Analisis Bangun Ruang

Analisis Bangun Ruang

Bab

1

Tujuan Pembelajaran

Setelah mempelajari bab ini, siswa diharapkan dapat:
• Mendeskripsikan jarak dalam ruang (antartitik, titik ke garis,

dan titik ke bidang).

• Menentukan jarak dalam ruang (antartitik, titik ke garis, dan

titik ke bidang).

1.1 Pengertian Titik, Garis, dan Bidang dalam Ruang

1.1.1 Pengertian Dasar Unsur-Unsur dalam Ruang

Titik, garis, dan bidang merupakan unsur-unsur dalam ruang atau sering disebut
unsur ruang.
A.

Titik
Titik biasanya dilukiskan dengan noktah (•) atau tanda silang (×) dan ditulis
dengan huruf besar, seperti A, B, C, dan seterusnya.
Titik tidak mempunyai ukuran, dan sering disebut benda berdimensi nol.

B.

Garis
Garis sering dijumpai sebagai rusuk dari benda ruang. Sebuah garis
panjangnya tak hingga, karena itu gambar sebuah garis biasanya dilukiskan
dengan wakil dari garis itu. Pemberian nama sebuah garis dapat dilakukan
dengan menuliskan wakilnya atau titik-titik ujung garis itu.

Suatu garis dapat dituliskan dengan huruf kecil, seperti l, m, n. Garis
merupakan benda berdimensi satu.

C.

Bidang
Bidang yang dimaksud disini adalah bidang datar. Bidang mempunyai

ukuran panjang dan lebar, panjang dan tinggi, atau tinggi dan lebar,
sering disebut benda berdimensi dua. Suatu bidang selalu dianggap
dapat diperluas menurut arah panjang atau lebarnya. Luas sebuah
bidang besarnya tak terbatas, karena itu gambar sebuah bidang biasanya
yang dilukis adalah wakil bidang itu.

Wakil sebuah bidang dapat berbentuk jajargenjang atau persegi

panjang. Sebuah bidang diberi nama dengan menuliskannya pada satu
pojok bidang itu dengan huruf latin: v, w, x, dan seterusnya, huruf khusus:
𝛼, 𝛽, 𝛾, dan seterusnya, atau dengan menuliskan titik-titik sudut dari wakil
bidang
tersebut.

1.1.2 Hubungan Titik, Garis, dan Bidang dalam Ruang

A. Hubungan titik dan garis

Pengertian:

Catatan:
* Sebuah garis dapat dibuat melalui dua buah titik, atau melalui dua buah titik hanya dapat
dilukiskan sebuah garis.

(i). Sebuah titik dikatakan terletak pada sebuah garis, jika titik itu dilalui
garis.

(ii). Sebuah titik terletak di luar garis, jika titik itu tidak dilalui garis.

B. Hubungan titik dan bidang

Pengertian:

Catatan:
* Melalui tiga titik sembarang, paling sedikit dapat dibuat satu bidang.
* Melalui tiga titik yang tidak segaris hanya dapat dibuat satu bidang, atau sebuah bidang tertentu

dapat dibuat melalui tiga titik yang tidak segaris.

* Melalui empat titik sembarang, tidak dapat dibuat sebuah bidang.

(i). Sebuah titik dikatakan terletak pada sebuah bidang, jika titik itu dilalui bidang.

(ii). Sebuah titik terletak di luar bidang, jika titik itu tidak dilalui bidang.

Contoh
Memahami kedudukan titik dalam bidang

Pandang bidang ABCD.

•Titik A, B, C, D, dan H terletak pada bidang ABCD.

•Titik E, F, G, dan I terletak di luar bidang ABCD.

Tidak ada bidang yang dapat dibuat melalui titik A, C, I, G.

C. Hubungan garis dan garis

Pengertian:

Catatan:
* Melalui dua buah garis yang sejajar atau berpotongan hanya dapat dibuat satu bidang, tetapi melalui dua buah garis

yang bersilangan tidak dapat dibuat sebuah bidang.

