Pengantar Logika Matematika (Berpikir Kritis) Melalui IOTs

 Logika adalah ilmu yang mempelajari secara sistematis
kaidah-kaidah penalaran yang absah/valid.

 Ada dua macam penalaran, yaitu: penalaran deduktif dan
penalaran induktif.

Logika & Himpunan

2013

Nur Insani, M.Sc - [e-mail]

disadur dari materi Budiharti, S.Si

Penalaran deduktif

 Penalaran deduktif adalah penalaran yang didasarkan
pada premis-premis yang diandaikan benar untuk
menarik suatu kesimpulan dengan mengikuti pola
penalaran tertentu.

 Contoh:
Premis 1

:

Semua mahasiswa baru mengikuti

OSPEK.
Premis 2

:

Wulandari adalah mahasiswa baru.

Kesimpulan :

Wulandari mengikuti OSPEK.

Logika & Himpunan

2013

Nur Insani, M.Sc - [e-mail]

disadur dari materi Budiharti, S.Si

Penalaran induktif

 Penalaran induktif adalah penalaran yang didasarkan pada premis-premis
yang bersifat faktual untuk menarik kesimpulan yang berlaku umum.

 Contoh:
Premis 1

:

Ayam-1 berkembang biak dengan telur.
Premis 2

:

Ayam-2 berkembang biak dengan telur.
Premis 3

:

Ayam-3 berkembang biak dengan telur.
Premis 4

:

Ayam-4 berkembang biak dengan telur.
:
:
:
Premis 50

:

Ayam-50 berkembang biak dengan telur.

Kesimpulan

:

Semua ayam berkembang biak dengan telur.

Logika & Himpunan

2013

Nur Insani, M.Sc - [e-mail]

disadur dari materi Budiharti, S.Si

Logika Matematika

 Logika Matematika/Logika Simbol ialah Logika yang
menggunakan bahasa Matematika, yaitu dengan menggunakan
lambang-lambang atau simbol- simbol.

 Keuntungan/ kekuatan bahasa simbol adalah: ringkas,
univalent/bermakna tunggal, dan universal/dapat dipakai
dimana-mana.

 Logika mempelajari cara penalaran manusia, sedangkan
penalaran seseorang diungkapkan dalam bahasa berupa
kalimat-kalimat. Dengan demikian logika mempelajari
kalimat-kalimat yang mengungkapkan atau merumuskan
penalaran manusia.

Logika & Himpunan

2013

Nur Insani, M.Sc - [e-mail]

disadur dari materi Budiharti, S.Si

Proposisi : Suatu kalimat deklaratif yang bernilai
benar atau salah tetapi tidak keduanya.

Nilai benar / salah suatu proposisi disebut NILAI
KEBENARAN pernyataan tersebut.

Nilai kebenaran tergantung pada realitas.

PROPOSISI / PERNYATAAN

Logika & Himpunan

2013

Nur Insani, M.Sc - [e-mail]

disadur dari materi Budiharti, S.Si

Proposisi dikelompokkan menjadi 2 :

1. Proposisi sederhana :

tidak mengandung kata hubung

2. Proposisi majemuk

terdiri atas satu atau lebih pernyataan

sederhana yang dihubungkan dengan kata hubung.

PROPOSISI (lanjutan)

Logika & Himpunan

2013

Nur Insani, M.Sc - [e-mail]

disadur dari materi Budiharti, S.Si

PROPOSISI/PERNYATAAN

 Contoh:

1. Bangkok adalah ibukota Thailand.

2. 9 adalah bilangan genap.

3. Badak itu memiliki gading.

4. 3 lebih tua daripada 5

5. Setahun terdiri dari 52 minggu.

6. 8 + 4 = 12

7. Mengapa kamu menangis?

8. 3 > 5

9. Ambilkan aku kue itu!

10. Semoga kamu lekas sembuh!

Selidikilah kalimat-kalimat tersebut , mana yang proposisi atau bukan.

Logika & Himpunan

2013

Nur Insani, M.Sc - [e-mail]

disadur dari materi Budiharti, S.Si

PROPOSISI/PERNYATAAN

 Pernyataan yang benar dikatakan mempunyai nilai kebenaran
B (benar), sedangkan pernyataan yang salah dikatakan
mempunyai nilai kebenaran S (salah).

