eksponen

EKSPONEN

Pangkat

Replace this with your body text. Duplicate this text as many times as you would like. All provided templates can be reused multiple times. Wish you a good day.

Happy teaching!

Math Response

bilangan berpangkat 5³ . 5⁴ adalah ....

Type answer here

Correct Answer: 5^{\frac{7}{1}}

Deg^°

Rad

Modul Matematika Peminatan Kelas XII KD 3.3

@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN

1

Modul Matematika Peminatan Kelas XII KD 3.3

@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN

2

TURUNAN FUNGSI TRIGONOMETRI

MATEMATIKA PEMINATAN KELAS XII

PENYUSUN

Entis Sutisna, S.Pd.

SMA Negeri 4 Tangerang

Modul Matematika Peminatan Kelas XII KD 3.3

@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN

3

DAFTAR ISI

PENYUSUN ............................................................................................................................................. 2

DAFTAR ISI ............................................................................................................................................ 3

GLOSARIUM ........................................................................................................................................... 4

PETA KONSEP ....................................................................................................................................... 5

PENDAHULUAN ................................................................................................................................... 6

A. Identitas Modul ........................................................................................................... 6

B. Kompetensi Dasar ....................................................................................................... 6

C. Deskripsi Singkat Materi ............................................................................................ 6

D. Petunjuk Penggunaan Modul ...................................................................................... 6

E. Materi Pembelajaran ................................................................................................... 7

KEGIATAN PEMBELAJARAN 1 ....................................................................................................... 8

Rumus Dasar Turunan Fungsi Trigonometri dan Sifat-sifatnya ....................................... 8

A.Tujuan Pembelajaran .................................................................................................. 8

B.Uraian Materi .............................................................................................................. 8

C.Rangkuman ............................................................................................................... 16

D.Latihan Soal .............................................................................................................. 17

E.Penilaian Diri ............................................................................................................ 21

KEGIATAN PEMBELAJARAN 2 ..................................................................................................... 22

Aturan Rantai, Turunan Kedua, dan Laju yang Berkaitan dari Fungsi Trigonometri
22

A.Tujuan Pembelajaran ................................................................................................ 22

B.Uraian Materi ............................................................................................................ 22

C.Rangkuman ............................................................................................................... 29

D.Latihan Soal .............................................................................................................. 30

E.Penilaian Diri ............................................................................................................ 34

EVALUASI ............................................................................................................................................. 35

DAFTAR PUSTAKA ............................................................................................................................ 40

Modul Matematika Peminatan Kelas XII KD 3.3

@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN

4

GLOSARIUM

Cosinus

: Suatu fungsi trigonometri dari sebuah sudut. Cosinus suatu

sudut dalam segitiga siku-siku adalah perbandingan antara
sisi di samping sudut itu terhadap sisi miringnya
(hipotenusa).

Fungsi

: Merupakan suatu relasi yang memetakan setiap anggota

dari suatu himpunan yang disebut daerah asal atau domain
ke tepat satu anggota himpunan lain yang disebut daerah
kawan atau kodomain

Laju yang berkaitan: Menghitung laju perubahan suatu besaran dalam bentuk

laju perubahan besaran lain

Sinus

: Suatu fungsi trigonometri dari sebuah sudut. Sinus suatu

sudut dalam segitiga siku-siku adalah perbandingan antara
sisi yang berhadapan dengan sudut itu terhadap sisi
miringnya (hipotenusa).

Tangen

: Suatu fungsi trigonometri dari sebuah sudut. tangen suatu

sudut dalam segitiga siku-siku adalah perbandingan antara
sisi yang berhadapan dengan sudut itu terhadap sisi
samping sudutnya.

Trigonometri

: Sebuah cabang matematika yang berkaitan dengan sudut

segitiga dan fungsi trigonometri seperti sinus, cosinus, dan
tangen.

Turunan

: Laju

perubahan

suatu

fungsi

terhadap

perubahan

peubahnya.

Turunan kedua

: Turunan dari turunan pertama.