(i). Dua garis dikatakan berpotongan, jika dua garis itu sebidang dan

mempunyai satu titik persekutuan. Titik persekutuan ini disebut
titik potong. Pada Gambar 1.1(a), garis 𝑙 dan m berpotongan di
titik P.

(ii). Dua garis dikatakan sejajar, jika dua garis itu sebidang dan tidak

mempunyai titik persekutuan. Pada Gambar 1.1(b), garis 𝑙 dan
garis m sejajar.

(iii). Dua buah garis dikatakan bersilangan, jika dua buah garis itu

tidak sebidang atau melalui kedua garis itu tidak dapat dibuat
sebuah bidang datar (seperti terlihat pada Gambar 1.1(c)).

D. Hubungan garis dan bidang

Pengertian:

(i). Sebuah garis dikatakan terletak pada bidang, jika setiap titik pada

garis terletak juga pada bidang (Gambar 1.2(a)).

(ii). Sebuah garis dikatakan memotong (menembus) bidang, jika garis

dan bidang mempunyai satu titik persekutuan dan titik itu disebut
titik potong atau titik tembus (Gambar 1.2(b)).

(iii). Sebuah garis dikatakan sejajar bidang, jika garis dan bidang

tidak bersekutu pada satu titik pun (Gambar 1.2(c)).

Contoh
Memahami hubungan garis dan bidang dalam ruang

Pandang kubus ABCD.EFGH di samping.
(i) AC dan BD terletak pada bidang ABCD.
(ii) DH menembus bidang EFGH di H.
(iii) EG sejajar bidang ABCD.

E. Hubungan antara dua bidang

Pengertian:

Catatan:
* Dua bidang A dan B dikatakan sejajar jika kedua bidang tersebut berdiri tegak lurus pada suatu garis γ.
* Garis potong bidang v dan w ditulis (v, w).

(i). Dua bidang dikatakan sejajar, jika kedua bidang itu tidak bersekutu pada satu

titik pun (Gambar 1.3(a)).

(ii). Dua bidang dikatakan berpotongan jika kedua bidang itu mempunyai sebuah

garis persekutuan atau garis potong (Gambar 1.3(b)).

Contoh
Memahami kedudukan dua bidang dalam ruang

Pandang kubus ABCD.EFGH di samping.
(i) Bidang ABFE sejajar bidang DCGH.
(ii) Bidang ABCD berpotongan dengan bidang BDHF pada garis potong BD.

Anda dapat menguji pemahaman
tentang Pengertian Titik, Garis,

dan Bidang dalam Ruang
dengan mengerjakan soal
LKS 1 pada halaman 9–10.

1.2 Jarak dalam Bangun Ruang

1.2.1 Jarak antara Dua Titik

Jarak antara dua buah titik adalah panjang garis yang menghubungkan kedua titik itu. Formula untuk

menentukan jarak antara dua titik dalam ruang dapat dilakukan sebagai berikut.
(i)

Jika kedua titik telah diketahui atau dapat ditentukan A(xA, yA, zA) dan B(xB, yB, zB), maka jarak AB
adalah

𝐴𝐵 =

𝑥𝑏 − 𝑥𝑎 2+ 𝑦𝑏 − 𝑦𝑎 2+ 𝑧𝑏 − 𝑧𝑎 2

Perhitungan di atas merupakan perhitungan secara geometri analitika yang telah dibahas di kelas X
Kelompok Peminatan Matematika dan Ilmu-Ilmu Alam, pada bab vektor.

(ii) Jika kedua titik tidak diketahui atau sulit ditentukan, pergunakan rumus-rumus trigonometri pada

segitiga yang dibentuk oleh kedua titik tersebut dan satu titik lainnya.
Untuk perhitungan jarak antara dua titik dalam ruang, kita akan fokus menggunakan cara (ii), yaitu
menggunakan rumus trigonometri, formula luas segitiga, dan teorema Pythagoras pada segitiga siku-
siku.

