materi bil.pecahan

MATEMATIKA
BILANGAN RASIONAL

1.1 Pecahan dan Lambangnya

 Arti Nilai Pecahan

Tuti mempunyai 16 apel. Berapa banyak apel yang harus diberikan kepada adiknya jika Tuti ingin
memberikan

3
6bagian?

Jawab:
Sesuai dengan arti pecahan, kita harus membagi apel sebanyak penyebut, yaitu membagi 16 apel
menjadi 16 bagian. Dengan demikian, 1 bagian adalah 1 apel. Selanjutnya kita memilih 3 bagian,
atau 3 apel.

Jadi,

3

8bagian dari 16 apel
adalah 3 apel.

Contoh

 Pecahan Senilai

1. Pembilang dan penyebut dalam suatu pecahan dalam bentuk

𝑎
𝑏dapat dikalikan dengan

bilangan bulat p yang sama dan tidak nol.

𝑎
𝑏= 𝑎 . 𝑝

𝑏 . 𝑝

𝑎
𝑏= 𝑎 ∶ 𝑝

𝑏 ∶ 𝑝

2. Pembilang dan penyebut suatu pecahan dalam bentuk𝑎

𝑏dapat dibagi dengan bilangan

bulat 𝑞 ≠ 0.

Sederhanakan pecahan

8
27.

Jawab :
Untuk menyederhanakan pecahan ini, kita membagi pembilang dan
penyebut dengan bilangan yang sama.

Contoh

8
72=

8 ∶ 2
72 ∶ 2=

4
36

=

4 ∶ 2
36 ∶ 2=

2
18

=2 ∶ 2

18 ∶ 2

=1

9

Pilihlah pecahan yang nilainya lebih besar dari

2

3dan

5

6.

Jawab:
Samakan penyebut kedua pecahan, yaitu:

Membandingkan Dua Bilangan Pecahan

Karena 5 > 4, maka

5

6>

4

6atau

5

6>

2

3

Contoh

2
3 = 2 × 2

3 × 2 = 4

6

Bilangan pecahan yang nilainya antara nol dan satu, yaitu pecahan dengan pembilangnya
merupakan bilangan cacah yang lebih kecil dari penyebutnya. Sebagai contoh, pecahan5

3

dapat ditulis sebagai 1 +

2

3. Bilangan terakhir ini kita menuliskan sebagai 1

2

3.

Tuliskan dalam bentuk pecahan campuran34

5.

Jawab:
Jika 34 dibagi 5 akan memberikan hasil bagi 6 dan sisa 4 sehingga

 Pecahan Campuran

Contoh

34
5= 6 4

5

Hitunglah penjumlahan pecahan berikut.
a.

2
3+

1
3
b.

5
6+

7
11

Jawab:

a.

2

3+

1

3=

2 + 1

3

=

3

3= 1

b.

5

6+

7

11=

5 × 11

6 × 11+

7

11

=

55

66+

42

66

=

55 + 42

66
=

97

66

1.2 Operasi Hitung pada Pecahan

KPK dari 6 dan

11 adalah 66

 Penjumlahan Pecahan

Contoh

 Pengurangan Pecahan

Hitunglah operasi pecahan berikut.

a. 5

7− 3

7

b. 3

7− 2

5

Jawab:

a. 5

7− 3

7= 5 − 3

7
=2

7

b. 3

7− 2

5= 3 × 5

7 × 5− 2 × 7

5 × 7

= 15

35− 14

35

= 15 − 14

35

= 1

35

KPK dari 5 dan 7

adalah 35

Contoh

 Operasi Perkalian

Pembilang dan Penyebut hasil kali dua pecahan masing-masing diperoleh
dari perkalian kedua bilangan pembilang dan penyebut.

Dengan menggunakan gambar, hitunglah:
a. 1

3× 1

4
b. 3

4× 2

3

Jawab:
a.

1

3×

1

4=

1 × 1

3 × 4=

1

12

b.

3

4×

2

3=

3 × 2

4 × 3=

6

12=

1

2

Contoh

 Operasi Pembagian

Operasi pembagian merupakan lawan perkalian hasil𝑎

𝑏∶ 𝑐

𝑑= 𝑝 artinya 𝑎

𝑏= 𝑝 × 𝑐

𝑑.

dengan mengalikan𝑑

𝑐pada kedua ruas diperoleh

𝑎
𝑏: 𝑐

𝑑= 𝑎

𝑏× 𝑑

𝑐

𝑎
𝑏× 𝑑

𝑐= 𝑝 × 𝑐

𝑑× 𝑑

𝑐= 𝑝

dengan demikian didapat

Bilangan pecahan negatif adalah lawan dari bilangan pecahan positif yang bersesuaian.

1.3 Bilangan Pecahan Negatif

−𝑎

𝑏

𝑎
𝑏
0

𝑎
𝑏+ − 𝑎

𝑏= 0

1. Bilangan pecahan negatif terjadi akibat

2. Bilangan pecahan positif dapat terjadi akibat

a. Bilangan bulat negatif dibagi dengan bilangan bulat positif, −27

3= − 27

3.

b. Bilangan bulat positif dibagi dengan bilangan bulat negatif,

27

−3= −

27

3.

a. Bilangan bulat positif dibagi dengan bilangan bulat positif,

27

3.

b. Bilangan bulat negatif dibagi dengan bilangan bulat negatif ,

−27

−3=

27

3.