Modul Matematika Peminatan Kelas XII KD 3.3

@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN

5

PETA KONSEP

TURUNAN FUNGSI
TRIGONOMETRI

Identitas

Trigonometri

Laju yang Berkaitan

Rumus Dasar Turunan
Fungsi Trigonometri

dan Sifat-sifatnya

Aturan Rantai dan Turunan

Kedua

Rumus

Pembantu

Modul Matematika Peminatan Kelas XII KD 3.3

@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN

6

PENDAHULUAN

A. Identitas Modul

Mata Pelajaran : Matematika Peminatan

Kelas

: XII

Alokasi Waktu

: 12 jam pelajaran

Judul Modul

: Turunan Fungsi Trigonometri

B. Kompetensi Dasar

3.3 Menggunakan prinsip turunan ke fungsi trigonometri sederhana
4.3 Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan turunan fungsi trigonometri

C. Deskripsi Singkat Materi

Salam jumpa melalui pembelajaran matematika dengan materi Turunan Fungsi
Trigonometri. Modul ini disusun sebagai satu alternatif sumber bahan ajar siswa untuk
memahami materi matematika peminatan kelas XII khususnya Turunan Fungsi
Trigonometri. Melalui modul ini Anda diajak untuk memahami konsep Turunan Fungsi
Trigonometri, Sifat-sifat Turunan Trigonometri dan Pemecahan Masalah yang terkait
dengan Turunan Fungsi Trigonometri.

Jika berbicara mengenai kecepatan, percepatan, nilai maksimum dan minimum suatu
fungsi maka sebenarnya kita sedang membahas mengenai turunan. Turunan terkait
dengan perubahan. Sesuatu yang bersifat tetap di dunia ini adalah perubahan itu
sendiri, banyak kejadian-kejadian yang melibatkan perubahan. Misalnya gerak suatu
obyek (kendaraan berjalan, roket bergerak, laju pengisian air suatu tangki),
pertumbuhan bibit suatu tanaman, pertumbuhan ekonomi, inflasi mata uang,
berkembangbiaknya bakteri, peluruhan muatan radioaktif dan sebagainya. Konsep
dasar dari turunan suatu fungsi adalah laju perubahan nilai fungsi.

Tokoh-tokoh yang berjasa dalam mempelajari konsep perubahan sehingga
menghasilkan cabang ilmu matematika kalkulus diferensial (turunan) diantaranya:
Archimedes (287 – 212 SM), Kepler (1571 – 1630), Galileo (1564 – 1642),
Newton (1642 – 1727) dan Leibniz (1646 – 1716). Menurut pendapat para ahli Newton
dan Leibniz-lah dua orang yang paling banyak andilnya pada pertumbuhan kalkulus
diferensial.

D. Petunjuk Penggunaan Modul

Modul ini dirancang untuk memfasilitasi Anda dalam melakukan kegiatan
pembelajaran secara mandiri. Untuk menguasai materi ini dengan baik, ikutilah
petunjuk penggunaan modul berikut.

1.Berdoalah sebelum mempelajari modul ini.
2.Pelajari uraian materi yang disediakan pada setiap kegiatan pembelajaran secara

berurutan.

3.Perhatikan contoh-contoh penyelesaian permasalahan yang disediakan dan kalau

memungkinkan cobalah untuk mengerjakannya kembali.

4.Kerjakan latihan soal yang disediakan, kemudian cocokkan hasil pekerjaan Anda

dengan kunci jawaban dan pembahasan pada bagian akhir modul.

Modul Matematika Peminatan Kelas XII KD 3.3

@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN

7

5.Jika menemukan kendala dalam menyelesaikan latihan soal, cobalah untuk melihat

kembali uraian materi dan contoh soal yang ada.

6.Setelah mengerjakan latihan soal, lakukan penilaian diri sebagai bentuk refleksi

dari penguasaan Anda terhadap materi pada kegiatan pembelajaran.

7.Di bagian akhir modul disediakan soal evaluasi, silahkan mengerjakan soal evaluasi

tersebut agar Anda dapat mengukur penguasaan terhadap materi pada modul ini.
Cocokkan hasil pengerjaan dengan kunci jawaban yang tersedia.

8.Ingatlah, keberhasilan proses pembelajaran pada modul ini tergantung pada

kesungguhan Anda untuk memahami isi modul dan berlatih secara mandiri.

