TRANSFORMASI

Transpormasi Geometri

by Jajang Permana Jaya

Transpormasi Geometri

by Jajang Permana Jaya

​

​

​ATransformasi Geometri

​

​

​

​

​

​

by siti zulfah

Bab 1 Transformasi Fungsi

11

Fungsi kuadrat y = x2 + 1 yang ditunjukkan pada Gambar 1.6 merupakan
fungsi kuadrat asal yang kemudian mengalami pergeseran (translasi)
menjadi y = x2 – 2. Jika memperhatikan fungsi kuadrat asal, maka pergeseran
yang terjadi sejauh 3 satuan ke bawah. Secara matematis kita peroleh:

y’ = x2 – 2

y’= x2 + 1 – 3

y’ =x2 + 1 – 3

y’ = y– 3

Kedua fungsi kuadrat memiliki absis (x = x) sama, tetapi memiliki ordinat
y berbeda (y’ = y– 3) sehingga fungsi y’ = x2 – 2 adalah hasil translasi dari

y = x2 + 1 oleh
0
3−
eo. Berdasarkan keterangan Gambar 1.5 dan Gambar 1.6,

secara umum dapat dituliskan:

Grafik y = f(x) + b adalah hasil translasi dari y = f(x) oleh b
0e o

Pada translasi y = f(x) + b, berlaku:
untuk b > 0, maka grafik bergeser ke atas
untuk b < 0, maka grafik bergeser ke bawah
sehingga translasi y = f(x) + b disebut sebagai bentuk Translasi
Vertikal.

Definisi

1.1

Andi melakukan percobaan mengamati bakteri selama beberapa
waktu, yang hasil percobaannya dimodelkan dalam grafik y = 2x.
Setelah mengalami perlakuan, hasil bakteri yang diamati berubah
dan membentuk model grafik y = 2x + 1. Berdasarkan gambar kedua
grafik tersebut, apakah grafik mengalami pergeseran ke atas atau ke
bawah dari grafik fungsi y = 2x?

Ayo Berpikir Kritis

Matematika untuk SMA/SMK/MA Kelas XII

12

Contoh Soal

1.1

Suatu penawaran masker yang makin meningkat dengan harga tinggi
pada masa pandemi Covid-19 dimodelkan dalam bentuk persamaan linear
8x – 4y + 16 = 0. Setelah 8 hari, model grafik tersebut mengalami perubahan

dengan perubahan oleh translasi 0
8
e o. Tentukan hasil bayangan dan grafiknya

(harga masker = x, dan penawaran masker = y)!

Alternatif penyelesaian:
Diketahui:
Cara 1
8x – 4y + 16 = 0, maka 4y = 8x + 16

y = 2x + 8

y = 2(x + 4)

y' = 2x + 8 + 8 (mengalami perubahan berdasarkan
definisi 1.1)

y' = 2x + 16

y' = 2(x + 8)
Sehingga translasinya adalah 2x – y + 16 = 0

Cara 2

10

20

x

y

15

15

10

10

5

5

0

y = 2(x + 8)

y = 2(x + 4)

Contoh Soal 1.2

Tentukan translasi dari garis k dengan persamaan y = x2 – 2x – 8 oleh 0
4
e o.

Bab 1 Transformasi Fungsi

13

Alternatif penyelesaian:
Diketahui:
y = x2 – 2x –8

menggunakany = f(x) + b
y = (x2 – 2x – 8) + 4
y = x2 – 2x – 4
Sehingga translasinya adalah y = x2 – 2x – 4

2. Translasi Horizontal

Ayo Bereksplorasi

Parabola merek terbaru akan dipasang di sebuah atap yang datar dengan
acuan tiang penyangga parabola berada pada titik tengah atap. Parabola
tersebut dimodelkan dalam bentuk fungsi kuadrat f(x) = x2. Jika fungsi f(x)
berubah menjadi

• y = f(x) + 4

• y = f(x + 2)

Maka ilustrasi fungsi di atas dapat dinyatakan dalam gambar 1.7

y

x

10

10

5

5

�5

�5

�10

�10

y = x + 4

y = x2

2

y = (x + 2)2

Gambar 1.7 Translasi Fungsi Kuadrat y = x2

Matematika untuk SMA/SMK/MA Kelas XII

14

Perhatikan grafik pada Gambar 1.7. Jika (x, y) adalah titik puncak pada
grafik berwarna biru (y = x2), bagaimana kondisi titik puncak tersebut pada
grafik lain terhadap grafik berwarna biru?

a. Translasi horizontal ke kanan

Terdapat fungsi kuadrat y = x2 + 2. Jika fungsi tersebut digeser ke kanan
sejauh 2 satuan, maka grafiknya menjadi seperti di bawah ini.

y

x

10

�2

2

2

4

4

6

6

�4

y = (x��2) + 22

y = x + 22

Gambar 1.8 Translasi Grafik Fungsi y = x2 + 2 Sejauh 2 Satuan

Hasil pergeseran dari fungsi y = x2 + 2 adalah y = (x – 2)2 + 2 yang
mengalami pergeseran sejauh 2 satuan ke kanan. Jika menganalisis kedua
fungsi kuadrat tersebut, maka kita ketahui bahwa kedua fungsi memiliki
absis x = x– 2 dan ordinat y = y. Maksudnya, pergeseran tersebut terjadi
ketika ordinat dari kedua grafik sama, sedangkan absis berbeda sehingga
perbedaan x pada kedua grafik yaitu x – 2 akan mengalami pergeseran
ke kanan. Dengan demikian, dapat dinyatakan bahwa y = (x – 2)2 + 2

merupakan hasil ditranslasi dari y = x2 + 2 oleh 2
0
e o.

