak dari muatan positifnya.

1. Penjumlahan dan Pengurangan pada Bilangan Bulat

Ada tiga tipe soal penjumlahan dan pengurangan serta permasalahan yang mungkin
muncul dalam proses pemecahan tersebut. Ketiga tipe soal tersebut, yaitu:

(1) digabung

(2) diambil tetapi barangnya tidak ada

(3) diambil tetapi barangnya kurang

(–5) + 3 = . . . .

Contoh Soal

Jawab:
Perhatikan bahwa (–5) + 3 dibaca ”negatif 5 digabung dengan positif 3”. Peragaan
yang sesuai adalah seperti berikut.

Berdasarkan peragaan gambar di atas, maka –5 + 3 = –2.

2. Perkalian pada Bilangan Bulat

positif × negatif = negatif

negatif × positif = negatif

negatif × negatif = positif

3. Pembagian pada Bilangan Bulat

negatif : positif = negatif

positif : positif = positif

negatif : negatif = positif

6 : (–2) = . . . .

Contoh Soal

Kerjakan Latihan 1 halaman 11 – 12

Jawab:
Perhatikan bahwa (–5) + 3 dibaca ”negatif 5 digabung dengan positif 3”. Peragaan
yang sesuai adalah seperti berikut.
6 : (–2) = 6

−2= n ⇔ 6 = n × (–2)

maka n yang memenuhi adalah:
n = –3
sehingga, 6 : (–2) = 6

−2= n ⇔ n = –3

1.1 BILANGAN BULAT DAN OPERASINYA

B. Bilangan Bulat pada Garis Bilangan

1. Penjumlahan dan Pengurangan pada Bilangan Bulat

Untuk bilangan bulat yang disajikan melalui garis bilangan, berikut definisi untuk operasi
penjumlahan dan pengurangan.

Pada pembagian antara dua bilangan
bulat a dan b, bilangan a disebut
bilangan yang dibagi dan b disebut
bilangan pembagi. Karena pembagian
merupakan kebalikan dari perkalian,
maka pada pembagian diberikan
definisi berikut.

2. Perkalian

Untuk perkalian antara dua
bilangan bulat a dan b, dengan
a bilangan pengali dan b
bilangan yang dikalikan
diberikan definisi berikut.

3. Pembagian

Kerjakan Latihan 2 halaman 19 – 20

Contoh Soal

Hitunglah –2 + 5.
Jawab:
Berangkat dari titik asal (pangkal) nol dan menghadap ke kanan, maka: –2 + 5
Jika diperagakan, maka: Pertama, mundur 2 langkah. Selanjutnya, ditambah
5 berarti maju 5 langkah. Hasilnya 3.

Karena hasil akhirnya 3, maka –2 + 5 = 3.

1.2 BILANGAN BERPANGKAT BULAT

A. Menggunakan Pola dan Membuat Generalisasi (Kesimpulan)

1. Pangkat Bulat Positif

Perhatikan definisi berikut.

Dari bentuk 𝑎𝑛tersebut, a disebut bilangan pokok perpangkatan, dan n disebut pangkat
(eksponen) dari a.

2. Pangkat Bulat Negatif

Perhatikan definisi berikut.

Hitunglah 3−2+ 40− 5−1.

Contoh Soal

Kerjakan Latihan 3 halaman 22 – 23

Jawab:

3−2+ 40− 5−1=1

32 + 1 − 1

51

= 1

9+ 1 − 1

5

=1 × 5 + 1 × 45 − 1 × 9

45

=41

45

1.2 BILANGAN BERPANGKAT BULAT

B. Sifat-Sifat Perpangkatan Bilangan Bulat

1. Hasil Kali Dua Bilangan Berpangkat

2. Hasil Bagi Dua Bilangan Berpangkat

Secara umum diperoleh rumus:

Secara umum berlaku:

1.2 BILANGAN BERPANGKAT BULAT

B. Sifat-Sifat Perpangkatan Bilangan Bulat

3. Perpangkatan dari Hasil Kali Dua Bilangan

4. Perpangkatan dari Bilangan Berpangkat

Secara umum berlaku:

Secara umum (generalisasi) akan diperoleh rumus:

Hitunglah
a. 22× 25

b. 56: 54

Contoh Soal

Kerjakan Latihan 4 halaman 26 – 27

Jawab:
a. 22× 25= 22+5

= 27

= 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2

b.56: 54= 56−4

= 52

= 5 × 5

1.3 PECAHAN DAN OPERASINYA

A. Konsep Pecahan

1. Pecahan Biasa

Perhatikan tabel berikut.