E. Materi Pembelajaran

Modul ini terbagi menjadi 2 kegiatan pembelajaran dan di dalamnya terdapat
uraian materi, contoh soal, soal latihan dan soal evaluasi.

Pertama : Rumus Dasar Turunan Fungsi Trigonometri dan Sifat-sifatnya

Kedua

: Aturan Rantai, Turunan Kedua, dan Laju yang Berkaitan dari Fungsi

Trigonometri

Word Cloud

bagaimana perasaan anda?

Modul Matematika Peminatan Kelas XII KD 3.3

@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN

8

KEGIATAN PEMBELAJARAN 1

Rumus Dasar Turunan Fungsi Trigonometri dan Sifat-sifatnya

A.Tujuan Pembelajaran

Setelah kegiatan pembelajaran 1 ini, diharapkan Anda dapat membuktikan rumus-
rumus dasar turunan fungsi trigonometri dan menggunakan prinsip atau aturan-
aturan turunan ke fungsi trigonometri sederhana.

B.Uraian Materi

Masih ingatkah Anda dengan definisi turunan yang sudah dipelajari saat Anda di kelas
XI? Atau pelajaran trigonometri yang sudah Anda pelajari di kelas X dan XI? Mudah-
mudahan masih ingat, termasuk materi limit fungsi trigonometri yang sudah dipelajari
pada modul sebelumnya, karena materi-materi tersebut merupakan materi prasyarat
untuk memahami konsep turunan fungsi trigonometri.

Rumus Dasar Turunan Fungsi Trigonometri

Anda telah melihat pada modul sebelumnya bahwa gradien garis singgung dan
kecepatan sesaat adalah manifestasi dari pemikiran dasar yang sama, yaitu diferensial
atau turunan.

Notasi turunan pertama adalah

𝑓′(𝑥) = 𝑦′=

𝑑𝑓(𝑥)

𝑑𝑥
=

𝑑𝑦
𝑑𝑥= 𝐷𝑥𝑓(𝑥)

𝑓′(𝑥) = 𝑦′ diperkenalkan oleh Joseph Louis Lagrange

𝑑𝑓(𝑥)

𝑑𝑥
=

𝑑𝑦
𝑑𝑥 diperkenalkan oleh Gottfried Leibniz

𝐷 dan

𝑑
𝑑𝑥 merupakan operator turunan

Dengan menggunakan definisi turunan mari kita buktikan rumus dasar turunan fungsi
trigonometri untuk y = sin x, y = sec x, dan y = tan x, untuk fungsi trigonometri lainnya,
yaitu y = cos x, y = csc x, dan y = cot x diberikan sebagai latihan.


Tentukan turunan pertama fungsi trigonometri y = f(x) = sin x.
Penyelesaian:

Sebelum Anda menentukan turunan pertama fungsi trigonometri y = f(x) = sin x, Anda

harus mengingat kembali identitas trigonometri sudut rangkap, jumlah dan selisih

sudut dan limit fungsi trigonometri.

Diferensial/turunan pertama fungsi f adalah fungsi lain 𝑓′ (dibaca
“f aksen”) yang nilainya pada sebarang bilangan x adalah

𝑓′(𝑥) = lim

ℎ→0

𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥)

ℎ

Jika limitnya ada.

Definisi 1

Contoh 1

Modul Matematika Peminatan Kelas XII KD 3.3

@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN

9

Mengingat Kembali

➢sin (x + y) = sin x cos y + cos x sin y
➢sin x – sin y = 2cos

1
2(x + y)sin

1
2(x – y)

➢1 – cos ax = 2sin2

1
2(𝑎𝑥)

➢lim

𝑥→0

sin 𝑥

𝑥
= 1

➢lim

𝑥→0

1−cos𝑥

𝑥
= lim

𝑥→0

2sin21

2𝑥

𝑥
= lim

𝑥→0

2 sin1

2𝑥 sin1

2𝑥

𝑥

= 2lim

𝑥→0

sin

1
2𝑥

𝑥
lim
𝑥→0sin 1

2 𝑥 = 2. 1

2 . sin(0) = 0

Anda akan disajikan menentukan turunan pertama fungsi y = sin x dengan 2 cara.