Bab 1 Transformasi Fungsi

15

b. Translasi horizontal ke kiri

Fungsi eksponen y = 2xyang digambarkan pada Gambar 1.9 di bawah ini

mengalami pergeseran sejauh 4 satuan ke arah kiri.

y

x

10

10

5

5

�5

�5

�10

�10

y = 2x
y = 2x + 5

Gambar 1.9 Translasi Grafik Fungsi y = 2x Sejauh 5 Satuan

Gambar di atas menunjukkan bahwa hasil translasi sejauh 5 satuan
ke kiri dari garis y = 2xadalah y = 2x + 5. Artinya, kedua fungsi tersebut
memiliki kesamaan koordinat y (y = y) dan koordinat x berbeda
(x = x+ 5) sehingga perbedaan x pada kedua grafik yaitu x + 5 akan
mengalami pergeseran ke kiri. Dengan demikian, dapat dinyatakan

bahwa y = 2x + 5 merupakan hasil translasi dari y = 2x oleh
5
0

−eo. Secara
umum dapat dituliskan:

Matematika untuk SMA/SMK/MA Kelas XII

16

Grafik y = f(x – a) adalah hasil translasi dari y = f(x) oleh a
0
e o

Pada translasi y = f(x – a), berlaku:
untuk a > 0, maka grafik bergeser ke kanan
untuk a < 0, maka grafik bergeser ke kiri
sehingga translasi y = f(x – a) disebut sebagai bentuk Translasi
Horizontal.

Definisi 1.2

Contoh Soal 1.3

Diketahui fungsi linear f(x) = 2x + 3y + 4. Jika f(x) mengalami pergeseran ke
bawah sejauh 4 satuan, maka tentukan hasil translasi f(x).

Alternatif penyelesaian:
Diketahui:
f(x) = 2x + 3y + 4
y = 2x + 3y + 4
y – 3y = 2x + 4
–2y = 2x + 4
y = – x –2
Karena bergeser 4 satuan ke bawah maka y = f(x) + b untuk b < 0, hal ini berarti
y = –x – 2 – 4
y = –x – 6
Jadi, hasil translasinya adalah y = –x – 6

Contoh Soal 1.4

Grafik dari y = x2 + 3x digeser sejauh 6 satuan ke kanan. Tentukan hasil
translasinya dan gambarlah grafiknya.

Alternatif penyelesaian:
Diketahui:
y =x2 + 3x
y = (x – 6)2 + 3(x – 6)
y = x2 – 12x + 36 + 3x – 18
y = x2 – 9x + 18

karena di geser sejauh 6 satuan
ke kanan,
maka x' = x – 6

Bab 1 Transformasi Fungsi

17

Gambar grafik

y

x

10

10

5

5

�5

�5

�10

�10

y = (x��6) + 3(x��6)
2

y = x + 3x2

Translasi dari fungsi f(x) = (x + 1)(x – 3) oleh a
0
e ountuk a = –3 adalah

ke kiri, sedangkan oleh b
0e ountuk b = 2 adalah ke atas. Tentukan nilai

a dan b yang lain jika f(x) = (x + 1)(x – 3) ditranslasi masing-masing
ke bawah, ke kanan, ke atas, dan ke kiri.

Ayo Berpikir Kreatif

Pak Ahmad menentukan hasil translasi dari fungsi eksponen
y = 2x ke kanan sejauh 2 satuan menjadi y = 2x – 2 sehingga Pak
Ahmad menyimpulkan bahwa definisi 1.2 pasti berlaku pada setiap
fungsi eksponen seperti y = 2x. Setujukah kalian dengan kesimpulan
Pak Ahmad?

Ayo Berpikir Kritis

Matematika untuk SMA/SMK/MA Kelas XII

18

Jika suatu fungsi y = x – 2 + x2

6
− adalah hasil translasi dari fungsi

y = x + x
6 tentukan matriks transformasinya (gunakan gambar supaya

lebih paham).

Diskusikan dengan temanmu dan sampaikan hasilnya kepada teman
lain.

Ayo Berkomunikasi

Latihan 1.1

1. Tentukan hasil translasi dari fungsi berikut.

a. y = 2x2 yang ditranslasi oleh 2
4
e o

b. y = 3x2 –2 yang ditranslasi oleh 2
3
e o

c. y = x
2 yang ditranslasi oleh 3
0
e o

2. Tentukan translasi dari transformasi berikut.

a. y = x2 + 3x – 4 menjadi grafik y = x2 + 3x + 4

b. y = 3x+ 4 menjadi grafik y =3x + 2 + 6

3. Diketahui grafik y = f(x)

y

x

10

�2

�2

�4

�6

�8

2

2

4

4

6

8

�4

�10

Bab 1 Transformasi Fungsi

19

Buatlah gambar grafik dari translasi berikut.

a. y = f(x) – 2

b. y = f(x + 3)

c. y = f(x – 1) + 4

4. Tentukan bayangan dari fungsi y = |x| + 2x yang ditranslasi oleh 6
4
e o
dalam beberapa alternatif penyelesaian.

Ayo Berpikir Kritis

5. Hasil translasi dari suatu fungsi y2 = x yang mengalami pergeseran 2
satuan ke kanan ke arah sumbu x positif menjadi y2 =x – 2. Berdasarkan
definisi 1.1 dan definisi 1.2, berikan penjelasan kalian.

