Variables aleatorias discretas

VARIABLES ALEATORIAS

Aquellas que toman un número finito o infinito
numerable de valores

Variable Aleatoria Discreta

Variable Aleatoria Continua

Ejercicio 1. El dueño de una empresa que cuenta con seis empleados, tres
hombres y tres mujeres, necesita realizar un traslado de dos de ellos, para
no entrar en ninguna conjetura ha decidido escogerlos de forma aleatoria.
Si se define a X como el número de mujeres que se podrían incluir,
construya la función de distribución para X.

Ejercicio 2. Un embarque de 8 computadores para una tienda, contiene tres
defectuosos. Si una escuela hace una compra al azar de dos de estos
computadores, encontrar la distribución de probabilidad para el número de
defectuosos.

Ejercicio 3. Se lanza un par de dados y se mira el resultado de la suma de
ambos.

0,18

0,16

0,14

0,12

0,10

0,08

0,06

0,04

0,02

0,00

X

Probabilidad

7

0,5833

12

Gráfica de distribución

Discreta; Valores=x; Probabilidades=px

F (7) = P (X ≤ 7)

0,18

0,16

0,14

0,12

0,10

0,08

0,06

0,04

0,02

0,00

X

Probabilidad

7

0,5833

12

Gráfica de distribución

Discreta; Valores=x; Probabilidades=px

0,18

0,16

0,14

0,12

0,10

0,08

0,06

0,04

0,02

0,00

X

Probabilidad

6

0,4167

12

Gráfica de distribución

Discreta; Valores=x; Probabilidades=px

0,18

0,16

0,14

0,12

0,10

0,08

0,06

0,04

0,02

0,00

X

Probabilidad

7

0,1667

2

12

Gráfica de distribución

Discreta; Valores=x; Probabilidades=px

F (7) F(6)

P (X = 7) = F(7) – F(6)

0,18

0,16

0,14

0,12

0,10

0,08

0,06

0,04

0,02

0,00

X

Probabilidad

6

0,7222

2

Gráfica de distribución

Discreta; Valores=x; Probabilidades=px

P (X ≥ 6)

1 – F (5)

0,18

0,16

0,14

0,12

0,10

0,08

0,06

0,04

0,02

0,00

X

Probabilidad

5

0,6667

9

2

12

Gráfica de distribución

Discreta; Valores=x; Probabilidades=px

P ( 5 ≤ X ≤ 9)

F (9) - F(4)

0,18

0,16

0,14

0,12

0,10

0,08

0,06

0,04

0,02

0,00

X

Probabilidad

12

1

Gráfica de distribución

Discreta; Valores=x; Probabilidades=px

F(12) = P (X ≤ 12)

DISTRIBUCION DE PROBABILIDAD BINOMIAL

DISTRIBUCION DE PROBABILIDAD BINOMIAL

Existen muchos experimentos en los cuales se quiere saber si se logra un éxito o un
fracaso, como por ejemplo si la duración de una pieza es la que se programó o no, si un
medicamento para el dolor es o no efectivo, si una pieza producida en una fábrica sale
defectuosa o no. Para este tipo de situaciones se establece una variable aleatoria X,
que se distribuye de forma Binomial, como el número de éxitos observados en una
prueba.
Características de un experimento binomial

1. El experimento consta de n pruebas idénticas
2. Cada prueba toma uno de dos resultados. Se llama a uno éxito (E) y al otro fracaso

(F)

3. La probabilidad de éxito en una sola prueba es igual a p y permanece constante de

prueba en prueba. La probabilidad de fracaso es 1-p = q.

4. Las pruebas son independientes.
5. La variable aleatoria bajo estudio es X, el número de éxitos observados en las n

pruebas

6. La distribución binomial se denota como b(x, n, p)

Ejemplo 1: Número de efectos secundarios de los medicamentos

Los profesionales médicos utilizan la distribución binomial para modelar la
probabilidad de que un cierto número de pacientes experimente efectos
secundarios como resultado de tomar nuevos medicamentos.

Por ejemplo, suponga que se sabe que el 5% de los adultos que toman un
determinado medicamento experimentan efectos secundarios negativos.
Podemos usar la distribución binomial para encontrar la probabilidad de que
más de un cierto número de pacientes en una muestra aleatoria de 100
experimenten efectos secundarios negativos.

•
P (X> 5 pacientes experimentan efectos secundarios) = 0.38400

•
P (X> 10 pacientes experimentan efectos secundarios) = 0.01147

•
P (X> 15 pacientes experimentan efectos secundarios) = 0,0004

Y así.

Esto les da a los profesionales médicos una idea de la probabilidad de que
más de un cierto número de pacientes experimenten efectos secundarios
negativos.