Hitunglah hasil dari

4

3+ (−

2

3)

Jawab:
Seperti kita ketahui, bahwa 𝑎 + −𝑏 = 𝑎 − 𝑏, maka

3

4+ −

2

3=

3

4−

2

3

=

3 × 3

4 × 3−

2 × 4

3 × 4(samakan penyebut)

=

9

12−

8

12=

1

12

 Sifat Asosiatif

Penjumlahan dan perkalian pecahan memenuhi sifat asosiatif, yaitu

𝑎
𝑏+

𝑐
𝑑+

𝑒
𝑓=

𝑎
𝑏+

𝑐
𝑑+

𝑒
𝑓
→

𝑎
𝑏×

𝑐
𝑑×

𝑒
𝑓=

𝑎
𝑏

𝑐
𝑑×

𝑒
𝑓

Contoh

1.4 Sifat Operasi dan Urutan Operasi

 Sifat Komutatif
Penjumlahan dan perkalian pecahan yang memenuhi sifat komutatif, yaitu

 Unsur Identitas
1. Operasi penjumlahan pada bilangan pecahan mempunyai unsur identitas, yaitu 0

𝑎
𝑏 + 𝑐

𝑑 = 𝑐

𝑑 + 𝑎

𝑏

𝑎
𝑏 × 𝑐

𝑑 = 𝑐

𝑑 × 𝑎

𝑏

𝑎
𝑏 + 0 = 𝑎

𝑏

𝑎
𝑏 × 1 = 𝑎

𝑏

2. Operasi perkalian pada bilangan pecahan mempunyai unsur identitas, yaitu 1

 Elemen Invers
1. Terhadap Penjumlahan

Jika

𝑐

𝑑pecahan, maka selalu ada pecahan lain p sehingga

𝑐

𝑑+ 𝑑 = 0.

Dalam hal ini 𝑝 = −𝑐

𝑑. Bilangan − 𝑐

𝑑disebut invers terhadap penjumlahan dari 𝑐

𝑑.

Jika

𝑐

𝑑pecahan tidak sama dengan nol, maka selalu ada pecahan q

sehingga

𝑐
𝑑× 𝑞 = 1.

Dalam hal ini 𝑞 =𝑑

𝑐, yaitu kebalikan dari pecahan semula. Bilangan

𝑑
𝑐disebut invers terhadap perkalian dari

𝑐
𝑑.

2. Terhadap Perkalian

 Sifat Distibutif

Jika diketahui

𝑎
𝑏,

𝑐
𝑑,dan

𝑒
𝑓, maka berlaku

dengan menuliskan 𝑥 =

𝑎

𝑏, 𝑦 =

𝑐

𝑑, dan 𝑧 =

𝑒

𝑓, maka sifat distributif ini mempunyai

bentuk

𝑥 × (𝑦 + 𝑧) = 𝑥𝑦 + 𝑥𝑧.

Sesuai dengan sifat distributif bilangan bulat.

𝑥𝑦

𝑥𝑧

𝑥

𝑦

𝑧

𝑎
𝑏 ×
𝑐
𝑑 + 𝑒

𝑓
=𝑎𝑐

𝑏𝑑 + 𝑎𝑒

𝑏𝑓

2
5buah apel yang ada adalah milik saya. Banyak apel keseluruhan ada 20.
Tentukan Banyak apel milik saya.
Jawab:
Banyak apel milik saya ada

2
5× 20 = 8.

Pada persentase atau persen, setiap pecahan ditulis sehingga mempunyai penyebut 100. Bilangan
2
5ditulis sebagai

2 × 20
5 × 20=

40
100.

Untuk menyatakan persentase kita hanya menyebut pembilangnya saja yaitu 40%.

Pecahan digunakan untuk menyatakan

perbandingan banyak benda yang satu dengan yang

lainnya.

Contoh

1.5 Persentase

Hitunglah hasil dari 0,123 + 2,71.
Jawab:

123

1000+

271

100=

123

1000+

2710

1000= 2,833

cara lain, tuliskan seletak dalam satu kolom.

kemudian, jumlahkan seperti layaknya menjumlahkan bilangan bulat.

1.6 Bilangan Desimal

0,123
2,710 +

Letak koma harus sejajar

Jika perlu tambahkan nol

Contoh

Jadi, hasil 0,123 + 2,71 = 2,883

Bilangan desimal dapat dibandingkan berdasarkan arti pecahannya.

Manakah bilangan yang lebih besar antara 0,8 dan 0,6.
Jawab:
Jika ditulis sebagai pecahan maka masing-masing desimal menjadi

8
10dan

6
10, maka

6
10>

8
10.

dengan demikian, 0,8 > 0,6.

 Urutan pada Desimal

Contoh

Penulisan bentuk baku dari 1000
Jawab:
Ketahui bahwa 1000 = 10 × 10 × 10 = 10 × 10³.

Penulisan yang tepat untuk 1 adalah 10⁰. Penulisan yang tepat untuk1

10dan 1

100masing-masing

adalah 10−1dan 10−2, yaitu sesuai dengan banyak angka nol.

Bentuk baku adalah penulisan bilangan dalam bentuk

𝑎 × 10𝑛dengan 𝑎 memenuhi 1 ≤ a < 10 dan n bilangan asli.

1.7 Bentuk Baku

Bentuk baku bilangan kecil adalah penulisan bilangan menjadi

𝑎 × 10−𝑛dengan 1 ≤ 𝑎 < 10 dan 𝑛 bilangan asli.

Contoh