STATISTIK DATA BERKELOMPOK

UKURAN PEMUSATAN DAN LETAK DATA BERKELOMPOK

EMI, S.Pd

Penyajian Data Berkelompok dalam
Bentuk Tabel

Contoh Kasus:

Data hasil penilaian yang dilakukan guru matematika terhadap 80 siswa/siswi
kelas XI dinyatakan sebagai berikut:

Langkah 1: Mangurutkan Data Dari Data Terkecil – Data Terbesar

Penyajian Data Berkelompok dalam Bentuk Tabel

Langkah 2: Menentukan Banyak Kelas

Banyak Kelas dirumuskan sebagai berikut:

Berdasarkan data di atas, maka diperoleh:

𝐁𝐚𝐧𝐲𝐚𝐤 𝐊𝐞𝐥𝐚𝐬 = 𝟏 + 𝟑, 𝟑 . 𝐋𝐨𝐠 𝟖𝟎
𝐁𝐚𝐧𝐲𝐚𝐤 𝐊𝐞𝐥𝐚𝐬 = 𝟏 + 𝟑, 𝟑 . 𝟏, 𝟗𝟎𝟑
𝐁𝐚𝐧𝐲𝐚𝐤 𝐊𝐞𝐥𝐚𝐬 = 𝟕, 𝟐𝟖 ≈ 𝟕

Jadi, 80 data di atas akan dibagi menjadi 7 kelas interval.

𝐁𝐚𝐧𝐲𝐚𝐤 𝐊𝐞𝐥𝐚𝐬 = 𝟏 + (𝟑, 𝟑) . 𝐋𝐨𝐠 𝐧

Penyajian Data Berkelompok dalam Bentuk Tabel

Langkah 3: Menentukan Panjang Kelas

Panjang Kelas dirumuskan sebagai berikut:

Berdasarkan data di atas, maka diperoleh:

𝐁𝐚𝐧𝐲𝐚𝐤 𝐊𝐞𝐥𝐚𝐬 =

𝟔𝟎
𝟕= 𝟖, 𝟓𝟕 ≈ 𝟖

𝐏𝐚𝐧𝐣𝐚𝐧𝐠 𝐊𝐞𝐥𝐚𝐬 =

𝐉𝐚𝐧𝐠𝐤𝐚𝐮𝐚𝐧

𝐁𝐚𝐧𝐲𝐚𝐤 𝐊𝐞𝐥𝐚𝐬

Penyajian Data Berkelompok dalam Bentuk Tabel

Langkah 4: Memasukkan Data dalam Bentuk Tabel

Kelas I

: 38 – 46

Kelas II

: 47 – 55

Kelas III

: 56 – 64

Kelas IV

: 65 – 73

Kelas V

: 74 – 82

Kelas VI

: 83 – 91

Kelas VII

: 92 – 100

Penyajian Data Berkelompok dalam Bentuk Tabel

Kelas

Frekuensi

38 – 46

1

47 – 55

5

56 – 64

7

65 – 73

12

74 – 82

25

83 – 91

22

92 – 100

8

n = 80

Tabel

Nilai Matematika Kelas XI

BENTUK UMUM:
DATA KELOMPOK (DISTRIBUSI FREKUENSI)

Interval

Titik

Tengah

(xi)

Frekuensi

(fi)

a1 – b1

a2 – b2

a3 – b3

.

.

.

an – bn

x1

x2

x3

.

.

.
xn

f1

f2

f3

.

.

.
fn

Keterangan :

ai – bi : interval (kelas) ke-i

ai : batas bawah ke-i

bi : batas atas ke-i

ai – 0,5

: tepi bawah kelas ke-i

bi – 0,5

: tepi atas kelas ke-i

(ai – 0,5) – (bi – 0,5)

: panjang interval

(kelas)

xi =ai − bi

2

: titik tengah kelas ke-i

DISTRIBUSI DATA

KELOMPOK

UKURAN

PEMUSATAN

DATA

UKURAN

LETAK DATA

-Mean

-Median

-Modus

-Kuartil

-Desil

-Persentil

UKURAN

PENYEBARAN

DATA

-Jangkauan

-Simpangan Rataan

-Simpangan Kuartil

-Varian dan
Simpangan Baku

a.

Mean

b.

Median

c.

