Descompunerea in factori primi

În teoria numerelor, descompunerea în factori primi a unui număr N este mulțimea formată din numere prime al căror produs este N. De exemplu, descompunerea în factori primi principală a lui 90 este

90=2×3×3×5.

Datorită unicității sale pentru fiecare întreg pozitiv, descompunerea în factori primi oferă o bază pentru teoria numerelor elementare.

Divizorii primi

Unicitatea descompunerii în factori primi este un rezultat incredibil de important, câștigând astfel numele de teoremă fundamentală a aritmeticii:

Teorema fundamentală a aritmeticii

Orice număr întreg mai mare decât 1 este fie un număr prim, fie poate fi scris ca un produs unic de numere prime, în orice ordine a factorilor.

Această afirmație implică faptul că, dacă un număr nu este prim, are un număr prim ca factor. De exemplu, divizorii lui 10 sunt 1,2,5, și 10, unde 2 și 5 sunt ambele numere prime. "În orice ordine a factorilor" înseamnă că nu contează ordinea în care este scris produsul numerelor prime.

Fill in the Blanks

Care sunt divizorii principali ai 12?

Soluție

Divizorii lui 12 sunt 1, 2, 3, 4, 6 și 12. Divizorii principali sunt 2 și 3. □​

Fill in the Blanks

Care sunt divizorii principali ai lui 60?

Soluție

Divizorii lui 60 sunt 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 și 60. Divizorii principali sunt 2, 3 și 5. □​

Fill in the Blanks

6125 = 49 ⋅ 125

Care este cel mai mic divizor prim al lui 6125?

Soluție

6125 = 7x7x5x5x5

Cel mai mic divizor prim este 5.

Fill in the Blanks

Dacă x, y, z sunt trei numere prime diferite, astfel încât N = x × y × z, câți divizori pozitivi are N excluzând 1 și el însuși.

Soluție

Pentru că N=x × y × z, putem concluziona că x,y și z sunt divizorii lui N. Pentru că x, y și z sunt numere prime, nu le putem lua în considerare pentru a obține orice alt număr, astfel încât să ne dea un total de 3 numere.

Dar stai, știm că, dacă x și y sunt divizorii lui N, atunci x × y este, de asemenea, un divizor al lui N. Deci, o combinație de doi divizori din cei trei divizori este, de asemenea, un divizor al lui N. Cu alte cuvinte, avem x × y, x × z și y × z ca divizori ai lui N, care sunt alți 3 în plus față de 3 de mai sus.

Rețineți că x × y × z este, de asemenea, o combinație care este un divizor al lui N, dar este egal cu numărul în sine și, prin urmare, este omis.

Deci avem un total de 6 divizori, cu excepția lui 1 și numărul în sine. □​

Fill in the Blanks

Dacă n are 15 divizori (1 și n inclusiv) și 2n are 20 divizori. Care este numărul de divizori ai lui 4n?

Soluție

Dacă n = 15 divizori, 2n = 20 divizori (15 +5), atunci 4n = 15 +5x2 deoarece 4n este dublul lui 2n.

Descompunerea în factori primi

Descompunerea în factori primi înseamnă scrierea unui număr ca produs al numerelor prime.

Multiple Choice

Care este descompunerea în factori primi a lui 12?

• 3

• $$2^2\cdot3$$

• 2

• $$2\cdot3^2$$

Soluție

Avem

12=2×2×3=2²×3. ​

Pentru numere mai mari, este adesea mai ușor să găsiți descompunerea în factori primi a unui număr începând cu numere prime mai mici. De exemplu, atunci când descompunem în factori primi numărul 72, începem prin a-l împărți la 2, care ne lasă cu 36. Observăm că acest lucru este încă divizibil cu 2, așa că îl împărțim din nou, obținând 18. Repetăm acest lucru încă o dată, ceea ce ne lasă cu 9. Apoi ne dăm seama că 9 nu este divizibil cu 2 și astfel căutăm următorul întreg prim cu care numărul este divizibil, care se întâmplă să fie 3. Apoi împărțim 9 la 3, care ne lasă cu 3. Deci 72= 2³×3².

Arbori pentru descompunerea în factori primi

Un arbore cu factori primi oferă o reprezentare picturală a descompunerii în factori primi pentru un întreg pozitiv. Începând cu numărul întreg dat N în partea de sus a arborelui, două ramuri sunt trase spre doi divizori pozitivi ai lui N. Procesul se repetă pentru numerele de la sfârșitul fiecărei ramuri care este desenată până când fiecare "frunză" este un număr prim.

Exemplu

Arborele factor pentru 72 este prezentat în figura alăturată.

Păstrați descompunerea în factori a divizorilor până când divizorii ajung la un număr prim:

Toți divizorii au fost luați în calcul până la un număr prim. Înmulțirea tuturor frunzelor copacului dă

2×2×2×3×3=72.

Multiple Choice

Care este descompunerea în factori primi a lui 120?

• $$2^3\cdot3\cdot5$$

• $$2^2\cdot3\cdot5$$

• $$2\cdot3\cdot5$$

• $$2\cdot3^3\cdot5$$

Soluție

Arborele factor arată astfel:

Astfel, descompunerea în factori primi a lui 120 e 2³×3×5. □​

Aplicaţii

Problema descompunerii în factori primi este foarte asociată cu domeniul criptografiei, deoarece factorizarea unui număr mare este dificilă chiar și pentru computere. Criptosistemele, cum ar fi criptarea RSA, se bazează (parțial) pe acest principiu.

Conceptul de primalitate poate fi, de asemenea, extins la teoria inelului și la alte câmpuri decât numerele întregi. De exemplu, 5 este prim în numere întregi, dar nu și în numerele întregi gaussiene, deoarece 5=(2+i)(2−i). Această idee este primordială în teoria numerelor algebrice, în special în analizarea problemelor precum scrierea numerelor întregi ca sumă a două pătrate.

Bibliografie

Factorizare prim. Brilliant.org. 16:28, 22 martie 2023, de la https://brilliant.org/wiki/prime-factorization/