Contoh
Mencermati perhitungan jarak antara dua titik dalam bangun ruang

Pada kubus ABCD.EFGH yang berusuk 6 cm, tentukan jarak titik G ke titik tengah AB.

Pembahasan:

Contoh
Memahami perhitungan jarak antara dua titik dalam bangun ruang

Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk a cm. Hitunglah:
a. jarak titik A dan titik C,
b. jarak titik A dan titik G,
c. jarak AR jika R titik tengah GH.

Pembahasan:

Anda dapat menguji pemahaman

tentang Jarak antara Dua Titik

dengan mengerjakan soal
LKS 2 pada halaman 9–16.

1.2.2 Jarak Titik ke Garis

Jarak titik P ke garis g adalah panjang ruas garis tegak lurus dari titik P ke garis g atau panjang ruas garis
lurus dari titik P ke titik proyeksinya pada garis g. Pada Gambar 1.4, jarak titik P ke garis g adalah panjang
ruas garis PPʹ.

Cara mencari jarak titik ke garis, kita gunakan rumus trigonometri pada segitiga yang dibentuk oleh titik
yang diproyeksikan dan 2 titik lain pada garis, seperti pada contoh.

Contoh
Mencermati perhitungan jarak titik ke garis pada bangun ruang

Diberikan kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk a cm. Hitunglah jarak titik A ke
garis CF.

Pembahasan:

Contoh
Memahami perhitungan jarak titik ke garis pada bangun ruang

Diketahui S.PTN merupakan limas segitiga beraturan dengan panjang rusuk tegak SP = 6 2 cm
dan rusuk alas PN = 12 cm. Hitunglah jarak dari titik S ke ruas garis PM dengan titik M
merupakan titik tengah rusuk TN.

Pembahasan:

Anda dapat menguji pemahaman

tentang Jarak Titik ke Garis
dengan mengerjakan soal

LKS 3 pada halaman 20–21.

1.2.3 Jarak Titik ke Bidang

Jarak antara titik P ke bidang v adalah panjang ruas garis tegak lurus dari titik P ke bidang v.
Perhatikan Gambar 1.5. Titik P terletak di luar bidang v. Dari titik P ditarik garis l tegak lurus terhadap
bidang v dan memotong bidang v di titik Pʹ. Titik Pʹ merupakan proyeksi titik P pada bidang v. Panjang ruas
garis PPʹ adalah jarak titik P terhadap bidang v.

Berdasarkan uraian di atas dapat disimpulkan:

Contoh
Mencermati perhitungan jarak titik ke bidang pada bangun ruang

Perhatikan balok ABCD.EFGH pada gambar di samping.
•Proyeksi titik A terhadap bidang BCGF adalah titik B.

•Proyeksi titik A terhadap bidang CDHG adalah titik D.

•Proyeksi titik A terhadap bidang EFGH adalah titik E.

Pembahasan:

Pembahasan:

Contoh
Memahami perhitungan jarak titik ke bidang pada bangun ruang

Sebuah kubus ABCD.EFGH mempunyai panjang rusuk 6 cm.
Hitunglah jarak titik A terhadap bidang BDE.

Anda dapat menguji pemahaman

tentang Jarak Titik ke Bidang

dengan mengerjakan soal

LKS 4 pada halaman 26–27.

1.2.4 Jarak antara Dua Garis Sejajar

Berdasarkan aksioma: “melalui sebuah titik di luar suatu garis hanya dapat ditarik satu garis sejajar dengan
garis tersebut”, kita dapat menghitung jarak antara dua garis sejajar dengan mengarahkan persoalannya
menjadi persoalan jarak titik dan garis.

Contoh
Memahirkan perhitungan jarak antardua garis pada bangun ruang

Jika titik R di tengah EH dan titik S di tengah BC pada kubus ABCD.EFGH
dengan panjang rusuk 6 dm. Lukiskan dan hitung jarak antaragaris BR dan SH.