Modus

a. Mean (Rata-rata)

Keterangan:
fi : frekuensi kelas ke-i

xi : nilai tengah kelas ke-i

Kelas

Frekuensi

38 – 46

1

47 – 55

5

56 – 64

7

65 – 73

12

74 – 82

25

83 – 91

22

92 – 100

8

n = 80

Tabel

Nilai Matematika Kelas XI

Langkah Penyelesaian:
1. Membuat kolom baru Xi
2. Membuat kolom baru fi.Xi
3. Menghitung Mean dengan rumus:

X ̅ =

Σfi.Xi

n

Contoh Soal :

Penyelesaian :

Kelas

Frekuensi

(fi)

Xi
fi.Xi

38 – 46

1

42

42

47 – 55

5

51

255

56 – 64

7

60

420

65 – 73

12

69

828

74 – 82

25

78

1950

83 – 91

22

87

1914

92 – 100

8

96

768

n = 80

ΣXi. fi = 6177

X = 77,2125

b. Median

Ket :

Me : Median

tb : tepi bawah kelas median

k

: panjang kelas

F : frekuensi kumulatif tepat sebelum kelas

median

fm : frekuensi kelas median

n

: banyak data dari statistik terurut ∑fi

Contoh Soal :

Kelas

Frekuensi

38 – 46

1

47 – 55

5

56 – 64

7

65 – 73

12

74 – 82

25

83 – 91

22

92 – 100

8

n = 80

Tabel

Nilai Matematika Kelas XI

Langkah Penyelesaian:
1. Menentukan kelas median dengan

rumus :

𝑛
2

2. Menghitung Median dengan rumus:

𝑀𝑒 = 𝑡𝑏 + 𝑘.

𝑛
2−𝐹

𝑓𝑚

Penyelesaian :

Kelas Median = n

2 = 80

2 = 40

Kelas

Frekuensi

38 – 46

1

47 – 55

5

56 – 64

7

65 – 73

12

74 – 82

25

83 – 91

22

92 – 100

8

<= Kelas Median

𝑀𝑒 = 𝑡𝑏 + 𝑘.

𝑛
2− 𝐹

𝑓𝑚

𝑀𝑒 = 73,5 + 8 . 40 − 25

25

k = 46 − 38 = 8

𝑀𝑒 = 73,5 + 4,8

𝑀𝑒 = 12,1

c. Modus

Ket :

Mo : Modus

tb : tepi bawah kelas modus

k

: panjang kelas

d1 : selisih frekuensi kelas modus dengan

kelas sebelumnya

d2 : selisih frekuensi kelas modus dengan

kelas sesudahnya

Contoh Soal :

Kelas

Frekuensi

38 – 46

1

47 – 55

5

56 – 64

7

65 – 73

12

74 – 82

25

83 – 91

22

92 – 100

8

n = 80

Tabel

Nilai Matematika Kelas XI

Langkah Penyelesaian:
1. Menentukan d1 dan d2
2. Menghitung Median dengan rumus:

Mo = tb + k.

d1

d1+d2

Penyelesaian :

Kelas

Frekuensi

38 – 46

1

47 – 55

5

56 – 64

7

65 – 73

12

74 – 82

25

83 – 91

22

92 – 100

8

Modus adalah nilai yang paling
sering muncul.

<=Kelas Modus

d1 = 25 − 12 = 13

d2 = 25 − 22 = 3

Mo = tb + k.
d1

d1 + d2

= 73,5 + 8.
13

13 + 3

= 73,5 + 8.
13

13 + 3

= 73,5 + 6,5

= 80

a.

Kuartil

b.

Desil

c.

Persentil

a. Kuartil

Membagi data yang sudah diurutkan menjadi 4 bagian yang sama banyak.

Keterangan:
xmin
: data terkecil

xmax
: data terbesar

Q1
: kuartil ke-1

Q2
: kuartil ke-2

Q3
: kuartil ke-3

Varian (Ragam) =

=

=

Simpangan Baku=

=

= 12,50269346

1
𝑛෍ 𝑓𝑖. (𝑋𝑖 − ത𝑋)2

1
80(12505,3875)

156,3173438

1
𝑛 ෍ 𝑓𝑖. (𝑋𝑖 − ത𝑋)2

156,3173438

n

: banyak data

k

: panjang kelas

Qi
: kuartil ke-i data, i=1,2,3

Li
: tepi bawah kelas kuartil ke-i

Fq
: jumlah frekuensi sebelum kuartil ke-i

Fi
: frekuensi kelas yang memuat kuartil ke-i

RUMUS KUARTIL

Contoh Soal:

Kelas

Frekuensi

0 – 9

5

10 – 19

54

20 – 29

215

30 – 39

265

40 – 49

223

50 – 59

124

60 – 69

72

70 – 79

38

80 – 89

5

90 – 99

1

Dari 1000 siswa peserta Olimpiade Matematika diperoleh data skor berupa
tabel berikut.