𝑓′(𝑥) = lim

ℎ→0

𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥)

ℎ

(definisi turunan)

= lim

ℎ→0

sin(𝑥 + ℎ) − sin 𝑥

ℎ

(substitusikan f(x) = sin x)

= lim

ℎ→0

sin𝑥 cos ℎ + cos 𝑥 sinℎ − sin𝑥

ℎ

(sin(x+h)=sin x cos h + cos x sin
h)

= lim

ℎ→0

cos 𝑥 sin ℎ − sin 𝑥 (1 − cos ℎ)

ℎ

(sifat distributif)

= lim

ℎ→0

cos 𝑥 sin ℎ

ℎ
− lim

ℎ→0

sin𝑥 (1 − cos ℎ)

ℎ
(sifat limit)

= cos 𝑥 lim

ℎ→0

sin ℎ

ℎ
− sin 𝑥 lim

ℎ→0

(1 − cos ℎ)

ℎ
(sifat limit)

= cos 𝑥(1) − sin 𝑥 (0)

(rumus limit)

= cos 𝑥

𝑓′(𝑥) = lim

ℎ→0

𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥)

ℎ

(definisi turunan)

= lim

ℎ→0

sin(𝑥 + ℎ) − sin 𝑥

ℎ

(substitusikan f(x) = sin x)

= lim

ℎ→0

2 cos

1
2(𝑥 + ℎ + 𝑥) sin

1
2(𝑥 + ℎ − 𝑥)

ℎ

(sin x–sin y=2 cos

1
2(𝑥 + 𝑦) sin

1
2(𝑥 −

𝑦)

= lim

ℎ→0

2 cos (𝑥 +

1
2ℎ) sin

1
2ℎ

ℎ

(penyederhanaan)

= lim

ℎ→02 cos (𝑥 + 1

2 ℎ) lim

ℎ→0

sin

1
2ℎ

ℎ

(sifat limit)

= 2 cos 𝑥 . 1

2

(sifat limit)

= cos 𝑥

Jadi, turunan pertama fungsi trigonometri f(x) = sin x adalah 𝑓′(𝑥) = cos x

Cara 1

Cara 2

Modul Matematika Peminatan Kelas XII KD 3.3

@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN

10

Mengingat Kembali

Tentukan turunan pertama fungsi trigonometri y = f(x) = sec x.
Penyelesaian:

Sebelum Anda menentukan turunan pertama fungsi trigonometri y = f(x) = sec x, Anda

harus mengingat kembali identitas trigonometri sudut rangkap, jumlah dan selisih

sudut dan limit fungsi trigonometri.

➢sec x =

1

cos xtan x =

sinx
cos x

➢cos (x + y) = cos x cos y – sin x sin y

➢cos x – cos y = – 2sin

1
2(x + y) sin

1
2(x – y)

➢lim

x→0

sin x

x
= 1

➢lim

x→0

1−cos x

x
= 0

𝑓′(𝑥) = lim

ℎ→0

𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥)

ℎ

(definisi turunan)

= lim

ℎ→0

sec(𝑥 + ℎ) − sec 𝑥

ℎ

(substitusikan f(x) = sec x)

= lim

ℎ→0

1
ℎ (
1

cos(𝑥 + ℎ) −
1

cos 𝑥)

(sec 𝑥 =

1

cos 𝑥)

= lim

ℎ→0

1
ℎ (cos 𝑥 − cos(𝑥 + ℎ)

cos(𝑥 + ℎ) cos 𝑥 )

(samakan penyebut)

= lim

ℎ→0

1
ℎ (cos 𝑥 − [cos 𝑥 cos ℎ − sin 𝑥 sin ℎ]

cos(𝑥 + ℎ) cos 𝑥
)(cos (x + y) = cos x cos y – sin x sin y)

= lim

ℎ→0

1
ℎ (cos 𝑥 − cos 𝑥 cos ℎ + sin 𝑥 sin ℎ

cos(𝑥 + ℎ) cos 𝑥
)

(penyederhanaan)

= lim

ℎ→0

1
ℎ (cos 𝑥 (1 − cos ℎ) + sin 𝑥 sinℎ

cos(𝑥 + ℎ) cos 𝑥
)

(sifat distributif)