1.2.5 Jarak antara Dua Garis Bersilangan

Pada pembahasan yang lalu telah dijelaskan bahwa dua garis dikatakan bersilangan apabila dua garis itu
tidak sebidang atau melalui kedua garis itu tidak dapat dibuat sebuah bidang datar. Hal ini berarti kedua
garis itu tidak sejajar dan tidak berpotongan.

Jarak antara dua garis g dan h yang bersilangan dapat ditentukan dengan cara sebagai berikut.
1.

Jika g dan h saling bersilangan tegak lurus, lukiskan bidang melalui g tegak lurus h. Misalkan
perpotongan antara bidang dan garis h adalah P, jarak garis g dan h sama dengan jarak titik P ke garis g.

2.

Jika g dan h saling bersilangan tidak tegak lurus, lukiskan bidang melalui g sejajar h. Tetapkan titik P
pada h. Jarak garis g dan h sama dengan jarak titik P ke bidang yang dilukis.

Pembahasan:

Contoh
Memahirkan perhitungan jarak antardua garis pada bangun ruang

Diketahui bahwa balok ABCD.EFGH dengan rusuk AB = 1 cm, AD = 2 cm,
dan AE = 4 cm. Titik P terletak di tengah BF. Hitunglah jarak antara garis
AD dan HP.

Anda dapat menguji pemahaman
tentang Jarak Dua Garis Sejajar
dan Jarak Dua Garis Bersilangan

dengan mengerjakan soal

LKS 5 pada halaman 32–33.

1.2.6 Jarak antara Garis dan Bidang yang Sejajar

Jarak antara garis dan bidang yang sejajar adalah jarak antara garis tersebut dengan
proyeksinya pada bidang. Hal ini berarti pencarian jarak antara garis dan bidang
yang sejajar serupa dengan cara mencari jarak antara dua garis sejajar. Untuk
memperjelas pengertian proyeksi garis pada bidang, perhatikan Gambar 1.6. Garis
AB terletak di luar bidang v. Garis 𝑙 melalui A tegak lurus terhadap bidang v dan
memotong bidang v di titik Aʹ dan garis g melalui B tegak lurus terhadap bidang v
dan memotong bidang v di titik Bʹ, maka garis AʹBʹ di bidang v merupakan proyeksi
garis AB pada bidang v. Proyeksi garis lurus pada bidang datar, pada umumnya juga
berupa garis lurus.

Contoh
Memahami prinsip proyeksi garis pada bidang

Perhatikan balok ABCD.EFGH.
Proyeksi AB pada bidang CDHG adalah DC.
Proyeksi AG pada bidang ABCD adalah AC.
Proyeksi BD pada bidang EFGH adalah FH.
Proyeksi AE pada bidang ABCD adalah A.

Contoh

Memahirkan perhitungan jarak antara garis dan bidang

Diberikan balok ABCD.EFGH dengan panjang rusuk AB = 2 m, AD = 4 m, dan AE = 6 m.
Jika K titik tengah rusuk AD, tentukan jarak antara garis CD dengan bidang yang melalui
EF dan titik K.

Pembahasan:

1.2.7 Jarak Antara Dua Bidang yang Sejajar

Jarak antara dua bidang sejajar u dan v adalah ruas garis AB yang saling tegak lurus
pada kedua bidang tersebut, dengan titik A dan B masing-masing adalah titik tembus
garis AB dengan kedua bidang yang dimaksud.

Contoh
Memahirkan perhitungan jarak antara dua bidang yang sejajar pada
bangun ruang

Hitunglah jarak antara bidang ACH dan bidang BEG pada kubus
ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 6 cm.

Pembahasan:

Anda dapat menguji pemahaman

tentang Jarak antara Garis dan
Bidang yang Sejajar dan Jarak
Antara Dua Bidang yang Sejajar

dengan mengerjakan soal
LKS 6 pada halaman 36.