 Catatan:
Nilai kebenaran suatu pernyataan kadang-kadang ditulis
dengan lambang angka 1 atau 0. Angka 1 ekuivalen dengan
nilai kebenaran B, sedangkan angka 0 ekuivalen dengan nilai
kebenaran S. Lambang nilai kebenaran 1 dan 0 biasanya
digunakan untuk menganalisis suatu jaringan listrik

Logika & Himpunan

2013

Nur Insani, M.Sc - [e-mail]

disadur dari materi Budiharti, S.Si

PROPOSISI/PERNYATAAN

 Kebenaran suatu pernyatan dibedakan menjadi dua, yaitu:

a)

Kebenaran faktual, yaitu kesesuaian antara isi peryataan dan
fakta sesungguhnya.

b)

Kebenaran logis, yaitu kesesuaian dengan aturan-aturan
logika.

 Dalam ilmu pengetahuan kita selalu berbicara mengenai
obyek-obyek yang terbatas, tidak mengenai segala sesuatu.
Keseluruhan obyek-obyek (terbatas) yang menjadi bahan
pembicaraan yang sedang kita lakukan disebut semesta
pembicaraan atau semesta saja dan disingkat S.

Logika & Himpunan

2013

Nur Insani, M.Sc - [e-mail]

disadur dari materi Budiharti, S.Si

PROPOSISI/PERNYATAAN

 Untuk membicarakan anggota-anggota dari semesta biasanya
digunakan lambang. Ada dua macam lambang, yaitu:

a)

Konstanta, adalah lambang yang digunakan untuk
menunjuk atau membicarakan anggota tertentu dari
semesta.

b)

Peubah, adalah lambang yang digunakan untuk menunjuk
atau membicarakan anggota yang tidak tertentu
(sembarang) dari semesta.

 Peubah bilangan dan disajikan dengan huruf-huruf kecil x,y,z

 Peubah pernyataan dan disajikan dengan huruf-huruf kecil
p,q,r dst.

Logika & Himpunan

2013

Nur Insani, M.Sc - [e-mail]

disadur dari materi Budiharti, S.Si

Kalimat terbuka

 Kalimat terbuka ialah kalimat yang memuat peubah, sehingga belum
dapat di tentukan nilai kebenarannya.

 Kalimat semacam ini masih “terbuka” untuk menjadi pernyataan yang
benar atau yang salah.

 Contoh:
a.

x adalah bilangan bulat.
b.

x + 2 > 10
c.

x2 -3x + 5 = 0
d.

y = 2x + 1

 Kita dapat mengubah suatu kalimat terbuka menjadi peryataan dengan
mengganti (mensubstitusikan) semua peubah yang termuat di
dalamnya dengan konstanta dari semestanya. Pernyataan yang
dihasilkan bisa bernilai benar, bisa bernilai salah.

Logika & Himpunan

2013

Nur Insani, M.Sc - [e-mail]

disadur dari materi Budiharti, S.Si

Kalimat terbuka

 Himpunan penyelesaian dari suatu kalimat terbuka ialah himpunan
semua anggota dari S yang bila lambangnya disubstitusikan ke
dalam peubah dari kalimat terbuka itu akan menghasikan
pernyataan yang benar.

 Contoh:
S = {Bil. Asli }
a.

x + 2 > 10 - H.P = {9,10,11,12,…..}
b.

x2 – x – 6 = 0

(x-3) (x + 2 = 0 -- HP ={3}
c.

x + 1 > 0 - HP = S
d.

(2x-1)(x + 3) = 0  HP = { }

 Himpunan penyelesaian harus memuat semua elemen dari semesta
yang menghasilkan pernyataan benar.

Logika & Himpunan

2013

Nur Insani, M.Sc - [e-mail]

disadur dari materi Budiharti, S.Si

INGKARAN

 Ingkaran/Negasi dari suatu pernyataan adalah pernyataan lain
yang diperoleh dengan menambahkan kata ”tidak” atau
menyisipkan kata ”bukan” pada pernyataan semula.

 Ingkaran dari suatu pernyataan p disajikan dengan lambang
atau –p atau ~p, dan dibaca: ”tidak p”.

 Bila peryataan p bernilai benar, maka ingkarannya bernilai
salah dan sebaliknya.

p

p

B

S

S

B

p

Logika & Himpunan

2013

Nur Insani, M.Sc - [e-mail]

disadur dari materi Budiharti, S.Si

INGKARAN

 Contoh :

 Jikustik adalah sebuah kelompok band yang berasal dari
Yogyakarta. (benar)
Tidak benar bahwa Jikustik adalah sebuah kelompok band
yang berasal dari Yogyakarta. ( salah)
Jikustik bukan sebuah kelompok band yang berasal dari
Yogyakarta. (salah)

 Manusia mempunyai ekor (salah)
Manusia tidak mempunyai ekor ( benar)

Logika & Himpunan

2013

Nur Insani, M.Sc - [e-mail]

disadur dari materi Budiharti, S.Si

Pernyataan Majemuk

 Pernyataan Majemuk ialah pernyataan yang terdiri dari
beberapa pernyataan tunggal yang dihubungkan dengan
menggunakan kata hubung.