= lim

ℎ→0

cos 𝑥 (1 − cos ℎ)
ℎ cos(𝑥 + ℎ) cos𝑥 +
sin𝑥 sinℎ

ℎcos(𝑥 + ℎ) cos 𝑥(penyederhanaan)

= lim

ℎ→0

(1 − cosℎ)
ℎ cos(𝑥 + ℎ) + sin𝑥

cos𝑥 lim

ℎ→0

sin ℎ

ℎcos(𝑥 + ℎ)(sifat limit)

=
0

cos 𝑥 + sin𝑥

cos𝑥

1

cos 𝑥

(sifat limit)

= sec 𝑥 tan 𝑥

Jadi, turunan pertama fungsi trigonometri f(x) = sec x adalah 𝑓′(𝑥) = sec x tan x.

Contoh 2

Modul Matematika Peminatan Kelas XII KD 3.3

@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN

11

Mengingat Kembali

Tentukan turunan pertama fungsi trigonometri y = f(x) = tan x.
Penyelesaian:

Sebelum Anda menentukan turunan pertama fungsi trigonometri y = f(x) = tan x, Anda

harus mengingat kembali identitas trigonometri, jumlah dan selisih sudut dan limit

fungsi trigonometri.

➢tan(𝑥 + 𝑦) =

tan 𝑥+tan𝑦
1−tan𝑥 tan 𝑦

➢lim

𝑥→0

tan 𝑥

𝑥
= 1

➢1 + tan2𝑥 = sec2𝑥

𝑓′(𝑥) = lim

ℎ→0

𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥)

ℎ

(definisi turunan)

= lim

ℎ→0

tan(𝑥 + ℎ) − tan 𝑥

ℎ

(substitusikan f(x) = tan x)

= lim

ℎ→0

1
ℎ ( tan𝑥 + tan ℎ

1 − tan 𝑥 tan ℎ − tan 𝑥)

(tan(𝑥 + 𝑦) =

tan 𝑥+tan𝑦
1−tan𝑥 tan𝑦)

= lim

ℎ→0

1
ℎ (tan𝑥 + tan ℎ − tan 𝑥 (1 − tan 𝑥 tan ℎ)

1 − tan 𝑥 tan ℎ
)(samakan penyebut)

= lim

ℎ→0

1
ℎ (tan𝑥 + tan ℎ − tan 𝑥 + tan2𝑥 tan ℎ

1 − tan 𝑥 tan ℎ
)(penyederhanaan)

= lim

ℎ→0

tan ℎ (1 + tan2𝑥)
ℎ(1 − tan 𝑥 tan ℎ)

(sifat distributif)

= lim

ℎ→0

tan ℎ

ℎ
lim
ℎ→0(1 + tan2𝑥) lim

ℎ→0

1

1 − tan 𝑥 tan ℎ(sifat limit)

= (1) (1 + tan2𝑥) (1)

(sifat limit)

= sec2𝑥

(1 + tan2𝑥 = sec2𝑥)

Jadi, turunan fungsi trigonometri f(x) = tan x adalah 𝑓′(𝑥) =sec2𝑥.

Sebagai lantihan Anda harus membuktikan turunan fungsi trigonometri berikut.
➢f(x)= cos x 𝑓′(𝑥)= –sin x
➢f(x)= csc x 𝑓′(𝑥)= –csc x cot x
➢f(x)= cot x 𝑓′(𝑥)= –csc2 x

Prinsip Turunan untuk Fungsi Trigonometri Sederhana

Proses

pencarian

turunan

suatu

fungsi

menggunakan

definisi,

yakni

𝑓′(𝑥) = lim

ℎ→0

𝑓(𝑥+ℎ)−𝑓(𝑥)

ℎ
memakan waktu. Karena itu pada pembelajaran berikutnya

kita akan menggunakan aturan pencarian turunan yang telah dipelajari di Kelas XI saat

Contoh 3

Modul Matematika Peminatan Kelas XII KD 3.3

@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN

12

Mengingat Kembali

belajar turunan fungsi aljabar untuk memperpendek proses dari fungsi-fungsi yang
tampak rumit.

Namun, sebelumnya kita ulas kembali aturan dasar pencarian turunan dari fungsi
aljabar dan fungsi trigonometri.

