3.3 Inequalities on the Number Line

​Inequalities on the Number Line

Tutorial

​Objective

In this lesson, you will interpret statements of inequality as statements about the relative position of two numbers on a number line.
Mục tiêu 

Trong bài này, bạn sẽ diễn giải các phát biểu về bất đẳng thức là các phát biểu về vị trí tương đối của hai số trên trục số. 

​Introduction

Manuel recorded the daily high temperature for a month as part of a science assignment. According to his readings, the high temperature was 50°F at the beginning of the month. At the end of the month, Manuel recorded a high temperature of 64°F. Manuel knows that 50°F is less than 64°F, because it feels warmer outside when it is 64°F.

Manuel knows that horizontal number lines are oriented from left to right. Now he's curious how the readings on his thermometer are related to a vertical number line.

In this lesson, you will learn how to interpret the relationship between two numbers based on their position on the number line.

​Giới thiệu 

Manuel ghi lại nhiệt độ cao hàng ngày trong một tháng như một phần của nhiệm vụ khoa học. Theo số đo của cậu ấy, nhiệt độ cao là 50°F vào đầu tháng. Vào cuối tháng, Manuel ghi nhận nhiệt độ cao đạt 64°F.  Manuel biết rằng 50°F nhỏ hơn 64°F, vì ngoài trời có cảm giác ấm hơn khi nhiệt độ là 64°F. 

Manuel biết rằng trục số ngang hướng từ trái sang phải. Bây giờ, cậu ta tò mò về mối liên hệ của số đo trên nhiệt kế của mình với trục số dọc.  

Trong bài này, bạn sẽ học cách diễn giải mối quan hệ giữa hai số dựa vào vị trí của chúng trên trục số.

​Visualizing Inequalities

Recall that in an inequality, the inequality sign always opens to the greater number. If we have the inequality 3 < 5, we can see that the inequality sign opens to the number 5, which is indeed greater than 3.

The Horizontal Number Line

Let's look at how the positions of numbers on the number line relate to the inequality 3 < 5. Notice on the number line shown here that 3 and 5 are positive numbers because they are positioned to the right of 0. And 5 is positioned to the right of 3. So 5, the greater number in the inequality 3 < 5, is located to the right of the other number, 3, on the horizontal number line.

In an inequality in which both numbers are positive numbers, the greater number is positioned to the right of the other number on the horizontal number line.

Hình dung về bất đẳng thức 

Nhắc lại, trong một bất đẳng thức, dấu bất đẳng thức luôn mở về phía số lớn hơn.  Ví dụ như trong bất đẳng thức 3 < 5, chúng ta có thể thấy dấu bất đẳng thức mở về phía số 5, là số lớn hơn 3. 

Trục số ngang 

Chúng ta hãy xem mối liên hệ giữa vị trí của các số trên trục số với bất đẳng thức 3 < 5.  Lưu ý, trên trục số ở hình vẽ phía trên, 3 và 5 là các số dương vì chúng nằm ở bên phải của 0.  Và trên trục số ngang, 5 nằm ở bên phải của số còn lại, tức là số 3. 

Trong bất đẳng thức mà cả hai số đều dương thì số lớn hơn sẽ nằm ở bên phải số còn lại trên trục số ngang.

​We've seen how the positions of two positive numbers on a horizontal number line relate to an inequality. Now let's look at two negative numbers. Consider the inequality -1 > -4.

We can see in the image that both numbers are positioned to the left of 0 because they are negative integers. But -1 is positioned to the right of -4 on the horizontal number line. In the inequality, this is reflected by the inequality symbol opening toward -1. The larger number in an inequality will always be the one facing the open end of the inequality symbol.

So, we can see a general rule here. The greater number in an inequality is always positioned to the right of the other number on the horizontal number line.

Chúng ta đã thấy mối liên hệ giữa vị trí của hai số dương trên trục số ngang với bất đẳng thức. Bây giờ, chúng ta hãy xem xét đến trường hợp hai số âm.  Xét bất đẳng thức -1 > -4. 

Chúng ta có thể thấy trong hình trên, cả hai số này đều nằm ở bên trái số 0 vì chúng là số nguyên âm. Nhưng -1 lại nằm ở bên phải -4 trên trục số ngang.  Trong bất đẳng thức, điều này được thể hiện bằng ký hiệu bất đẳng thức mở về phía -1. Trong bất đẳng thức, số lớn hơn luôn là số hướng về đầu mở của ký hiệu bất đẳng thức. 