B. Refleksi

Ayo Bereksplorasi

Choirul adalah seorang penjual mangkuk yang akan mempromosikan
barang jualannya. Dia meletakkan mangkuk tersebut untuk difoto di atas
meja seperti gambar berikut.

Gambar 1.10 Mangkuk

Matematika untuk SMA/SMK/MA Kelas XII

20

Choirul melihat bahwa terdapat bayangan mangkuk yang dicerminkan
oleh meja yang terbuat dari kaca, kemudian dia mengangkat dan
menggeser mangkuk tersebut dan bayangannya ikut berpindah. Secara
matematis, lengkungan pada mangkuk tersebut menyerupai grafik fungsi
kuadrat. Jika digambarkan pada koordinat kartesius, maka akan tampak
seperti gambar berikut.

y

x

2

�2
1

�1

2

�2

34567

4

�4

6

8

�8

�6

10

�10

y = ��(x��4x + 4)
2

y = x��4x + 42

Gambar 1.11 Refleksi Grafik Fungsi y = x2 – 4x + 4 terhadap Sumbu x

Berdasarkan Gambar 1.11 di atas, yang menjadi visualisasi mangkuk
dan bayangannya pada meja dimisalkan sebagai sumbu x. Jika mangkuk
dimisalkan grafik berwarna biru, maka selidikilah salah satu titik yang ada
pada grafik biru, kemudian bandingkan titik pada grafik merah yang memiliki
jarak sama dengan titik pada grafik biru. Apa yang kalian temukan?

Ayo Mengingat Kembali

Pada materi transformasi geometri kita mengenal pencerminan (refleksi) yaitu:

• jika titik A(x, y) dicerminkan terhadap sumbu x, maka akan menghasilkan
bayangan A'(x, –y);

• jika titik A(x, y) dicerminkan terhadap sumbu y, maka akan menghasilkan
bayangan A'(–x, y).

Bab 1 Transformasi Fungsi

21

1. Refleksi Vertikal

Perhatikan Gambar 1.8. Grafik fungsi kuadrat yang ditunjukkan adalah
y = x2 – 4x + 4 dan y = –(x2 – 4x + 4). Kedua fungsi kuadrat tersebut memiliki
kesamaan koordinat x (x = x), dan perbedaan koordinat y (y = –y) atau
dapat dikatakan koordinat y lainnya berlawanan (negatif) dari sebelumnya
sehingga grafik biru dan grafik merah memiliki kesamaan jarak vertikal
dari sumbu x, hanya saja berada pada sisi yang berlawanan. Jadi, grafik
y = –(x2 – 4x + 4) adalah hasil refleksi dari grafik y = x2 – 4x + 4 terhadap
sumbu x.

Petunjuk

Secara matematis dirumuskan bahwa setiap titik pada grafik dengan koordinat

(x, y) → (x, –y). Perlu diingat bahwa y = f(x), maka

(x, f(x)) → (x, –f(x)).

Refleksi vertikal (refleksi terhadap sumbu x)

Terdapat dua grafik fungsi eksponen yang saling berlawanan seperti gambar
di bawah ini.

y

x

10

10

5

5

�5

�5

�10

�10

y = 3–x + 2

y = –(3–x + 2)

Gambar 1.12 Refleksi Fungsi Eksponen y = 3–x + 2 terhadap Sumbu x

Matematika untuk SMA/SMK/MA Kelas XII

22

Pada Gambar 1.9 grafik biru dan grafik merah memiliki jarak yang
sama dari sumbu x, tetapi pada sisi yang berlawanan. Fungsi eksponen
y = –(3–x + 2) pada gambar di atas merupakan hasil pencerminan terhadap
sumbu x dari fungsi eksponen y = 3–x + 2 sehingga grafik y = –(3–x + 2)
adalah hasil refleksi dari grafik y = 3–x+ 2 terhadap sumbu x.

Grafik y = –f(x) adalah hasil refleksi dari y = f(x) terhadap sumbu x.

Definisi 1.3

Contoh Soal 1.5

Diketahui f(x) = 2x2 – 5x + 3, tentukan refleksi terhadap sumbu x.

Alternatif penyelesaian:
Diketahui:

y = 2x2 – 5x + 3

Refleksi terhadap sumbu x

Menggunakan aturan: y = f(x) → y = –f(x), maka

y = –f(x)

y = –(2x2 – 5x + 3)

y = –2x2 + 5x – 3

Jadi, hasil refleksinya adalah y = –2x2 + 5x – 3

Contoh Soal 1.6

Diketahui grafik fungsi kuadrat y = f(x) yang memiliki titik minimum di
(5, –7). Tentukan koordinat titik dan apakah titik tersebut minimum atau
maksimum berdasarkan y = –f(x).

