Exponentialfunktionen (Wdh..)

Exponentialfunktionen
kurzer Zwischentest

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Exponentialfunktionen beschreiben Wachstums- und Zerfallsprozesse und besitzen Funktionsgleichungen der Form f(x) = a⋅b^x

a gibt dabei den ​

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an, b den sogenannten ​

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.

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Das Ganze gibt es natürlich auch als Zerfallsprozess. Das erkennt man daran, dass das ​

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in der Funktionsgleichung f(x) = a⋅b^x ​ ​

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ist.

Na, hast Du gerade 35% eingetippt? ;-)

​Deine Exponentialfunktion gibt Dir einen Bestand an...

..., was bedeutet, dass sie immer anzeigt, was übrig bleibt bzw. vorhanden ist. Hier bleiben 35% übrig. Dann hat der Bestand um 65% abgenommen. Es ist ein Zerfall von 65%.
Merkregel: Immer die Differenz zwischen Wachstumsfaktor und 1 bilden.
0,35 - 1 = -0,65 --> Zerfall von 65 %

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Kurzes Training: Gegeben sei die Funktion h mit h(t) = 13,5 ⋅ 0,6^t. Das ist ein ​

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. Die prozentuale ​

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pro Zeitschritt beträgt ​

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.

So. Und dann waren wir eigentlich dabei, diese Funktionen abzuleiten.

​Aber was ist denn eigentlich eine Ableitung?

Das ist eine Funktion, mit der ihr die Steigung der Ausgangsfunktion ausrechnen könnt.

In Bezug auf Sachverhalte gibt euch das die sogenannte "Änderungsrate" an. Gibt euch zum Beispiel die Ausgangsfunktion die Strecke an, die ein Auto zurückgelegt hat, dann könnt ihr mit der Ableitung die "Änderungsrate" dieser Strecke, also die Geschwindigkeit des Autos, bestimmen. Das ist schön und praktisch. :-)

Dazu gibt es eine Annäherung...

​...und zwar mit der sogenannten Tangente.

Das ist eine Gerade die einen Graphen nur in einem Punkt berührt, sich also da an den Graphen "schmiegt". Die Steigung der Tangente entspricht also der Steigung des Graphen in diesem Punkt.

Die blaue Gerade ist Tangente an den Graphen von f im Punkt P (1 | 2). Wenn Du ein Steigungsdreieck eingezeichnet hast, gilt für die Steigung m:
m = Schritte nach oben/ unten geteilt durch Schritte nach rechts, im Beispiel also:
m = 1,4 : 1 = 1,4

Das Bild links zeigt ein Beispiel dafür:

Math Response

Nimm einmal an, die blaue Gerade links sei Tangente an einen Graphen im Punkt P. Bestimme die Steigung m. m =

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Correct Answer: \frac{2}{3}

Deg^°

Rad

Als Formel für die Steigung gilt:

​Und wie sieht das allgemein aus?

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Und jetzt wisst ihr schon fast, wie ihr eine
e-Funktion tanzen könnt :-)