 Dalam Logika Matematika terdapat empat macam kata
hubung, yaitu: (1) …..dan….., (2) …..atau….., (3) bila
………,maka…… (4) ….. bila dan hanya bila …….

Logika & Himpunan

2013

Nur Insani, M.Sc - [e-mail]

disadur dari materi Budiharti, S.Si

Pernyataan Majemuk

 Contoh :
a. Yogyakarta adalah kota pelajar dan (Yogyakarta) memiliki

banyak objek wisata.
b. Kurnia pergi ke kampus atau ia nonton film.
c. Bila air dipanaskan, maka ia akan mendidih.
d. Medan ibukota Sumatera Utara bila dan hanya bila

Semarang ibukota Jawa Timur.

 Pernyataan majemuk diatas berturut-turut disebut: konjungsi
(∧), disjungsi (∨), implikasi (→), dan
ekuivalensi/biimplikasi (↔) .

Logika & Himpunan

2013

Nur Insani, M.Sc - [e-mail]

disadur dari materi Budiharti, S.Si

Kata hubung kalimat antara lain :

1. Negasi / kontradiksi / ingkaran (∼)

2. Konjungsi / dan (∧)

3. Disjungsi / atau (∨)

4. Implikasi / kondisional / pernyataan bersyarat (→)

5. Biimplikasi/bikondisional/pernyataan bersyarat

ganda (↔)

KATA HUBUNG KALIMAT

Logika & Himpunan

2013

Nur Insani, M.Sc - [e-mail]

disadur dari materi Budiharti, S.Si

Pernyataan Majemuk

 Nilai kebenaran dari suatu pernyataan majemuk ditentukan
oleh: nilai kebenaran dari masing-masing pernyataan
tunggalnya dan kata hubung apa yang digunakan.

 Karena masing-masing pernyataan tunggalnya bisa bernilai
benar atau salah, maka ada empat kemungkinan nilai
kebenaran dari suatu pernyataan majemuk.

Logika & Himpunan

2013

Nur Insani, M.Sc - [e-mail]

disadur dari materi Budiharti, S.Si

Konjungsi

 Konjungsi adalah pernyataan majemuk yang menggunakan
kata hubung ”dan” Kata hubung “dan” disajikan dengan
lambang “∧”.

 Definisi:
Suatu konjungsi bernilai benar hanya bila ke dua pernyataan
tunggalnya bernilai benar.

p

q

p ∧ q

B

B

B

B

S

S

S

B

S

S

S

S

Logika & Himpunan

2013

Nur Insani, M.Sc - [e-mail]

disadur dari materi Budiharti, S.Si

Konjungsi

 Contoh :
a.

Indonesia adalah negara Republik dan berpenduduk 200

juta jiwa.
b.

Kerbau berkaki empat dan dapat terbang.

c.

3 adalah bilangan genap dan habis di bagi lima.

Logika & Himpunan

2013

Nur Insani, M.Sc - [e-mail]

disadur dari materi Budiharti, S.Si

Disjungsi

 Disjungsi adalah pernyataan majemuk yang menggunakan kata
hubung “atau” Kata hubung “atau” disajikan dengan lambang “∨”.

 Dalam Logika Matematika juga dibedakan dua macam “atau“ Yang
pertama disebut Disjungsi Inklusif (dengan lambang ”∨”) dan yang
kedua disebut Disjungsi Eksklusif (dengan lambang ” ”).

 Definisi:
a.

Suatu disjungsi inklusif bernilai benar bila sekurang-

kurangnya salah satu pernyataan tunggalnya benar.

b.

Suatu disjungsi eksklusif bernilai benar bila salah satu (dan

tidak kedua-duanya) dari pernyataan tunggalnya benar.

∨

Logika & Himpunan

2013

Nur Insani, M.Sc - [e-mail]

disadur dari materi Budiharti, S.Si

Disjungsi

p

q

p∨ q

B

B

B

B

S

B

S

B

B

S

S

S

p

q

p q

B

B

S

B

S

B

S

B

B

S

S

S

∨

∨

Logika & Himpunan

2013

Nur Insani, M.Sc - [e-mail]

disadur dari materi Budiharti, S.Si

Disjungsi

 Contoh :
a.