Tentukan:
1. Kuartil ke-1 (Q1)
2. Kuartil ke-3 (Q3)

Penyelesaian:

Menentukan kelas Kuartil ke-1 dan kelas Kuartil ke-3

Kelas Q1 ⇒i

4. n = 1

4. 1000 = 250

Kelas Q3 ⇒i

4. n = 3

4. 1000 = 750

Kelas

Frekuensi

Fk

0 – 9

5

5

10 – 19

54

59

20 – 29

215

274

30 – 39

265

537

40 – 49

223

760

50 – 59

124

884

60 – 69

72

956

70 – 79

38

994

80 – 89

5

999

90 – 99

1

1000

<= Kelas Q1

<= Kelas Q3

Tabel Skor Olimpiade Matematika

Li + k

i
4 . n − FQ

fq

19,5 + 9250 − 59

54

27,49

Q1
=

=

=

Li + k

i
4 . n − FQ

fq

39,5 + 9750 − 537

223

48,09

Q3
=

=

=

b. Desil

Membagi data yg urut menjadi 10 bagian yang sama banyak

Dengan demikian nilai-nilai dari desil yaitu desil ke-1 (D1), desil ke-2
(D2), desil ke-3 (D3) dan seterusnya sampai D9.

Xmaks
Xmin

D1

D2

D3

D4

D5

D6

D7

D8

D9

RUMUS DESIL

n

: banyak data

k

: panjang kelas

Di
: desil ke-i data, i=1,2,3,…,9

Li
: tepi bawah kelas Desil ke-i

FD
: jumlah frekuensi sebelum desil ke-i

fDi
: frekuensi kelas yang memuat desil ke-i

c. Persentil

Membagi data yg urut menjadi 100 bagian yang sama banyak

Artinya sekumpulan data yang terurut memiliki 99 nilai presentil, yakni
P1,P2,P3,...,P99.

Xmaks
Xmin

P1

P2

P3

P4

…

…

…

…

P99

RUMUS PERSENTIL

n

: banyak data

k

: panjang kelas

Di
: desil ke-i data, i=1,2,3,…,99

Li
: tepi bawah kelas Persentil ke-i

FP
: jumlah frekuensi sebelum persentil ke-i

fPi
: frekuensi kelas yang memuat persentil ke-i

a.

Rentang (R)

b.

Simpangan Rataan

c.

Simpangan Kuartil

d.

Varian (Ragam) Simpangan Baku

a. Rentang (R)

Range merupakan selisih antara data terbesar dengan data terkecil.

Rumus:

Keterangan:
xmaks
: nilai terbesar

xmin
: nilai terkecil

Jangkauan (Range) = xmaks – xmin

Kelas

Frekuensi

38 – 46

1

47 – 55

5

56 – 64

7

65 – 73

12

74 – 82

25

83 – 91

22

92 – 100

8

n = 80

Tabel

Nilai Matematika Kelas XI

Langkah Penyelesaian:
1. Menghitung nilai tengah kelas terendah
2. Menghitung nilai tengah kelas tertinggi
3. Menghitung Rentang (R)dengan rumus:

Rentang (R) = Xmaks - Xmin

Contoh Soal:

Nilai tengah kelas terendah =

46+38

2
= 42

Nilai tengah kelas tertinggi =

100+92

2
= 96

Jadi,
Rentang (R)

= 96 – 42= 54

<= mewakili Xmin

<= mewakili Xmaks

Penyelesaian :

b. Rentang Antar Kuartil (Simpangan
Kuartil)

Rentang antar kuartil merupakan selisih kuartil terbesar dengan
kuartil terkecil.