Vì vậy, chúng ta có thể thấy một quy tắc chung ở đây. Trong bất đẳng thức, số lớn hơn luôn nằm ở bên phải số còn lại trên trục số ngang.

​We've seen that when two numbers are both positive or both negative, the greater number is to the right of the smaller number on the horizontal number line. Let's see if this rule applies to an inequality of two numbers with opposite signs.

Consider the inequality -3 < 2. The inequality sign opens up to the number 2, so 2 is greater than -3. In the image, we can see the position of these two numbers on the horizontal number line. The negative integer, -3, is positioned to the left of 0, while the positive integer, 2, is positioned to the right of 0.

With respect to each other, 2 is positioned to the right of -3. So the general rule that the greater number in an inequality is positioned to the right of the other number on the horizontal number line holds true even for this inequality.

Restating the rule, we can say that in an inequality relationship, the greater number is always positioned to the right of the smaller number on the horizontal number line, regardless of the numbers' signs.

Watch the video on the next screen to learn more about number lines.

Chúng ta đã thấy khi hai số cùng dương hoặc cùng âm thì số lớn hơn nằm ở bên phải số nhỏ hơn trên trục số ngang.  Hãy xem liệu quy tắc này có áp dụng cho bất đẳng thức của hai số trái dấu hay không. 

Xét bất đẳng thức -3 < 2. Dấu bất đẳng thức mở về phía số 2, do đó 2 lớn hơn -3.  Chúng ta có thể thấy vị trí của hai số này trên trục số ngang ở hình trên.  Số nguyên âm -3, nằm ở bên trái số 0, trong khi số nguyên dương, 2, nằm ở bên phải số 0. 

Như vậy, 2 nằm ở bên phải -3.  Do đó, quy tắc chung là số lớn hơn trong bất đẳng thức nằm ở bên phải của số còn lại trên trục số ngang vẫn đúng đối với bất đẳng thức của hai số trái dấu này. 

Chúng ta có thể phát biểu lại quy tắc trên như sau: trong quan hệ bất đẳng thức, số lớn hơn luôn nằm bên phải số nhỏ hơn trên trục số ngang, dù chúng có mang dấu gì đi chăng nữa.  

Xem video trên màn hình tiếp theo để tìm hiểu thêm về các trục số. 

Phát biểu nào đúng với trục số ngang? 

Multiple Choice

Which statement is true for a horizontal number line?

• 5 < -8

• 2 > 7

• 6 < 8

• -1 > 0

​Decimal Numbers on the Horizontal Number Line

We've seen how to relate an inequality to the positions of two integers on a horizontal number line. Now let's look at how to compare two decimal numbers on a horizontal number line.

Let's consider the inequality -3.25 < -2.75. The inequality sign opens up to the greater number, so we know that -2.75 is greater than -3.25. Notice how the positions of these decimal numbers relate to the inequality. The image shows the positions of the two decimal numbers on the horizontal number line. However, the values we're looking for are not plotted on the number line. If we need to locate -3.25 on this number line, it will lie between -3.5 and -3 as shown in the image. Similarly, -2.75 will lie between -3 and -2.5.

Now we can see that -2.75 is positioned to the right of -3.25 on the horizontal number line.

Số thập phân trên trục số ngang 

Chúng ta đã biết mối liên hệ giữa bất đẳng thức với vị trí của hai số nguyên trên trục số ngang.  Bây giờ, hãy xem cách so sánh hai số thập phân trên trục số ngang. 

Xét bất đẳng thức -3,25 < -2,75.  Dấu bất đẳng thức mở về phía số lớn hơn, nên chúng ta biết rằng -2,75 lớn hơn -3,25.  Chú ý đến mối liên hệ giữa các số thập phân này với bất đẳng thức. Hình ảnh trên thể hiện vị trí của hai số thập phân trên trục số ngang. Tuy nhiên, các giá trị chúng ta đang tìm kiếm không được vẽ trên trục số này. Nếu chúng ta cần xác định vị trí của -3,25 trên trục số này thì nó sẽ nằm giữa -3,5 và -3 như trong hình.  Tương tự, -2,75 sẽ nằm giữa -3 và -2,5. 

Bây giờ, chúng ta có thể thấy rằng -2,75 nằm ở bên phải của -3,25 trên trục số ngang. 

Activity

Question 1

In this activity, you will develop some rules about where the numbers in an inequality lie in relation to each other on the horizontal number line.