1.3 Sudut dalam Bangun Ruang (Khusus Kelompok

Lintas Minat dan Peminatan Matematika dan Ilmu-Ilmu
Alam)

Pada bagian ini, kita akan membahas pengertian tentang sudut antara dua bidang, sudut antara dua
garis, sudut antara garis dan bidang, dan garis tegak lurus bidang.

1.3.1 Sudut antara Dua Bidang

Sudut antara dua bidang berpotongan adalah sudut antara dua garis yang berpotongan dan tegak lurus
terhadap garis potong kedua bidang di mana kedua garis itu masing-masing terletak pada bidang yang
dimaksud. Garis g adalah perpotongan garis persekutuan antara bidang u dan bidang v.

Titik A pada garis g.
Garis a pada bidang u, melalui A, dan tegak lurus garis g.
Garis b pada bidang v, melalui A, dan tegak lurus garis g.
θ = sudut (bidang u dan bidang v).

Definisi:
Sudut antara dua bidang adalah sudut yang dibentuk oleh dua garis, masing-masing satu pada setiap
bidang, dan tegak lurus terhadap garis potong kedua bidang serta berpotongan pada satu titik di garis
potong kedua bidang tersebut. Sudut ini disebut sudut tumpuan.

Jika sudut antara dua bidang sama dengan 90°, maka kedua bidang tersebut disebut saling tegak lurus.

Contoh
Memahami perhitungan sudut antara dua bidang

Pada kubus ABCD.EFGH yang mempunyai rusuk 5 cm, tentukan:
a. sudut antara bidang ABCD dengan bidang DCGH,
b. sudut antara bidang ADGF dengan bidang ABCD, dan
c. sudut antara bidang ABD dengan bidang BDE.

Pembahasan:

1.3.2 Sudut antara Dua Garis Lurus

Ada tiga kemungkingan posisi dua garis di dalam ruang, yaitu:
(i) berpotongan,
(ii) sejajar, dan
(iii) bersilangan.
Jika dua garis berpotongan, sudut yang dibentuk oleh kedua garis tersebut dapat dengan jelas dilihat dan
ditentukan. Sementara itu, jika kedua garis tersebut bersilangan, sudut yang dibentuk tidak dapat
langsung ditentukan. Perhatikan gambar berikut.

Jika dua garis bersilangan, sudut yang dibentuk kedua garis tersebut dapat ditentukan dengan cara
menggeser salah satu garis (posisi tetap sejajar dengan sebelum nya) sampai memotong garis yang lain.

Perhatikan gambar berikut.

Garis k bersilangan dengan garis l. Garis k digeser mendekati garis l, sehingga menghasilkan garis kʹ
yang sejajar k dan memotong garis l di titik P serta membentuk sudut β. Sudut β merupakan sudut
antara garis k dan garis l.

Contoh
Mencermati perhitungan sudut antara dua garis pada bangun ruang

ABCD.EFGH adalah kubus dengan rusuk a cm. Tentukan besar sudut
yang dibentuk garis AH dan HC.

Pembahasan:

1.3.3 Sudut antara Garis dan Bidang

Perhatikan gambar berikut.

Garis AB memotong bidang v di titik A. Proyeksi garis AB pada bidang v adalah garis AC. Sudut yang
dibentuk garis AB dan AC merupakan sudut antara garis AB dan bidang v.

Jadi,

Sudut antara garis dan bidang adalah sudut antara garis tersebut dengan proyeksi garis pada bidang.

Contoh
Memahami sudut antara garis dan bidang pada bangun ruang

Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 4 cm. Tentukan besar
sudut yang dibentuk garis AC dengan bidang BDG.

Pembahasan:

Anda dapat menguji pemahaman
tentang Sudut dalam Bangun
Ruang dengan mengerjakan soal

LKS 7 pada halaman 44–46 .