1.3 PECAHAN DAN OPERASINYA

A. Konsep Pecahan

2. Pecahan Senilai (Mengubah Bentuk Pecahan ke Pecahan

Lain yang Berbeda Penyebut)

Secara umum diperoleh rumus berikut.

Jawab:

Kerjakan Latihan 5 halaman 30 – 31

Contoh Soal

Tentukan pecahan yang senilai dengan pecahan-pecahan berikut.
a. 23, jika penyebutnya 24

b. 34, jika penyebutnya 400

1.3 PECAHAN DAN OPERASINYA

A. Konsep Pecahan

3. Menyederhanakan Pecahan ke Bentuk Pecahan yang Paling

Sederhana

Menyederhanakan pecahan ke bentuk pecahan yang paling sederhana
dengan cara sebagai berikut.

Kerjakan Latihan 6 halaman 35

Contoh Soal

Sederhanakan pecahan-pecahan berikut dalam bentuk pecahan yang
paling sederhana.100

150.

Jawab:
Karena kita mudah membayangkan FPB dari 100 dan 150, yakni FPB (100, 150) = 50,
maka:

1.3 PECAHAN DAN OPERASINYA

A. Konsep Pecahan

4. Pecahan Campuran

Berbicara mengenai pecahan, kita akan temukan istilah
seperti pecahan sejati dan pecahan tak sejati. Pecahan
sejati ialah pecahan yang nilainya kurang dari 1 (satu),
sedangkan pecahan tak sejati ialah pecahan yang
nilainya lebih dari 1. Sementara itu, pecahan campuran
ialah pecahan tak sejati yang ditulis dalam bentuk
campuran antara utuh dan tidak utuh, sedangkan
pecahan biasa ialah pecahan sembarang yang ditulis
dalam bentuk pembilang per penyebut. Perhatikan
tabel berikut.

1.3 PECAHAN DAN OPERASINYA

A. Konsep Pecahan

5. Mengubah Pecahan Campuran ke Pecahan Biasa dan

Sebaliknya

Untuk memahami
permasalahan tentang
mengubah pecahan
campuran ke pecahan
biasa dan sebaliknya,
perhatikan tabel berikut.

Dapat disimpulkan sebagai berikut.
Pecahan campuran ialah pecahan yang berbentuk 𝑎𝑏

𝑐. Artinya, 𝑎 menyatakan banyak bagian yang

utuh, b menyatakan banyak kepingan pada seluruh bagian pecahannya, dan c menyatakan banyak
kepingan pecahan yang terdapat pada
setiap bagian utuhnya.

Dengan demikian, maka secara umum mengubah pecahan campuran ke pecahan biasa dapat
dilakukan dengan cara berikut.

Kerjakan Latihan 7 halaman 38 – 39

Contoh Soal

1. Nyatakan pecahan 103

7dalam bentuk pecahan biasa.

Jawab:
Karena pembilang pecahannya 124 dan penyebut pecahannya 7, maka untuk menjadikan
pecahan biasa kita perlu mencari hasil bagi dan sisa dari 124 : 7.

Dari hasil perhitungan diperoleh hasil baginya 17 dan sisanya 5, maka 124

7= 17 5

7.

Jawab:

103

7= 10 × 7 + 3

7
=70 + 3

7
=73

7

2. Nyatakan pecahan124

7dalam bentuk pecahan campuran.

1.3 PECAHAN DAN OPERASINYA

A. Konsep Pecahan

6. Pecahan sebagai Perbandingan

Untuk pecahan sebagai perbandingan, unsur-unsur yang dibandingkan adalah unsur-unsur yang utuh.
Perhatikan tabel berikut.