Multiple Choice

Part A

If $$-\frac{5}{2}<-\frac{1}{2}$$   , how are the positions of the numbers $$-\frac{5}{2}$$   and $$-\frac{1}{2}$$   related on the horizontal number line?

• On the horizontal number line, $$-\frac{5}{2}$$   is located to the left of $$-\frac{1}{2}$$

• On the horizontal number line, $$-\frac{5}{2}$$   is located to the right of $$-\frac{1}{2}$$

• On the vertical number line, $$-\frac{5}{2}$$   is located to the left of $$-\frac{1}{2}$$

• On the vertical number line, $$-\frac{5}{2}$$   is located to the right of $$-\frac{1}{2}$$

Multiple Choice

Part B

If 4.5 > -4.5, how are the positions of the two numbers related on the horizontal number line?

• On the horizontal number line, 4.5  is located to the left of -4.5

• On the horizontal number line, 4.5  is located to the right of -4.5

• On the vertical number line, 4.5  is located to the left of -4.5

• On the vertical number line, 4.5  is located to the right of -4.5

Open Ended

Part C

What rule can you write about where the numbers in an inequality with a greater than symbol (>) lie in relation to each other on the horizontal number line?

Multiple Choice

Part D

If 2.25 < 2.75, how are the positions of the two numbers related on the horizontal number line?

• On the horizontal number line, 2.25 is located to the left of 2.75.

• On the horizontal number line, 2.25 is located to the right of 2.75.

Open Ended

Part E

What rule can you write about where the numbers in an inequality with a less than symbol (<) lie in relation to each other on the horizontal number line?

Multiple Choice

Part F

In an inequality, -2.5 is the lesser number. What is the position of the other number on the horizontal number line in relation to -2.5?

• The other number is located on the right of -2.5 on the horizontal number line.

• The other number is located on the left of -2.5 on the horizontal number line.

Question 2

Part A

Manuel recorded the daily temperatures for a month as part of a science assignment. The temperature at the beginning of the month was 50°F. At the end of the month, the temperature had increased to 64°F. Manuel wants to check the positions of these temperatures on the vertical number line. Apply what you know about inequalities and the horizontal number line to answer these questions about the vertical number line.

Multiple Choice

Manuel knows that 64 > 50. How are the positions of the numbers 64 and 50 related on the vertical number line?

• On the vertical number line, 64 is located above 50.

• On the vertical number line, 64 is located below 50.

Open Ended

Part B

What rule can you write about where the numbers in an inequality with a greater than symbol (>) lie in relation to each other on the vertical number line?

Multiple Choice

Part C

If -2.5 < -2.25, how are the positions of the two numbers related on the vertical number line?

• On the vertical number line, -2.5 is located below -2.25.

• On the vertical number line, -2.5 is located above -2.25.

Open Ended

Part D

What rule can you write about where the numbers in an inequality with a less than symbol (<) lie in relation to each other on the vertical number line?

Multiple Choice

Part E

In an inequality, 0.5 is the greater number. What will the position of the other number be in relation to 0.5 on the vertical number line?

• The other number would be located below 0.5 on the vertical number line.

• The other number would be located above 0.5 on the vertical number line.

Open Ended

Self-Evaluation

How did you do? Rate your work on a scale of 1 to 5, with 5 as the highest score. Then write a brief evaluation of your work below. Note what you learned and what challenged you.

15px

​In the Lesson Activity, you worked with horizontal number lines and with vertical number lines. Horizontal number lines and vertical number lines are perpendicular to each other. When they intersect at 0, the point of intersection is called the origin. These intersecting number lines form the coordinate system, as shown in the image.

You've seen how to find the relationship between an inequality and the positions of the numbers on a horizontal number line. In the Lesson Activities, you extended the rules for expressing inequalities on the horizontal number line to express inequalities on the vertical number line. Let's take a closer look at the relationship between inequalities and the positions of numbers on the vertical number line.

Trong mục Hoạt động bài học, bạn đã làm việc với trục số ngang và trục số dọc.  Trục số ngang và trục số dọc vuông góc với nhau.  Khi chúng giao nhau tại 0 thì giao điểm được gọi là gốc tọa độ.  Hai trục số giao nhau này tạo thành hệ tọa độ, như hình bên dưới. 