Alternatif penyelesaian:

Diketahui:

Titik (5, –7)

y = –f(x) adalah hasil refleksi dari y = f(x).

Jika pada titik (x, y) maka hasil translasinya (x, –y)

(5, –7) → (5, 7), jadi titiknya adalah (5, 7)

sehingga titik (5, 7) merupakan titik maksimal.

Bab 1 Transformasi Fungsi

23

f(x) = (x + 1)(x – 2), gambarlah grafik berdasarkan fungsi berikut

a. –f(x) b. –f(x + 3)

Ayo Mencoba

Petunjuk

1. Buka tautan https://tinyurl.com/AyoMencoba1 untuk mempraktikkan
kegiatan Ayo Mencoba.

2. Ketikkan fungsi yang sesuai berdasarkan soal.

3. Perhatikan gambar yang terbentuk.

4. Gambar dan letakkan hasil gambar pada Buku Tugas.

Ayo Menggunakan Teknologi

Kunjungi

https://tinyurl.com/TransformasiFungsi1 dan atau https://tinyurl.com/
TransformasiFungsi2 untuk lebih memaksimalkan dalam pemahaman terkait
gambar fungsi dan transformasi tersebut.

2. Refleksi Horizontal

Sekarang perhatikan fungsi kuadrat y = x2 + 4x + 4 yang direfleksikan
terhadap sumbu y dan menghasilkan fungsi y = (–x)2 + 4(–x) + 4. Berikut
ditunjukkan gambar grafiknya.

Matematika untuk SMA/SMK/MA Kelas XII

24

y

x

10

10

5

5

0
�5

�5

�10

y = x2 + 4x + 4

y = (–x)2 + 4(–x) + 4

Gambar 1.13 Pencerminan Grafik Fungsi y = x2 + 4x + 4 terhadap Sumbu y

Berdasarkan gambar 1.13 di atas, kita ketahui bahwa terdapat fungsi
y = x2 + 4x + 4 dan y = (–x)2 + 4(–x) + 4 dengan ketinggian kurva sama
(y = y). Selain itu, koordinat x memiliki jarak sama terhadap sumbu y (x = –x).
Maksudnya adalah jika koordinat titik y sama, maka dapat dikatakan
bahwa grafik berwarna merah mengalami perpindahan secara horizontal
yang memiliki jarak sama dengan grafik berwarna biru dari sumbu y tetapi
berada pada sisi yang berlawanan sehingga grafik y = (–x)2 + 4(–x) + 4
merupakan hasil pencerminan dari grafik y = x2 – 4x + 4 terhadap sumbu y.

Grafik y = f(–x) adalah hasil refleksi dari y = f(x) terhadap sumbu y.

Definisi 1.4

Setiap grafik fungsi pasti memuat titik. Jika titik P(–3, 5) dan titik
Q(–2, –8) terletak pada grafik fungsi y = f(x), tentukan titik koordinat
P dan Q setelah grafik tersebut mengalami transformasi berdasarkan:

a. f(-x) b. –f(x) c. f(–x + 1)

d. –f(x) + 5

Diskusikan dengan temanmu dan komunikasikan hasilnya.

Ayo Berkomunikasi

Bab 1 Transformasi Fungsi

25

Contoh Soal

1.7

Tentukan refleksi dari y = 2x2 – 5x + 3 terhadap
a. sumbu x
b. sumbu y

Alternatif penyelesaian:

Diketahui:

y = 2x2 – 5x + 3

• Refleksi terhadap sumbu x

Menggunakan aturan: y = f(x) → y = –f(x), maka

y = –f(x)

y = –(2x2 – 5x + 3)

y = –2x2 + 5x – 3

Jadi, hasil refleksinya adalah y = –2x2 + 5x – 3

• Refleksi terhadap sumbu y

Menggunakan aturan: y = f(x) → y = f(–x), maka

y = f(–x)

y = 2(–x)2 – 5(–x) + 3

y = 2x2 + 5x + 3

Jadi, hasil refleksinya adalah y = 2x2 + 5x + 3

Contoh Soal 1.8

Diketahui grafik fungsi kuadrat y = f(x) yang memiliki titik minimum di
(5, –7). Tentukan koordinat titik dan apakah titik tersebut minimum atau
maksimum berdasarkan grafik berikut.

a. y = –f(x)

b. y = f(–x)

Alternatif penyelesaian:

Diketahui:

Titik (5, –7)

Matematika untuk SMA/SMK/MA Kelas XII

34

b. y = x3 – 1 setelah dilatasi sejajar sumbu y dengan skala 3

c. y = 4x + 6 setelah dilatasi sejajar sumbu y dengan skala 2

1

4. Tunjukkan transformasi yang memetakan fungsi berikut.

a. y = x2 + 2x – 5 menjadi grafik y = 4x2 + 4x – 5

b. y = x2 – 3x + 2 menjadi grafik y = 3x2 –9x + 6

c. y = 2x + 1 menjadi grafik y = 2x +1 + 2

D. Rotasi

Pada Gambar 1.16 di bawah ini ditunjukkan suatu grafik fungsi kuadrat yang
mengalami perputaran ke arah kanan.

y

x

10

10

5

5

�5

�5

�10

�10

B’(�3, 9)

A’(�2, 4)