Kerjakan Latihan 8 halaman 41

Contoh Soal

Berdasarkan gambar berikut, nyatakan berapa bagian setiap apel (hijau dan merah)
Dalam bentuk pecahan yang paling sederhana.

Jawab:
Perhatikan bahwa banyak apel adalah 10 buah. Jadi, yang dimaksud dengan 1 bagian = 10.
Tinjauan menurut banyak apel
Jika kita tinjau menurut banyak apel, maka:
Banyak apel merah = 6 buah
Banyak apel hijau = 4 buah
Apel seluruhnya = 10 buah, maka: Apel merah = 6

10bagian = 3

5bagian, Apel hijau = 4

10bagian

= 2

5bagian, dan Seluruhnya = 1 bagian.

1.3 PECAHAN DAN OPERASINYA

A. Konsep Pecahan

7. Pecahan Desimal

Perlu kita ketahui bahwa yang dimaksud
”desimal” adalah ”berbasis 10 (sepuluh)”.
Dengan demikian, pecahan desimal adalah
pecahan yang komponen-komponen
bilangannya dapat dinyatakan sebagai
persepuluhan pangkat 1, 2, 3, dan seterusnya
atau persepuluhan, perseratusan,
perseribuan, dan seterusnya. Perhatikan tabel
berikut.

Peragaan hingga persepuluhan.

1.3 PECAHAN DAN OPERASINYA

A. Konsep Pecahan

7. Pecahan Desimal

Peragaan hingga perseratusan.

1.3 PECAHAN DAN OPERASINYA

A. Konsep Pecahan

7. Pecahan Desimal

Berdasarkan tabel, dapat disimpulkan bahwa
penulisan bilangan dalam bentuk desimal hingga
satu angka di belakang koma, artinya angka di
depan koma menyatakan bagian utuhnya
sedangkan angka di belakang koma menyatakan
persepuluhan. Sementara bilangan dalam bentuk
desimal hingga dua angka di belakang koma,
artinya angka di depan koma menyatakan bagian
utuhnya, angka pertama di belakang koma
menyatakan persepuluhan, dan angka kedua di
belakang koma menyatakan perseratusan. Jadi, 2,4
artinya adalah 2 bagian utuh dan 4 persepuluhan.
Sementara itu, 2,45 artinya adalah 2 bagian utuh, 4
persepuluhan, dan 5 perseratusan.

Cara membaca pecahan desimal adalah bilangan yang
ada di depan koma dibaca utuh sedangkan bilangan
yang ada di belakang tanda koma dibaca angka demi
angka. Hal itu dimaksudkan agar tidak terjadi
kerancuan antara cara membaca pecahan yang ditulis
dalam bentuk bukan desimal dengan cara membaca
pecahan yang ditulis dalam bentuk desimal.

1.3 PECAHAN DAN OPERASINYA

A. Konsep Pecahan

8. Persen dan Permil

Persen adalah perseratus dan permil
adalah perseribu. Angka yang sering
digunakan untuk menunjukkan persen
umumnya kurang dari 100. Jarang
dijumpai topik yang berkaitan dengan
persen tetapi melibatkan bilangan persen
lebih dari seratus. Jadi, pecahan yang
melibatkan persen adalah pecahan sejati,
yakni yang nilainya kurang dari 1.

Penggambaran persen.

1.3 PECAHAN DAN OPERASINYA

A. Konsep Pecahan

Dari tabel penggambaran persen, kita dapat mengamati bahwa besaran persen 45%, 8%,
dan 30% masing-masing menyatakan banyak satuan perseratusan dalam peragaan. Jelas
bahwa makna ”persen” adalah ”banyak perseratusan dalam peragaan” atau ”besaran
persen yang ditunjukkan” adalah ”banyak kepingan kecil perseratusan pada peragaan”.
Selanjutnya, permil artinya perseribu dan disimbolkan dengan ”‰”. Dengan demikian,
yang dimaksud dengan:

12 permil = 12‰ = 12

1000dan

453 permil = 453‰ = 453

1000.