Ejemplo 3: número de correos electrónicos no deseados por día

Las empresas de correo electrónico utilizan la distribución binomial para
modelar la probabilidad de que una cierta cantidad de correos
electrónicos no deseados lleguen a una bandeja de entrada por día.

Por ejemplo, suponga que se sabe que el 4% de todos los correos
electrónicos son spam. Si una cuenta recibe 20 correos electrónicos en
un día determinado, podemos encontrar que la probabilidad de que una
cierta cantidad de esos correos electrónicos sean spam:

•
P (X = 0 correos electrónicos no deseados) = 0,44200

•
P (X = 1 correo electrónico no deseado) = 0,36834

•
P (X = 2 correos electrónicos no deseados) = 0,14580

Función de distribución binomial

𝑃 𝑥 = 𝑛𝐶𝑥. 𝑝𝑥. 𝑞𝑛−𝑥

donde
n = número de ensayos
x = número de éxitos en n ensayos
p = probabilidad de éxito en cualquier ensayo
q = probabilidad de fracaso en cualquier ensayo (q =1 - p)

μ = np

𝜎2= npq

Ejemplo 1. Supóngase que un lote de 300 latas de Atún contiene 5% no conformes.
Determine la probabilidad de que se pueda encontrar al menos una lata no conforme
en una muestra de 5 latas de atún. ¿Cuál es el número de latas no conformes
esperadas?

0,8

0,7

0,6

0,5

0,4

0,3

0,2

0,1

0,0

X

Probabilidad

4

Gráfica de distribución

Binomial; n=5; p=0,05

Ejemplo 2. Se afirma que en 60% de todas las instalaciones de calefacción solar, la
facturación del servicio se reduce en al menos un tercio. En concordancia, ¿cuáles son
las probabilidades de que tal factura se reducirá en al menos un tercio en a) cuatro de
cinco instalaciones; b) al menos cuatro de cinco instalaciones?

Ejemplo 3. La fabricación de grandes paneles de lcd de alta definición es difícil, y una
proporción moderadamente elevada tiene demasiados pixeles defectuosos para pasar
la inspección. Si la probabilidad de que un panel de lcd no pasará la inspección es de
0.3, ¿cuál será la probabilidad de que 6 de 18 paneles, seleccionados al azar de la
producción, no pasarán la inspección?

Ejemplo 4. Muestreo de aceptación Medassist Pharmaceutical Company recibe grandes
embarques de tabletas de aspirina y usa el siguiente plan de muestreo de aceptación:
seleccionar al azar y probar 15 tabletas, después aceptar el grupo completo solo si hay
una o cero tabletas que no cumplan con las especificaciones requeridas. Si un
embarque particular de 3000 tabletas de aspirina tiene en realidad una tasa de
defectos del 5%,
a. ¿cuál es la probabilidad de que el embarque completo sea aceptado?
b. ¿cuál es la probabilidad que por lo menos dos no cumplan con las especificaciones?
c.¿Casi todos los embarques de este tipo serían aceptados o habría muchos rechazos?

0,5

0,4

0,3

0,2

0,1

0,0

X

Probabilidad

1

0,8290

4

Gráfica de distribución

Binomial; n=15; p=0,05

DISTRIBUCION HIPERGEOMETRICA

DISTRIBUCION HIPERGEOMETRICA

La distribución hipergeométrica se relaciona con la binomial. Mientras que la
distribución binomial es el modelo de probabilidad aproximada de muestreo sin
reemplazo de una población dicotómica finita (E - F), la distribución hipergeométrica es
el modelo de probabilidad exacta del número de éxitos (E) en la muestra.

Caractérísticas de la distribución hipergeométrica

1.

La población a muestrear se compone de N individuos, objetos o elementos (finita).

2.

Cada individuo se clasifica como éxito (E) o fracaso (F) y hay M éxitos en la
población.

3.

Se selecciona una muestra de n individuos sin reemplazo de tal forma que cada
subconjunto de tamaño n es igualmente probable de ser seleccionado.

La variable aleatoria de interés es X = el número de éxitos en la muestra. La distribución

de probabilidad de X depende de los parámetros n, M, y N, así que se desea
obtener P(X=x) = h(x; n, M, N)

Función de distribución hipergeométrica

𝑃 𝑥 =

𝑘
𝑥

𝑁−𝑘
𝑛−𝑥
𝑁
𝑛

N es el tamaño de la población
k, número de éxitos en la población.
x, número de éxitos en la muestra.
n, tamaño de la muestra o número de pruebas

Ejemplo 1. Una compañía con base en Internet que vende accesorios con descuento para
teléfonos celulares a menudo embarca un número excesivo de productos defectuosos. La
compañía necesita un mejor control de calidad. Suponga que tiene a la mano 20
cargadores para automóvil idénticos, pero 5 están defectuosos. Si la compañía decide
seleccionar al azar 10 de dichos artículos, ¿cuál es la probabilidad de que 2 de los 10
estarán defectuosos?