Bạn đã biết cách tìm mối liên hệ giữa bất đẳng thức và vị trí của các số trên trục số ngang. Trong mục Hoạt động bài học, bạn đã mở rộng quy tắc biểu diễn bất đẳng thức trên trục số ngang để biểu diễn bất đẳng thức trên trục số dọc.  Chúng ta hãy xem xét kỹ hơn mối quan hệ giữa bất đẳng thức và vị trí của các số trên trục số dọc. 

​The Vertical Number Line

On a vertical number line, the greater number in an inequality is located above the smaller number. So, if we have the inequality –1 < 0, the smaller number, –1, is located below the greater number, 0, on the vertical number line.

Consider the inequality 4.75 > 3.25. In the number line shown here, each tick mark represents a change of 0.25. So, 3.25 is located one tick mark above 3 (3 + 0.25 = 3.25), while 4.75 is located one tick mark below 5 (5 − 0.25 = 4.75).  As we can see, the greater number, 4.75, is located above the smaller number, 3.25, on the vertical number line.

The vertical number line helps us see that every negative number is less than any positive number. That's because a negative number will always be located below a positive number on the vertical number line. So, for the inequality -1 < 2, the greater number, 2, is located above the other number, -1, on the vertical number line.

Trục số dọc 

Trên trục số dọc, số lớn hơn trong bất đẳng thức nằm bên trên số nhỏ hơn.  Do đó, nếu chúng ta có bất đẳng thức –1 < 0 thì số nhỏ hơn là –1 nằm bên dưới số lớn hơn là 0 trên trục số dọc. 

Xét bất đẳng thức 4,75 > 3,25.  Trong trục số dọc ở hình bên dưới, mỗi vạch biểu thị khoảng cách thay đổi là 0,25.  Vì vậy, 3,25 nằm trên 3 một vạch (3 + 0,25 = 3,25), trong khi 4,75 nằm dưới 5 một vạch (5 − 0,25 = 4,75).   Như chúng ta có thể thấy, số lớn hơn là 4,75 nằm bên trên số nhỏ hơn là 3,25 trên trục số dọc. 

Trục số dọc giúp ta thấy rằng mọi số âm đều nhỏ hơn mọi số dương.  Bởi vì số âm sẽ luôn nằm dưới số dương trên trục số dọc.  Vì vậy, đối với bất đẳng thức -1 < 2, số lớn hơn là 2 nằm bên trên số còn lại là -1 trên trục số dọc.

Multiple Choice

Type your response in the box.

How would the numbers in the inequality $$2\frac{1}{2}$$  > −2.55 be positioned on the horizontal number line?

• Because $$-2\frac{1}{2}$$ is greater than -2.55, it is located to the right of -2.55 on the horizontal number line.

• Because $$-2\frac{1}{2}$$ is less than -2.55, it is located to the right of -2.55 on the horizontal number line.

• Because $$-2\frac{1}{2}$$ is greater than -2.55, it is located to the left of -2.55 on the horizontal number line.

• Because $$-2\frac{1}{2}$$ is less than -2.55, it is located to the left of -2.55 on the horizontal number line.

​Summary

In this lesson, you explored how the numbers on a number line relate to each other. On a horizontal number line, the numbers always increase in value as you move to the right. Any given number on a horizontal number line is always greater than the numbers to its left and always less than the numbers to its right.

A vertical number line is oriented from bottom to top, with the numbers increasing in value as you move toward the top. Any given number on a vertical number line is always greater than the numbers below it and always less than the numbers above it.

We also saw that horizontal and vertical number lines are perpendicular to each other and can intersect at zero to form the coordinate system. The point of intersection is called the origin.

Tóm tắt 

Trong bài này, bạn đã tìm hiểu về mối liên hệ giữa các số trên trục số.  Trên trục số ngang, giá trị của các số sẽ tăng dần khi bạn di chuyển sang phải.  Bất kỳ số nào nằm trên trục số ngang cũng đều lớn hơn các số ở bên trái và nhỏ hơn các số ở bên phải của nó. 

Trục số dọc hướng từ dưới lên trên, trong đó giá trị của các số sẽ tăng dần khi bạn di chuyển lên trên.  Bất kỳ số nào nằm trên trục số dọc cũng đều lớn hơn các số ở dưới và nhỏ hơn các số ở trên của nó. 

Chúng ta cũng thấy rằng trục số ngang và trục số dọc vuông góc với nhau và có thể giao nhau tại 0 để tạo thành hệ tọa độ.  Điểm giao nhau được gọi là gốc tọa độ. 

​Congratulations!
You have completed the tutorial
Inequalities on the Number Line.