8. Persen dan Permil

Kerjakan Latihan 9 halaman 46 – 47

Contoh Soal

Nyatakan pecahan 3

4dalam bentuk desimal, persen, dan permil.

Jawab:
(1) Dalam bentuk desimal

Selidiki bahwa 3

4= 75

100, maka: 3

4= 0.75

(2) Dalam bentuk persen

Selidiki bahwa 3

4= 75

100, maka:3

4= 75

100= 75%

(3) Dalam bentuk permil

Selidiki bahwa 3

4= 750

1.000, maka:3

4= 750

1.000= 750‰.

1.3 PECAHAN DAN OPERASINYA

B. Operasi pada Pecahan

1. Penjumlahan

a. Penjumlahan pecahan dengan penyabut sama

1. Untuk pecahan sejati dengan penyebut sama, hasil penjumlahannya adalah pembilangnya saja
yang dijumlahkan sedangkan penyebutnya tetap.
2. Untuk pecahan campuran dengan penyebut sama, hasil penjumlahannya adalah jumlah bagian
utuhnya dan jumlah bagian pecahannya.

b. Penjumlahan pecahan dengan penyebut tak sama

1. Jika penyebutnya tidak sama, maka sebelum melakukan penjumlahan, penyebut-penyebut
pecahannya disamakan terlebih dahulu. Penyebut baru yang telah disamakan = KPK dari penyebut
masing-masing pecahan.
2. Untuk pecahan campuran, hasil penjumlahannya adalah jumlah dari bagian utuhnya digabung
dengan jumlah dari bagian pecahannya, setelah kedua pecahan tersebut disamakan penyebutnya.

1.3 PECAHAN DAN OPERASINYA

B. Operasi pada Pecahan

2. Pengurangan

Pengurangan dua pecahan adalah pengambilan sebagian atau pengambilan seluruhnya dari suatu
pecahan dengan pecahan lainnya. Hasil pengurangannya adalah sisa dari pecahan semula setelah diambil
sebagian dari pecahan semula tersebut. Langkah-langkah pemecahan 2

3− 1

2adalah sebagai berikut.

Suatu pekerjaan dapat diselesaikan oleh Ali dalam waktu 3 hari. Pekerjaan yang sama dapat
diselesaikan oleh Budi selama 6 hari. Jika Ali dan Budi bekerja sama, berapahari pekerjaan
itu dapat diselesaikan?

Contoh Soal

Jawab:
Misalkan pekerjaan yang dimaksud adalah mengecat tembok. Untuk memudahkan pemahaman,
misalkan Ali mulai dari sebelah kiri dan Budi mulai dari sebelah kanan.
Maka gambarannya adalah seperti berikut.

Berdasarkan ilustrasi di samping,
Ali = 3 hari → 1 hari = 1

3pekerjaan, Budi = 6 hari → 1 hari = 1

6pekerjaan

Jika keduanya bekerja sama, maka dalam sehari pekerjaan yang dapat mereka selesaikan adalah: 1

hari = 1

3+ 1

6pekerjaan =
2
6+ 1

6pekerjaan = 3

6pekerjaan.

Karena 1 hari = 3

6pekerjaan, maka 1 pekerjaan = 6

3hari = 2 hari.

Jadi, jika mereka bekerja sama, maka pekerjaan dapat diselesaikan dalam waktu 2 hari.

Kerjakan Latihan 10 halaman 52 – 53

1.3 PECAHAN DAN OPERASINYA

B. Operasi pada Pecahan

4. Pembagian

Pada pembagian pecahan, secara umum berlaku:

Kerjakan Latihan 12 halaman 63 – 64
Kerjakan Latihan Ulangan

Bab 1 halaman 67 – 70

Contoh Soal

Tentukan hasil pembagian3

8:
9
16dalam bentuk yang paling sederhana.

Jawab:
Cara 1: Mengalikan tiap pembilang dan penyebut

Cara 2: Penyederhanaan