Pak Hartono berlangganan harian Kompas atau

Kedaulatan Rakyat.
b.

Anisa pergi ke perpustakaan atau ke kantin.
c.

5 ≤ 6 (5 kurang dari atau sama dengan 6)
d.

A B adalah himpunan semua elemen yang menjadi

anggota himpunan A atau himpunan B.
e.

Bila diketahui bahwa x.y = 0, maka dapat disimpulkan

bahwa x =0 atau y = 0.

 Kalau tidak dikatakan apa-apa, maka dalam Matematika
biasanya yang dimaksud adalah disjungsi inklusif.



Logika & Himpunan

2013

Nur Insani, M.Sc - [e-mail]

disadur dari materi Budiharti, S.Si

Implikasi

 Implikasi adalah peryataan majemuk yang menggunakan
kata hubung ”bila …., maka ….”

 Pernyataan tunggal yang pertama disebut anteseden dan
yang kedua disebut konsekuen.

 Kata hubung ”bila …., maka ….” disajikan dengan
lambang ” ”

⇒

Logika & Himpunan

2013

Nur Insani, M.Sc - [e-mail]

disadur dari materi Budiharti, S.Si

Implikasi

 Dalam bahasa sehari-hari kita memakai implikasi dalam
bermacam-macam arti, misalnya:

a)

Untuk menyatakan suatu syarat: “Bila kamu tidak membeli
karcis, maka kamu tidak akan diperbolehkan masuk”.

b)

Untuk menyatakan suatu hubungan sebab akibat:” Bila
kehujanan, maka Tono pasti sakit”.

c)

Untuk menyatakan suatu tanda:”Bila bel berbunyi, maka
mahasiswa masuk ke dalam ruang kuliah.

Logika & Himpunan

2013

Nur Insani, M.Sc - [e-mail]

disadur dari materi Budiharti, S.Si

Implikasi

 Definisi:
Suatu implikasi bernilai benar bila antesedennya salah atau
konsekuennya benar (jadi suatu Implikasi bernilai salah hanya
apabila anteseden benar dan konsekuennya salah).

p

q

p q

B

B

B

B

S

S

S

B

B

S

S

B

⇒

Logika & Himpunan

2013

Nur Insani, M.Sc - [e-mail]

disadur dari materi Budiharti, S.Si

 Contoh
a)

Bila Anindita adalah seorang pria, maka ia akan mempunyai
kumis.

b)

Bila bumi berputar dari timur ke barat maka matahari akan
terbit disebelah barat.

c)

Bila berat jenis besi lebih dari satu, maka ia akan terapung dalam
air.

d)

Bila berat jenis besi lebih besat dari satu, maka ia akan terapung
dalam air.

e)

Bila 3 > 2, maka 6 > 4

f)

Bila 3 < 2, maka – 3 > – 2

g)

Bila x > 10, maka x > 5

Logika & Himpunan

2013

Nur Insani, M.Sc - [e-mail]

disadur dari materi Budiharti, S.Si

 Untuk mengucapkan (menyatakan ) suatu implikasi sebagai
suatu pernyataan yang benar ada 3 cara .

 Misalnya : mengucapkan “A B” dengan cara:

1.

“Bila A, maka B”

2.

“B bila A”

3.

“A hanya bila B” (karena bila tidak B atau B salah, maka
juga tidak A atau A salah; lihat baris keempat tabel
kebenaran implikasi ).

⇒

Logika & Himpunan

2013

Nur Insani, M.Sc - [e-mail]

disadur dari materi Budiharti, S.Si

 A B

 B juga disebut syarat perlu untuk A.
(Suatu syarat disebut syarat perlu bila tidak terpenuhinya
(salahnya ) syarat tersebut mengakibatkan tidak terjadinya apa
yang disyaratkan ).

 A diatas disebut syarat cukup untuk B, karena bila A terjadi (
benar) maka B juga berjadi (benar). Lihat baris pertama tabel
kebenaran implikasi.

(Suatu syarat disebut syarat cukup bila terpenuhinya syarat
tersebut mengakibatkan terjadinya apa yang disyaratkannya).