➢f(x) = k

f(x) = 0, dengan k konstanta

➢f(x) = x

f(x) = 1

➢f(x) = k xnf(x) = k .n.xn – 1

➢f(x) = sin x  f(x) = cos x

➢f(x) = cos x  f(x) = –sin x

➢f(x) = tan x  f(x) = sec2 x

➢f(x) = cot x  f(x) = –csc2 x

➢f(x) = sec x  f(x) = sec x tan x

➢f(x) = cscx f(x) = –csc x cot x

Jika k suatu konstanta dan u, v adalah fungsi dari x dan terturunkan, maka aturan
pencarian turunan fungsi aljabar berlaku juga pada turunan fungsi trigonometri .

1.Aturan Jumlah, Selisih, dan Perkalian dengan Konstanta

➢f(x) = ku

f(x)= ku

➢f(x) = u + v

f(x)= u + v

➢f(x) = u – v

f(x) = u– v

dengan k konstanta, u = u(x), dan v = v(x)

Tentukan turunan pertama fungsi trigonometri berikut.
a.f(x) = sin x – cos x.
b.f(x) = 3x2 – 4 cos x
c.f(x) = 2tan x + 3x
Penyelesaian:

a.f(x) = sin x – cos x

pilih : u = sin xu= cos x
v = cos xv= –sin x

f(x) = sin x – cos x = u – v
maka
f(x) = u– v
f(x) = cos x – (–sin x)
f(x) = cos x + sin x

b.f(x) = 3x2 – 4 cos x

pilih : u = x2u= 2x

v = cos xv= –cos x

Contoh 4

Modul Matematika Peminatan Kelas XII KD 3.3

@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN

13

k1 = 3 dan k2 = 4

f(x) = 3x2 – 3 cos x = k1u + k2v
maka
f(x) = k1 u + k2 v
f(x) = 3 (2x) – 3 (–sin x)
f(x) = 6x + 3 sin x

c.f(x) = 2tan x + 3x

pilih : u = tan xu= sec2𝑥

v = xv= 1
k1 = 2 dan k2 = 3

f(x) = 2tan x + 3x = k1u + k2v
maka
f(x) = k1 u + k2 v
𝑓 (𝑥) = 2sec2𝑥 + 3

Jika 𝑓(𝑥) = sin 𝑥 + cos𝑥 + tan 𝑥, maka 𝑓′(0) = . . ..
Penyelesaian:

𝑓(𝑥) = sin𝑥 + cos 𝑥+ tan 𝑥
𝑓′(𝑥) = cos 𝑥 − sin𝑥 + sec2𝑥
𝑓′(0) = cos0 − sin 0 + sec20

= 1 − 0 + 1
= 2

2.Aturan Perkalian

f(x) = u . v  f(x) = u . v + u . v dengan u = u(x) dan v = v(x)

Tentukan turunan pertama fungsi trigonometri berikut.
a.f(x) = x2 sin x
b.f(x) = 3x sin x + cot x
c.f(x) = 2 cos x sin x

Penyelesaian:

a.f(x) = x2 sin x

pilih u = x2 u= 2x
v = sin xv= cos x

f(x) = x2 sin x = u . v
maka
f(x) = u . v + u . v
f(x) = 2x sin x + x2 cos x

b.f(x) = 3x sin x + cot x

pilih u = 3x u= 3
v = sin xv= cos x

w = cot x w= – csc2x

f(x) = 3x sin x + cot x = u . v + w
maka
f(x) = u . v + u . v + w
f(x) = 3 sin x + 3x cos x + (– csc2x)

Contoh 5

Contoh 6

Modul Matematika Peminatan Kelas XII KD 3.3

@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN

14

= 3 sin x + 3x cos x– csc2x

c.f(x) = 2 cos x sin x

pilih u = 2 cos x u= –2 sin x

v = sin xv= cos x

f(x) = 2 cos x sin x = u . v
maka
f(x) = u . v + u . v
f(x) =(–2 sin x)( sin x) + (2 cos x)(cos x)
f(x) =–2 sin2x + 2 cos2x
f(x) =2 (cos2x – sin2x )
f(x) =2 cos 2x

(cos 2x = cos2x – sin2x)

