Proporcionalidad

Proporcionalidad

Razones y Fracciones
Series proporcionales
Proporciones
Proporcionalidad directa e indirectas.

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¿QUÉ ES LA PROPORCIONALIDAD?

Multiple Choice

Para hacer crema de chocolate para 6 personas, se necesitan 8 oz. de chocolate, 6 cucharadas de azúcar, 4 yemas de huevo y 10 almendras. ¿Cuánto necesita Juan de cada ingrediente para preparar una crema para 9 personas?

• A. 12 oz de chocolate, 9 cucharadas de azúcar, 6 yemas de huevo, 15 almendras.

• B. 11 oz de chocolate, 8 cucharadas de azúcar, 5 yemas de huevo, 12 almendras.

• C. 13 oz de chocolate, 10 cucharadas de azúcar, 7 yemas de huevo, 18 almendras.

  
  

"Un par ordenado de cantidades de magnitudes"

Razones

“cualquier par ordenado de números enteros cuya segunda componente es distinta de cero”

Fracciones

Las fracciones no siempre son razones

Razones

El hecho de que en las razones se refieran a cantidades de magnitudes, medibles cada una con sus respectivas unidades, implica las siguientes diferencias con las fracciones:

• Las razones comparan entre sí objetos heterogéneos, o sea, objetos que se miden con unidades diferentes.

  • Por ejemplo, 3 jamones por 145 euros.

  • Las fracciones, por el contrario, se usan para comparar el mismo tipo de objetos como “dos de tres partes”, lo que se indica con 2/3.

El hecho de que en las razones se refieran a cantidades de magnitudes, medibles cada una con sus respectivas unidades, implica las siguientes diferencias con las fracciones:

El hecho de que en las razones se refieran a cantidades de magnitudes, medibles cada una con sus respectivas unidades, implica las siguientes diferencias con las fracciones:

• Las razones no son siempre números racionales.

  • Por ejemplo, la razón de la longitud de una circunferencia a su diámetro C/D es el número π (no es racional)

  • Esta es una diferencia esencial entre “razón” y “fracción”, ya que como vimos, las fracciones son siempre interpretables como cociente de enteros.

El hecho de que en las razones se refieran a cantidades de magnitudes, medibles cada una con sus respectivas unidades, implica las siguientes diferencias con las fracciones:

• Las operaciones con razones no se realizan, en general, de igual manera que las fracciones.

  • Por ejemplo, 2 aciertos sobre 5 intentos (2:5), seguidos de 3 aciertos sobre 7 intentos (3:7) se combinan para producir 5 aciertos en un total de 12 intentos, o sea, con estas fracciones se puede definir una “suma” de razones

  • 2:5 + 3:7 = 5:12

Series proporcionales

En muchas situaciones prácticas se establecen relaciones entre las cantidades de dos magnitudes, de tal modo que las cantidades de una de ellas se obtienen multiplicando por un mismo número las distintas cantidades de la otra.

​Número de panes	​1	2​	3​	4​	5​	6​	7​
​Precio en dólares	​0.3	0.6​	​0.9	​1.2	1.5​	1.8​	2.1​

Series proporcionales

En general, decimos que dos series de números, con el mismo número de elementos, son proporcionales entre sí, si existe un número real fijo k, llamado razón de proporcionalidad, que permite escribir cada valor de la segunda serie como producto por k de los valores correspondiente de la primera serie.

​Número de panes	​1	2​	3​	4​	5​	6​	7​
​Precio en dólares	​0.3	0.6​	​0.9	​1.2	1.5​	1.8​	2.1​

Proporciones

• Cuando en la situación considerada solo intervienen dos pares de números que se corresponden, se dice que se establece una proporción
  

• Una proporción es una igualdad de dos razones. Escribimos proporciones para ayudarnos a establecer razones equivalentes y resolver cantidades desconocidas.

• Una receta requiere 3 tazas de harina por cada 1 taza de agua. Si Jaime sigue la receta y usa 6 tazas de harina, ¿cuántas tazas de agua necesita?

Proporciones

• Una receta requiere 3 tazas de harina por cada 1 taza de agua. Si Jaime sigue la receta y usa 6 tazas de harina, ¿cuántas tazas de agua necesita?

  • En la receta, la proporción de harina y agua es 3 a 1. Para seguir la receta, la proporción de harina y agua de Jaime también debe ser 3 a 1. Usando x para representar la cantidad de tazas de agua que necesita Jaime:

Proporciones

• Una proporción aparece en general bajo la forma de una igualdad entre dos fracciones. En consecuencia, el producto cruzado de los numeradores y denominadores serán iguales entre sí.

En la práctica una de las fracciones tendrá el numerador o el denominador desconocido y se plantea el problema de encontrar su valor usando la relación de proporcionalidad que se establece.

Multiple Choice

La razón de chicos a chicas en una clase es de 2 a 3. Hay 12 chicos ¿cuántas chicas hay?

• A. 15 chicas

• B. 18 chicas

• C. 21 chicas

Multiple Choice

Hemos comprado 3 kg de manzanas y nos han cobrado $ 3,45 . ¿Cuánto nos cobrarían por 5 kg?

• A. $ 5.75

• B. $ 4.60

• C. $ 6.90

Multiple Choice

Marta ha cobrado por repartir propaganda durante cinco días $ 126 . ¿Cuántos días

deberá trabajar para cobrar $ 340.2 ?

• A. 12 días

• B. 16 días

• C. 14 días

Multiple Choice

Daniel es dueño 2 gatos, 3 perros y un lagarto como mascotas. ¿Cuál es la razón entre el número de gatos y el número total de mascotas que tiene Daniel?

• 1/6

• 1/3

• 2/5

• 1/2

• 2/3

Proporcionalidad directa

En matemáticas, la proporcionalidad directa es un concepto fundamental que describe la relación entre dos cantidades, de tal manera que si una de ellas aumenta, la otra también lo hace en la misma proporción. Esta relación cuantitativa se expresa mediante una ecuación:

Donde y es la variable dependiente, x la variable independiente y k es la constante de proporcionalidad

​La proporcionalidad directa es inherente a numerosos fenómenos físicos y matemáticos, y su comprensión es esencial en campos como la física, la economía y la ingeniería.

Proporcionalidad inversa

La proporcionalidad inversa es un tipo de relación entre dos cantidades, donde una disminuye en proporción a medida que la otra aumenta. Esta relación se expresa matemáticamente como:

Donde y es la variable dependiente, x la variable independiente y k es la constante de proporcionalidad

Por ejemplo, en la ley de gravitación universal de Newton, la fuerza de atracción entre dos masas es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia entre ellas.