⇒

Logika & Himpunan

2013

Nur Insani, M.Sc - [e-mail]

disadur dari materi Budiharti, S.Si

Implikasi

 Contoh:

 Bila x adalah bilangan genap, maka x habis dibagi 2. x habis
dibagi 2 bila x adalah bilangan genap.
x adalah bilangan genap hanya bila x habis di bagi 2.
“x habis di bagi 2 “ merupakan syarat perlu agar “ x adalah
bilangan bulat “
“x adalah bilangan bulat “ merupakan syarat cukup untuk “x
habis di bagi 2 “

Logika & Himpunan

2013

Nur Insani, M.Sc - [e-mail]

disadur dari materi Budiharti, S.Si

Implikasi

 Tugas 2

1. Carilah pengertian konvers, invers dan
kontraposisi dari implikasi.

2. Berilah contoh konvers,invers, dan
kontraposisi, (1 pernyataan implikasi).

Logika & Himpunan

2013

Nur Insani, M.Sc - [e-mail]

disadur dari materi Budiharti, S.Si

3. Lengkapilah tabel berikut ini!
Tentukan kolom mana yang memiliki nilai kebenaran
yang sama!

1

2

3

implikasi

4

konvers

5

6

7

invers

8

kontraposisi

p

q

p ⇒q

q ⇒ p

~p

~q

~p ⇒ ~q

~ q ⇒ ~p

B

B

B

S

S

B

S

S

pqpqp

Logika & Himpunan

2013

Nur Insani, M.Sc - [e-mail]

disadur dari materi Budiharti, S.Si

Ekuivalensi ( Biimplikasi)

 Peryataan majemuk yang menggunakan kata hubung “Bila
dan hanya bila” disebut ekuivalensi atau biimplikasi. Kata
hubung tersebut disajikan dengan lambanga “ ”

 Definisi:
Suatu ekuivalensi bernilai benar bila kedua pernyataan
tunggalnya mempunyai nilai kebenaran yang sama.

⇔

p

q

p q

B

B

B

B

S

S

S

B

S

S

S

B

⇔

⇔

Logika & Himpunan

2013

Nur Insani, M.Sc - [e-mail]

disadur dari materi Budiharti, S.Si

Ekuivalensi ( Biimplikasi)

 Contoh:
Suatu segitiga disebut sama kaki bila dan bila segitiga itu
mempunyai dua sisi yang sama panjang (maksudnya suatu
ekuivalensi:”bila dan hanya bila”)

Logika & Himpunan

2013

Nur Insani, M.Sc - [e-mail]

disadur dari materi Budiharti, S.Si

Ekuivalensi ( Biimplikasi)

 Teorema:

a)

(b&b)

(a b

a

⇒

⇒

≡

⇔

Logika & Himpunan

2013

Nur Insani, M.Sc - [e-mail]

disadur dari materi Budiharti, S.Si

Tugas 3: lengkapi tabel berikut ini!
Tentukan kolom mana yang memiliki nilai kebenaran
yang sama!

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

pqp ∧ q~(p ∧ q)p ∨ q ~(p ∨ q)

~p

~q

~p ∨ ~q ~p ∧ ~q p→q

-(p→

)

BB

BS

SB

SS

qp ∧
∨
qp ∨pqp∨qp∧q

Logika & Himpunan

2013

Nur Insani, M.Sc - [e-mail]

disadur dari materi Budiharti, S.Si

Negasi-negasi dari Konjungsi,
Disjungsi, Implikasi & Biimplikasi

-a)&(b

-b)&(a

) b

(a-
-b&a

b)

(a-
-b&-a

b)

(a-
-b

-a

b)&(a-

∨

≡

⇔
≡

⇒
≡

∨
∨

≡

Logika & Himpunan

2013

Nur Insani, M.Sc - [e-mail]

disadur dari materi Budiharti, S.Si

Tingkat Kekuatan Kata Hubung

↔

→

V
Λ

~

WEAKER

Logika & Himpunan

2013

Nur Insani, M.Sc - [e-mail]

disadur dari materi Budiharti, S.Si

Contoh

 Rumus: p→(q ∨ r )
dapat ditulis menjadi: p→q ∨ r

 Rumus : (~q)↔ (p ∧ r)
dapat ditulis menjadi: ~q↔ p ∧ r

 Rumus : ((p→(q ∨ r )) ∧ ((~q)↔ (p ∧ r)))
dapat ditulis menjadi:

(p→q ∨ r) ∧ (~q↔ p ∧ r)

Logika & Himpunan

2013

Nur Insani, M.Sc - [e-mail]

disadur dari materi Budiharti, S.Si

Tugas 4:
Kerjakanlah soal No. 3, 5, & 7 pada Latihan 3
halaman 29-30 pada buku Logika & Himpunan
karya Sukirman, M.Pd.

∨pqp∨qpq

Logika & Himpunan

2013

Nur Insani, M.Sc - [e-mail]

disadur dari materi Budiharti, S.Si