B(9, 3)

A(4, 2)

y = x2

x = y2

Gambar 1.16 Grafik Fungsi Kuadrat x = y2 dengan Perputaran 90°

Berdasarkan gambar di atas dapat kita perhatikan bahwa grafik berwarna
biru merupakan grafik dari fungsi kuadrat x = y2, dan grafik berwarna merah
adalah grafik fungsi y = x2. Jika titik A(4, 2) dan titik B(9, 3) berada pada
grafik x = y2, kemudian diputar sejauh 90o sehingga titik dan grafiknya
berubah menjadi Aʼ(–2, 4) dan B'(–3, 9) dan grafiknya adalah y = x2. Maka
dapat dituliskan bahwa titik A(4, 2) = (x, y) dirotasikan sejauh 90° menjadi
A'(–2, 4) = (–y, x). Selanjutnya, grafik fungsi x = y2 dirotasikan sejauh 90°
menjadi x = y2. Secara umum dituliskan:

Bab 1 Transformasi Fungsi

35

Jika koordinat titik semula A(x, y) akan dirotasikan dengan besar
sudut α terhadap pusat (0, 0) akan menghasilkan bayangan

'
'
cos

sin
sin

cos

x
y

a

a
a

a

x
y
�
�

f

e

f

p

op

Dengan catatan:
■ Arah rotasi diputar searah jarum jam maka besar sudut rotasinya
negatif (–α).

■ Arah rotasi diputar berlawanan arah jarum jam maka besar sudut
rotasinya positif (α).

Definisi 1.7

Contoh Soal 1.11

Diketahui fungsi eksponen y = 2x + 1. Jika fungsi eksponen tersebut dirotasi
sejauh 90° searah jarum jam, tentukan hasil rotasi dan gambar grafiknya.

Alternatif penyelesaian:

Diketahui:

y = 2x + 1

α = 90°

Karena arah rotasi searah jarum jam, jadi sudut rotasinya negatif.

Menggunakan Definisi 1.7, maka

'
'
cos

sin
sin

cos

x
y
a

a

a

a

x
y
�
�
�
f

e

f

p

op

'
'
cos

sin
sin

cos

x
y
x
y
90

90
90

90

o

o

o

o
�
���
�

�
f

e

f

p

op

'
'
x
y
x
y
0 1
1 0
� �
f

e

f

p

op

sehingga

x' = 0, x + y, y = x'

y' = –x + 0, x = –y'

Matematika untuk SMA/SMK/MA Kelas XII

36

Dengan demikian,

y =2x + 1 . . . substitusi y = x', x = y'

x' = 2–y' + 1

x' = 2–y' + 1, hasil rotasinya adalah x = 2–(y – 1)

y

x

10

10

5

5

�5

�5

�10

�10

(4 , �1)

(1 , 4)

E. Kombinasi Trasnformasi Fungsi

Transformasi fungsi y = f(x) secara menyeluruh dalam penjelasan
sebelumnya dikategorikan menjadi transformasi vertikal dan
transformasi horizontal. Lebih jelasnya dapat dilihat pada tabel
rangkuman di bawah ini.

Ayo Berefleksi

Tabel 1.1 Rangkuman Transformasi Fungsi

Lengkapi bagian yang masih kosong.

Jika fungsi y = f(x) ditransformasikan, maka hasilnya adalah

Transformasi Vertikal

Transformasi Horizontal

Fungsi

Keterangan

Fungsi

Keterangan

y = f(x) + b

Translasi oleh ( )

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

Matematika untuk SMA/SMK/MA Kelas XII

38

1. Kombinasi dua transformasi vertikal

Translasikan f(x) dengan
0
2
e o, kemudian dilatasikan sejajar sumbuy

dengan skala2

1 .

2. Kombinasi satu transformasi vertikal dan satu transformasi horizontal.

Refleksikan f(x) terhadap sumbux, dilanjutkan translasi oleh
2
0

−eo.

3. Kombinasi dua transformasi horizontal

Dilatasikan f(x) sejajar sumbu x dengan skala 2, kemudian dilatasikan

dengan2
0
e o.

Ayo Menggunakan Teknologi

Kunjungi

https://tinyurl.com/AyoMenggunakanTeknologi untuk menggunakan aplikasi
Geogebra dalam mengerjakan kegiatan Ayo Bereksplorasi sebelumnya.

Petunjuk

1. Kunjungi tautan di atas untuk mengerjakan kegiatan Ayo Bereksplorasi
sebelumnya.

2. Kerjakan kegiatan tersebut menggunakan definisi sebelumnya dengan
baik untuk menemukan hasil transformasi yang sesuai.

3. Tuliskan fungsi hasil transformasi yang telah ditemukan pada tautan

https://tinyurl.com/AyoMenggunakanTeknologiuntuk

menentukan
grafik hasil transformasinya.

Setelah menyelesaikan kegiatan Ayo Menggunakan Teknologi, sampaikan
temuanmu dan jelaskan kepada teman yang lain.

Bab 1 Transformasi Fungsi

39

Tahukah Kalian

● Jika dua transformasi vertikal atau dua transformasi horizontal
dikombinasikan, maka urutan pengerjaan yang diterapkan akan
memengaruhi hasil transformasinya.

