Logikai műveletek

LOGIKA

​Állítás (kijelentés): egyértelműen eldönthető róla, hogy igaz vagy hamis

​
Állítás logikai értéke: igaz / hamis
Egy állítás vagy igaz, vagy hamis, harmadik lehetőség nincs.

Állítások jelölése: nagybetűkkel, pl. A

Állítások

Multiple Select

Az alábbiak közül melyek állítások?

• Budapest Németország fővárosa.

• Arany János írt balladákat.

• Milyen nap van ma?

• A 2 racionális szám.

• Bea csinos.

Multiple Select

Melyik állítás igaz?

• A kutya emlős.

• Az 1 prímszám.

• A téglalap egy négyszög.

• Nincs középpontosan szimmetrikus háromszög.

​Minden autó piros. = Nincs olyan autó, amelyik nem piros.

Minden, van olyan, nincs olyan

Van olyan autó, ami piros. = Van piros autó. = Nem minden autó piros.

Nincs piros autó. = Egyetlen autó sem piros.

​Az A állítás tagadása: ¬A (nem A)

Állítás és tagadása

Igazságtáblázat:

Az autó piros.
tagadása: Az autó nem piros.

Minden autó piros.
tagadása: Nem minden autó piros. Van olyan autó, ami nem piros.

Van olyan autó, ami piros.
tagadása: Nincs olyan autó, ami piros. Egyetlen autó sem piros.

Egyetlen autó sem piros.
tagadása: Van olyan autó, ami piros.

Multiple Select

"Minden háztartásban van televízió." Az állítás tagadása:

• Semelyik háztartásban nincs televízió.

• Van olyan háztartás, ahol van televízió.

• Van olyan háztartás, ahol nincs televízió.

• Nem minden háztartásban van televízió.

Multiple Select

"A városban minden kéményseprő seprűje fekete." Az állítás tagadása:

• A városban minden kéményseprő seprűje fehér.

• A városban nincs fekete seprűjű kéményseprő.

• Van olyan kéményseprő a városban, akinek a seprűje nem fekete.

• A városban nem minden kéményseprő seprűje fekete.

- idegen eredetű szóval: konjunkció
- kijelentések összekapcsolása (A és B)
- az "A és B" jelölése: A ∧ B

"ÉS"-művelet

Igazságtáblázat:

Multiple Select

Melyik állítás igaz?

• A 2 páros szám és a 3 prímszám.

• A 2 páros szám és a 3 nem prímszám.

• A 2 páratlan szám és a 3 prímszám.

• A 2 páratlan szám és a 3 nem prímszám.

- idegen eredetű szóval: diszjunkció
- kijelentések összekapcsolása (A vagy B)
- az "A vagy B" jelölése: A ∨ B

"VAGY"-művelet

Igazságtáblázat:

megengedő "vagy"

Multiple Select

Melyik állítás igaz?

• A 2 páros szám vagy a 3 prímszám.

• A 2 páros szám vagy a 3 nem prímszám.

• A 2 páratlan szám vagy a 3 prímszám.

• A 2 páratlan szám vagy a 3 nem prímszám.

- kijelentések összekapcsolása (vagy A vagy B)
- a "vagy A vagy B" jelölése: A ⊕ B

"VAGY... VAGY"-művelet

Igazságtáblázat:

kizáró "vagy"

Multiple Select

Melyik állítás igaz?

• Vagy a 2 páros szám vagy a 3 prímszám.

• Vagy a 2 páros szám vagy a 3 nem prímszám.

• Vagy a 2 páratlan szám vagy a 3 prímszám.

• Vagy a 2 páratlan szám vagy a 3 nem prímszám.

- idegen eredetű szóval: implikáció
- kijelentések összekapcsolása (ha A akkor B)
- a "ha A akkor B" jelölése: A → B
- jelentése: az A állításnak következménye a B állítás
- akkor hamis, ha az A állítás igaz és a B hamis (ha az A állításból nem következik a B állítás)

"HA ... AKKOR "-művelet

Multiple Select

Melyik állítás igaz?

• Ha egy szám osztható 4-gyel, akkor osztható 2-vel.

• Ha egy szám osztható 2-vel, akkor osztható 4-gyel.

- az A → B megfordítása: B → A

"HA ... AKKOR " megfordítása

pl. Ha egy szám osztható 6-tal, akkor osztható 3-mal is. → igaz
Ha egy szám osztható 3-mal, akkor osztható 6-tal is. → hamis

pl. Ha egy szám páros, akkor osztható 2-vel. → igaz
Ha egy szám osztható 2-vel, akkor páros. → igaz

pl. Ha egy szám páratlan, akkor prímszám. → hamis
Ha egy szám prímszám, akkor páratlan. → hamis

Multiple Select

"A paralelogramma átlói felezik egymást." Az állítás megfordítása:

• Ha egy négyszög paralelogramma, akkor átlói felezik egymást.

• Ha egy négyszög átlói felezik egymást, akkor paralelogramma.

• Ha a paralelogramma átlói felezik egymást, akkor négyszög.

- idegen eredetű szóval: ekvivalencia
- kijelentések összekapcsolása
- akkor alkalmazzuk, amikor A → B és B → A
- jelölése: A ↔ B

"AKKOR ÉS CSAK AKKOR"-művelet

- pl. Ha egy szám páros, akkor osztható 2-vel. → igaz
Megfordítása: Ha egy szám osztható 2-vel, akkor páros. → igaz

Tehát: Egy szám akkor és csak akkor páros, ha osztható 2-vel.

1. feladat:

P: Az 5 páros szám.
Q: A 9 négyzetszám.

¬P:
P ∨ Q:
P ∧ Q:
P ⊕ Q:
P ∧ ¬Q:

1. feladat megoldása:

P: Az 5 páros szám. - hamis
Q: A 9 négyzetszám. - igaz

¬P: Az 5 nem páros szám. - igaz
P ∨ Q: Az 5 páros szám vagy a 9 négyzetszám. - igaz
P ∧ Q: Az 5 páros szám és a 9 négyzetszám. - hamis
P ⊕ Q: Vagy az 5 páros szám vagy a 9 négyzetszám. - igaz
P ∧ ¬Q: Az 5 páros szám és a 9 nem négyzetszám. - hamis

2. feladat:

A téglalap minden szöge derékszög.

- logikai érték:
- tagadás és logikai értéke:
- megfordítás és logikai értéke:

2. feladat megoldása:

A téglalap minden szöge derékszög.

- logikai érték: igaz
- tagadás és logikai értéke: hamis
A téglalap nem minden szöge derékszög.
A téglalapnak van olyan szöge, ami nem derékszög.
- megfordítás és logikai értéke:
Ha egy négyszög minden szöge derékszög, akkor téglalap. - igaz