Rumus:

Keterangan:
Q1
: Kuartil Pertama

Q3
: Kuartil Ketiga

Simpangan Kuartil = Q3 – Q1

Contoh Soal:

Kelas

Frekuensi

0 – 9

5

10 – 19

54

20 – 29

215

30 – 39

265

40 – 49

223

50 – 59

124

60 – 69

72

70 – 79

38

80 – 89

5

90 – 99

1

Tabel

Skor Olimpiade Matematika

Langkah Penyelesaian:
1. Menentukan Q1
2. Menentukan Q3
3. Menghitung Rentang Antar Kuartil dengan

rumus:

Simpangan Kuartil = Q3 - Q1

Penyelesaian :

Li + k

i
4 . n − FQ

fq

19,5 + 9250 − 59

54

27,49

Q1
=

=

=

Li + k

i
4 . n − FQ

fq

39,5 + 9750 − 537

223

48,09

Q3
=

=

=

𝑄3 − 𝑄1

48,09 − 27,49

Simpangan Kuartil

=

=

= 20,6

c. Simpangan Rata-rata

Keterangan:
SR
: Simpangan Rataan

xi
: titik tengah

തx

: nilai rataan

fi
: frekuensi kels ke-i

Contoh Soal:

Kelas

Frekensi (fi)

38 – 46

1

47 – 55

5

56 – 64

7

65 – 73

12

74 – 82

25

83 – 91

22

92 – 100

8

n = 80

Tabel

Nilai Matematika Kelas XI

Langkah Penyelesaian:
1. Menghitung nilai Mean
2. Membuat kolom baru untuk Xi dan ȁXi −

Penyelesaian :

Kelas

Frekuensi

(fi)

Xi
fi.Xi

38 – 46

1

42

42

47 – 55

5

51

255

56 – 64

7

60

420

65 – 73

12

69

828

74 – 82

25

78

1950

83 – 91

22

87

1914

92 – 100

8

96

768

n = 80

෍ Xi. fi = 6177

ഥX = 77,2125

Kelas

Frekuensi

(fi)

Xi
fi.Xi

Xi − ഥX

fi Xi − ഥX

38 – 46

1

42

42

35.2125

35.2125

47 – 55

5

51

255

26.2125

131.0625

56 – 64

7

60

420

17.2125

120.4875

65 – 73

12

69

828

8.2125

98.55

74 – 82

25

78

1950

0.7875

19.6875

83 – 91

22

87

1914

9.7875

215.325

92 – 100

8

96

768

18.7875

150.3

෍ fi Xi − ഥX

= 770,625

SR =

σ fi Xi − ҧX

n
= 9,6328125

d. Varian dan Simpangan Baku

RUMUS SIMPANGAN BAKU

RUMUS VARIAN (RAGAM)

Keterangan:
SB
: Simpangan Baku

SB

2

: Ragam/Varian

fi
: frekuensi kelas ke-i

xi
: titik tengah

തx

: rata-rata

n

: ukuran data

Contoh Soal :

Kelas

Frekensi (fi)

38 – 46

1

47 – 55

5

56 – 64

7

65 – 73

12

74 – 82

25

83 – 91

22

92 – 100

8

n = 80

Tabel

Nilai Matematika Kelas XI

Langkah Penyelesaian:
1. Membuat kolom baru untuk Xi, Xi −ഥX,

(Xi − ഥX)2, dan fi.(Xi − ഥX)2

2. Menghitung Varian dan Simpangan Baku

dengan rumus:

Varian (Ragam)

=

Simpangan Baku

=

1
𝑛෍ 𝑓𝑖. (𝑋𝑖 − ത𝑋)2

1
𝑛 ෍ 𝑓𝑖. (𝑋𝑖 − ത𝑋)2

Penyelesaian :

Kelas

Frekuensi

(fi)

Xi
fi.Xi

38 – 46

1

42

42

47 – 55

5

51

255

56 – 64

7

60

420

65 – 73

12

69

828

74 – 82

25

78

1950

83 – 91

22

87

1914

92 – 100

8

96

768

n = 80

෍ Xi. fi = 6177

ഥX = 77,2125

Kelas

Frekuensi

(fi)

Xi
Xi − ഥX

(Xi − ഥX)2

fi. (Xi − ഥX)2

38 – 46

1

42

42

-35.2125

1239.920156

1239.920156

47 – 55

5

51

255

-26.2125

687.0951563

3435.475781

56 – 64

7

60

420

-17.2125

296.2701563

2073.891094

65 – 73

12

69

828

-8.2125

67.44515625

809.341875

74 – 82

25

78

1950

0.7875

0.62015625

15.50390625

83 – 91

22

87

1914

9.7875

95.79515625

2107.493438

92 – 100

8

96

768

18.7875

352.9701563

2823.76125

fi. Xi

Terima Kasih . . . .

Fill in the Blanks

Fill in the Blanks

Fill in the Blanks

Fill in the Blanks

Fill in the Blanks

Fill in the Blanks

​TERIMAKASIH