● Jika satu transformasi vertikal dan satu transformasi horizontal
dikombinasikan, maka urutan pengerjaan yang diterapkan tidak akan
memengaruhi hasil transformasinya.

Ayo Mengerjakan Projek

Perhatikan lengkungan pada jembatan di bawah ini.

Gambar 1.18 Lengkungan Jembatan sebagai Penerapan Fungsi Kuadrat

Jika lengkungan jembatan tersebut kita misalkan suatu fungsi kuadrat
y = –x2, maka tentukan minimal 2 bentuk grafik fungsi tersebut dengan
koordinat yang berbeda, selanjutnya transformasikan gambar grafik
tersebut sesuai dengan aturan berikut.

1. Gambarlah grafik fungsi kuadrat tersebut.

2. Selanjutnya, tentukan hasil translasi oleh
2
4

−eo dari grafik tersebut.

3. Kemudian refleksikan terhadap sumbu horizontal.

4. Dari hasil grafik pada no. 3, lanjutkan dilatasi dengan skala 3 sejajar
sumbu x.

5. Kemudian rotasikan sejauh 90° dengan pusat (0, 0).

Matematika untuk SMA/SMK/MA Kelas XII

40

Tempelkan gambar hasil akhir dari transformasi tersebut beserta prosedurnya
ke dalam lembar projek.

Hasil akhir dari transformasi yang sudah diselesaikan pada kegiatan
Ayo Mengerjakan Projek selanjutnya diskusikan dengan temanmu
terkait hasil temuanmu, kemudian presentasikan temuan kalian
kepada teman yang lain.

Ayo Berkomunikasi

Contoh Soal 1.12

Diberikan fungsi kuadrat y = x2. Tentukan hasil akhir translasi setelah
diterapkan kombinasi transformasi berikut:

1. dilatasi yang sejajar sumbu y dengan skala 3, dilanjutkan translasi oleh 1
0
e o

2. translasi oleh 0
2
e o, kemudian refleksi terhadap sumbu y.

Alternatif penyelesaian:

Diketahui:

y = x2

1. Dilatasi sejajar sumbu y dengan skala 3

y

x

�2

�2

2

2

4

4

�4

�4

y = x2

Matematika untuk SMA/SMK/MA Kelas XII

42

Refleksi terhadap sumbu y

y

x
�5

�2

�4

�6

�8

5

2

4

y = –(x2 + 2)

Jadi, hasil transformasinya adalah y = –(x2 + 2).

Latihan 1.4

1. Diketahui f(x) = x2 + 1, tentukan hasil transformasi dari y = f(x)
berdasarkan kombinasi transformasi berikut.

a. Translasi oleh
0
4−
eo, kemudian dilatasi sejajar sumbu y dengan skala 3

b. Translasi oleh 3
0
e o, kemudian refleksi terhadap sumbu x

2. Tentukan urutan transformasi yang memetakan

a. grafik y = x3 menjadi grafik y = 2

1 (x + 5)3

b. grafik y = x3 menjadi grafik y = – 2

1 (x + 1)3 – 2

3. Diketahui f(x) = x , tentukan hasil transformasi dari y = f(x) berdasarkan
kombinasi transformasi berikut.

a. Refleksi terhadap sumbu x, dilanjutkan translasi oleh
0
3
e o,

kemudian translasi oleh 2
0
e o, dilanjutkan dilatasi sejajar sumbu x
dengan skala 2

Bab 1 Transformasi Fungsi

43

b. Translasi oleh
0
2
e o, dilanjutkan dilatasi sejajar sumbu x dengan

skala 2, kemudian refleksi terhadap sumbu x, dilanjutkan translasi

oleh 1
0
e o

4. Seekor sapi terinfeksi virus yang sangat mematikan. Setelah diperiksa oleh
dokter hewan terdapat 500 virus. Untuk menyelamatkan sapi tersebut,
dokter hewan menyuntikkan obat supaya virus tersebut berkurang
dan mati. Hasil pemeriksaan setelah diberikan obat dimodelkan dalam
bentuk grafik fungsi eksponen f(x) = 2(–x) yang ditunjukkan pada gambar
berikut.

y (Pertumbuhan Virus)

(Banyak Obat)x

2

2

1

0

1

�1

�1

�2

�2

Jika dokter hewan memberikan beberapa tipe obat untuk menghilangkan
virus, maka model matematika dalam pemberian obat ditunjukkan oleh
beberapa gambar berikut.

Matematika untuk SMA/SMK/MA Kelas XII

44

a. Pemberian obat tipe A oleh dokter hewan menghasilkan perubahan
pada pertumbuhan virus seperti gambar di bawah ini. Tentukan
fungsinya?

y

x

2

2

1

0

1

�1

�2

b. Pemberian obat tipe B oleh dokter hewan menghasilkan perubahan
pada pertumbuhan virus seperti gambar di bawah ini. Tentukan
fungsinya?

y

x

2

2

1

0

1

�1

�2

c. Pemberian obat tipe C oleh dokter hewan menghasilkan perubahan
pada pertumbuhan virus seperti gambar di bawah ini. Tentukan
fungsinya?

y

x

2

2

1

0

1

�1

�2

Bab 1 Transformasi Fungsi

45

5. Doni akan membuat cetakan kue. Cetakan kue tersebut mula-mula
digambar oleh Doni pada koordinat kartesius supaya bentuknya simetris
dan beraturan. Berikut gambar yang direncanakan oleh Doni.