Ejemplo 2. Computadores del norte comercializa cinco tipos de impresora en color y seis
de impresora láser. ¿cuál es la probabilidad de que al elegir cinco impresoras al azar se
obtengan:

a. Tres de color?
b. Máximo dos laser?

DISTRIBUCION DE PROBABILIDAD DE POISSON

Ejemplo: número de visitantes del sitio web por hora

Las empresas de alojamiento de sitios web utilizan la distribución de Poisson
para modelar la cantidad de visitantes esperados por hora que recibirán los
sitios web.

Por ejemplo, supongamos que un sitio web determinado recibe un promedio
de 20 visitantes por hora. Podemos usar la distribución de Poisson para
encontrar la probabilidad de que el sitio web reciba más de un cierto número
de visitantes en una hora determinada:

•
P (X> 25 visitantes) = 0,11218

•
P (X> 30 visitantes) = 0.01347

•
P (X> 35 visitantes) = 0,00080

Y así.

Esto les da a las empresas de alojamiento una idea de cuánto ancho de
banda proporcionar a diferentes sitios web para asegurarse de que podrán
manejar una cierta cantidad de visitantes cada hora.

Ejemplo2: Número de fallos de red por semana

Las empresas de tecnología utilizan la distribución de Poisson para
modelar el número de fallas de red esperadas por semana.

Por ejemplo, suponga que una empresa determinada experimenta un
promedio de 1 falla de red por semana, para encontrar la probabilidad de
que la empresa experimente un cierto número de fallas en la red en una
semana determinada:

•
P (X = 0 fallas) = 0.36788

•
P (X = 1 falla) = 0.36788

•
P (X = 2 fallas) = 0.18394

Y así.

Esto le da a la empresa una idea de cuántas fallas es probable que ocurran
cada semana.

DISTRIBUCION DE PROBABILIDAD DE POISSON

Esta distribución describe el número de veces que se presenta un evento durante un
intervalo específico. El intervalo puede ser de tiempo, distancia, área o volumen.

Por ejemplo:
• El número de imperfecciones por área pintada en un vehículo.
• La cantidad de imperfecciones en un rollo de papel fotográfico.
• El número de artículos defectuosos de una línea de producción.
• Número de defectos por m2en una tela.

Distribución de Poisson

𝑷 𝒙 = 𝒆−𝝀𝝀𝒙

𝒙!

μ = λ

σ2 = λ

Ejemplo 1. Los astrónomos tratan el número de estrellas en un determinado volumen
de espacio como una variable aleatoria de Poisson. La densidad en La vía láctea en las
cercanías de nuestro sistema solar es una estrella por 16 años luz cúbicos.
(a) ¿Cuál es la probabilidad de dos o más estrellas en 16 años luz cúbicos?
(b) Cuántos años luz cúbicos de espacio deben estudiarse para que la probabilidad de
que una o más estrellas exceda de 0.95?

Ejemplo 2. En la inspección de papel aluminio producido por un proceso electrolítico
continuo, se identifican 0.2 imperfecciones en promedio por minuto. Determine las
probabilidades de identificar

a) una imperfección en 3 minutos,
b) al menos dos imperfecciones en 5 minutos,
c) cuando más una imperfección en 15 minutos

1.Si un banco recibe en promedio 6 cheques sin fondo por día, ¿cuáles son las probabilidades de

que reciba, a) cuatro cheques sin fondo en un día dado, b) 10 cheques sin fondos en cualquiera
de dos días consecutivos?

Solución:

a)a)x = variable que nos define el número de cheques sin fondo que llegan al banco en un

día cualquiera = 0, 1, 2, 3, ....., etc, etc.

 = 6 cheques sin fondo por día
 = 2.718

b)
x= variable que nos define el número de cheques sin fondo que llegan al banco en dos días
consecutivos = 0, 1, 2, 3, ......, etc., etc.
 = 6 x 2 = 12 cheques sin fondo en promedio que llegan al banco en dos días consecutivos
Nota:  siempre debe de estar en función de x siempre o dicho de otra forma, debe “hablar”
de lo mismo que x.

133920
24

002480

1296

4

71826
6

4

6

4

.
)

.)(

(

!

).()(
)

,

x(p

=

=

=

=

=

−



1049530
3628800

000006151010

19173646

10

7182

12
12

10

12

10

.
)

.)(

.(

!

).()(
)

,

x(p

=

=

=

=

=

−