Gambar a

Gambar b

Gambar a merupakan sketsa gambar cetakan kue yang terbentuk dari
dua buah grafik yang saling berpotongan. Jika grafik yang berwarna
biru merupakan fungsi semula y = –(x2 – 3) + |3x + 1|, apa yang kalian
lakukan terhadap grafik tersebut supaya membentuk cetakan kue seperti
gambar di atas?

Ayo Berpikir Kreatif

Berdasarkan Gambar a di atas, jika kedua fungsi tersebut disatukan (menjadi
suatu bangun), jelaskan transformasi yang sesuai jika gambar grafik fungsi
tersebut menjadi seperti gambar berikut.

a.

b.

Matematika untuk SMA/SMK/MA Kelas XII

46

Uji Kompetensi 1

1. Jika titik puncak suatu parabola y = g(x) adalah (2, –4), tentukan titik
puncak yang lain pada parabola berdasarkan fungsi berikut.

a. y = g(x – 3)

b. y = g(x) – 4

c. y = –g(x)

d. y = g(3x)

e. y = 3g(x)

2. Diberikan g(x) = 3x, sketsalah setiap kurva berikut ini.

a. g(x – 1) – 4

b. g( 2

1 x + 2) + 3

c. 3

1 g(–x) + 4

d. 3g(x) – 1

3. Diketahui fungsi f(x)= –x2, x ∈ R dan g(x) = x2 + 2x + 8, x ∈ R

a. Tentukan g(x) dalam bentuk (x + a)2 + b, di mana a dan b adalah konstanta.

b. Jelaskan dua transformasi dengan urutan sesuai yang digunakan dalam
transformasinya sehingga g(x) adalah hasil transformasi dari f(x).

4. Diketahui f(x) = 2x + 1 – 4. Tentukan g(x) sebagai hasil dari f(x) setelah
mengalami transformasi berikut:

a. translasi oleh 0
2
e o, dilanjutkan dilatasi vertikal dengan skala 3,

b. translasi oleh 0
6
e o, dilanjutkan dilatasi vertikal dengan skala 2

1 ,

c. refleksi terhadap sumbu horizontal, kemudian ditranslasi oleh
0
1−
eo,

d. refleksi terhadap sumbu horizontal, dilanjutkan dilatasi vertikal

dengan skala 2

1 , kemudian ditranslasi oleh 0
3
e o,

e. refleksi terhadap sumbu horizontal, kemudian ditranslasi oleh
0
6−
eo
selanjutnya dilatasi vertikal dengan skala 2

3 .

Bab 1 Transformasi Fungsi

47

5. Fungsi f(x) = ax + b ditransformasikan dengan translasi oleh
1
2
e o,

kemudian direfleksi terhadap sumbu y, dilanjutkan dilatasi horizontal
dengan skala 3

1 . Jika hasil transformasinya adalah g(x) = 4 – 15x,
tentukan nilai a dan b.

6. Fungsi f(x) = ax2 + bx + c ditransformasikan melalui:

■ refleksi terhadap sumbu x,

■ translasi oleh
1
3

−eo,

■ dilatasi horizontal dengan skala 2.

Jika hasil transformasinya adalah g(x) = 4x2 + ax – 6, tentukan nilai a, b,
dan c.

Matematika murni, dengan caranya merupakan puisi
dari ide-ide logis.

Albert Einstein

Matematika untuk SMA/SMK/MA Kelas XII

48

Transformasi Fungsi

Bab

1

KEMENTERIAN PENDIDIKAN, KEBUDAYAAN, RISET, DAN TEKNOLOGI
REPUBLIK INDONESIA, 2022

Matematika untuk SMA/SMK/MA Kelas XII

Penulis: Mohammad Tohir, dkk.

ISBN: 978-602-244-738-2

Tujuan Pembelajaran

1. Memahami transformasi pada suatu fungsi linear, fungsi kuadrat, dan
fungsi eksponen
2. Menentukan transformasi translasi pada suatu fungsi
3. Menentukan transformasi refleksi pada suatu fungsi
4. Menentukan transformasi dilatasi pada suatu fungsi
5. Menentukan transformasi rotasi pada suatu fungsi
6. Menentukan kombinasi transformasi pada suatu fungsi

Matematika untuk SMA/SMK/MA Kelas XII

4

Kata Kunci

Pertanyaan Pemantik

Transformasi fungsi
linear, transformasi
fungsi kuadrat,
transformasi fungsi
eksponensial, translasi,
refleksi, dilatasi, rotasi

1. Bagaimana hasil bayangan translasi dari
suatu fungsi?
2. Apakah refleksi dari suatu fungsi terhadap
salah satu sumbu memiliki jarak yang sama?
3. Mengapa hasil rotasi dari suatu fungsi yang
diputar searah jarum jam memiliki sudut
bernilai negatif?
4. Apa yang terjadi jika semua transformasi
dikombinasikan?

Peta Konsep

Transformasi
Fungsi

Rotasi

Refleksi

Dilatasi

Dilatasi

Kombinasi
Transformasi

Refleksi

Translasi

Translasi

Bereskplorasi
Berpikir Kritis

Berpikir Kritis
Berpikir Kreatif
Penguatan Karakter

Berpikir Kritis
Berpikir Kreatif
Berkomunikasi

Fungsi Linear
Fungsi Kuadrat
Fungsi Eksponen

Berpikir Kreatif
Berkomunikasi

Berpikir Kritis
Berkomunikasi

Berpikir Kritis
Berpikir Kreatif

Berefleksi
Berpikir Kreatif
Berkomunikasi
Menggunakan Teknologi
Mengerjakan Projek

Bereskplorasi
Mencoba
Menggunakan
Teknologi

Transformasi
Vertikal

Transformasi
Horizontal

Penyajian

Bab 1 Transformasi Fungsi

5

Transformasi Fungsi

Ayo Mengingat Kembali

1. Transformasi adalah perubahan posisi dan atau ukuran suatu objek, baik
berupa titik, garis, kurva, ataupun bidang.

2. Translasi adalah transformasi yang memindahkan titik-titik dengan
arah dan jarak tertentu atau biasa disebut pergeseran.

• Titik A(x, y) ditranslasikan oleh Ta
b
e o menghasilkan bayangan
A'(x', y') ditulis dengan

,

'', '

A x y

A x y
T a

b
^

^

dh

h

n

• Bentuk matriks translasi
'
'
x
y
x
y
a
b
��
f

fe

ppo

• Ta
b
e o disebut sebagai komponen translasi, dengan konstanta a

adalah pergeseran secara horizontal dan b adalah pergeseran
secara vertikal.

3. Refleksi adalah transformasi yang memindahkan tiap titik dengan
menggunakan sifat bayangan oleh suatu cermin (pencerminan). Suatu
refleksi disimbolkan sebagai Ma untuk a sebagai sumbu cermin.

• Sifat refleksi

a. Jarak titik semula dengan cermin sama dengan jarak cermin
dengan titik bayangan.

b. Garis penghubung dari titik semula dengan titik bayangan
bersifat tegak lurus terhadap cermin.

c. Garis-garis yang terbentuk antara titik semula dengan titik
bayangan akan saling sejajar.

• Jenis refleksi

a. Titik A(x, y) direfleksikan terhadap sumbu x menghasilkan
bayangan A'(x', y') ditulis dengan

,

'', '

A x y

A x yxM
^

^

h

h

Matematika untuk SMA/SMK/MA Kelas XII

30

Pada gambar 1.15 di atas terdapat dua fungsi kuadrat y= x2 –4x – 5 dan

y = (2x)2 – 4(2x) – 5. Jika mengamati fungsi kuadrat yang kedua, maka kita
memperoleh x pada fungsi kuadrat pertama diganti dengan 2x. Kita ketahui
bahwa kedua grafik tersebut terletak pada ketinggian yang sama (y= y),

sedangkan x = 2x atau ekuivalen dengan x = 2

1 x. Hal ini berarti, kedua
grafik tersebut memiliki ketinggian yang sama atau koordinat sumbu y sama
ketika grafik merah mengalami perpindahan secara horizontal terhadap

sumbu y sehingga fungsi y = x2 – 4x –5 mengalami dilatasi dengan skala 2

1
yang sejajar sumbu x dan menghasilkan fungsi y = (2x)2 – 4(2x) – 5.

Grafik y = f(kx) adalah hasil dilatasi dari y = f(x)
dengan faktor k yang sejajar sumbu x

Pada y = f(kx) berlaku:
i. Jika k > 1, maka grafik y = f(kx) adalah grafik y = f(x) yang
diperkecil secara horizontal dengan membagi setiap koordinat x
dengan k.

ii. Jika 0 < k < 1, maka grafik y = f(x) adalah grafik y = f(x) yang
diperbesar secara horizontal dengan membagi setiap koordinat x
dengan k.

Definisi 1.6

Contoh Soal 1.9

Diketahui fungsi kuadrat f(x) = 16 – x2. Gambarlah grafik fungsi berikut
berdasarkan y = f(x)!

a. y = f(2x)

b. y = 4f(x)

Alternatif penyelesaian:

Diketahui:

f(x) = 16 – x2

Bab 1 Transformasi Fungsi

37

Transformasi Vertikal

Transformasi Horizontal

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

y = f(–x)
Refleksi terhadap
sumbu y

. . . . . . . . . . .
Dilatasi vertikal
dengan skala k
. . . . . . . . . . .
Dilatasi
horizontal
dengan skala k
1

Ayo Bereksplorasi

Diketahui suatu fungsi kuadrat y = x2 dengan gambar sebagai berikut.

y

x

�2

�2

2

2

4

�4

�4

4

y = x2

Gambar 1.17 Grafik Fungsi Kuadrat y = x2

Pada gambar di atas ditunjukkan bahwa y = f(x) = x2.

Analisislah fungsi tersebut dan tentukan hasilnya berdasarkan beberapa
pernyataan berikut.

Bab 1 Transformasi Fungsi

41

Translasi oleh 1
0
e o

y

x

�2

�2

2

2

4

4

�4

�4

y = 3(x – 1)2

Jadi hasil transformasinya adalah y = 3(x – 1)2.

2. Translasi oleh 0
2
e o

y

x
�5

�2

5

2

4

6

8

y = x2 + 2