3.Aturan Pembagian

𝑓(𝑥) =

𝑢
𝑣𝑓′(𝑥) =

𝑢′𝑣−𝑢𝑣′

𝑣2
dengan u = u(x) dan v = v(x)

Tentukan turunan pertama fungsi trigonometri berikut.
a.f(x) = tan x

b.𝑓(𝑥) =

cos 𝑥

1+cos 𝑥

c.𝑓(𝑥) =

cos 𝑥

sin𝑥+cos 𝑥

Penyelesaian:

a.f(x) = tan x =

sin𝑥
cos 𝑥

pilih u = sin x u= cos x
v = cos xv= –sin x

𝑓(𝑥) = tan 𝑥 = sin𝑥

cos𝑥 = 𝑢

𝑣

maka

𝑓′(𝑥) = 𝑢′𝑣 − 𝑢𝑣′

𝑣2

𝑓′(𝑥) = (cos 𝑥)(cos 𝑥) − (sin 𝑥)(− sin𝑥)

cos2𝑥

𝑓′(𝑥) = cos2𝑥 + sin2𝑥

cos2𝑥

𝑓′(𝑥) =
1

cos2𝑥 (cos2𝑥 + sin2𝑥 = 1)

𝑓′(𝑥) = sec2𝑥

(

1

cos 𝑥= sec 𝑥)

Menunjukkan hasil yang sama dengan turunan f(x) = tan x menggunakan
definisi.

b.f(x) =

cos 𝑥

1+cos 𝑥

pilih u = cos x u= –sin x
v = 1+ cos xv= –sin x

𝑓(𝑥) =
cos 𝑥

1 + cos 𝑥 = 𝑢

𝑣

maka

Contoh 7

Modul Matematika Peminatan Kelas XII KD 3.3

@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN

15

𝑓′(𝑥) = 𝑢′𝑣 − 𝑢𝑣′

𝑣2

𝑓′(𝑥) = (− sin𝑥)(1 + cos 𝑥) − (cos𝑥)(− sin𝑥)

(1 + cos 𝑥)2

𝑓′(𝑥) = − sin𝑥 − sin 𝑥 cos 𝑥 + cos 𝑥 sin 𝑥

(1 + cos 𝑥)2

𝑓′(𝑥) =
− sin𝑥

(1 + cos 𝑥)2

c.𝑓(𝑥) =

cos 𝑥

sin𝑥+cos 𝑥

pilih u = cos x u= –sin x
v = sin x + cos xv= cos x –sin x

𝑓(𝑥) =
cos 𝑥

sin𝑥 + cos 𝑥 = 𝑢

𝑣

maka

𝑓′(𝑥) = 𝑢′𝑣 − 𝑢𝑣′

𝑣2

𝑓′(𝑥) = (− sin 𝑥)(sin 𝑥 + cos 𝑥) − (cos 𝑥)(cos𝑥 − sin𝑥)

(sin 𝑥 + cos 𝑥)2

𝑓′(𝑥) = −sin2𝑥 − sin 𝑥 cos 𝑥 − cos2𝑥 + cos 𝑥 sin𝑥

sin2𝑥 + cos2𝑥 + 2 sin𝑥 cos 𝑥

𝑓′(𝑥) = −(sin2𝑥 + cos2𝑥)

1 + sin 2𝑥
(2 sin𝑥 cos 𝑥 = sin2𝑥)

𝑓′(𝑥) =
−1

1 + sin 2𝑥(cos2𝑥 + sin2𝑥 = 1)

Modul Matematika Peminatan Kelas XII KD 3.3

@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN

16

C.Rangkuman

❖Diferensial/turunan pertama fungsi f adalah fungsi lain 𝑓′ (dibaca “f aksen”) yang

nilainya pada sebarang bilangan x adalah

𝑓′(𝑥) = lim

ℎ→0

𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥)

ℎ

Jika limitnya ada.

❖Rumus dasar turunan pertama fungsi trigonometri

➢f(x) = sin x  f(x) = cos x

➢f(x) = cos x  f(x) = –sin x

➢f(x) = tan x  f(x) = sec2 x

➢f(x) = cot x  f(x) = –csc2 x

➢f(x) = sec x  f(x) = sec x tan x

➢f(x) = csc x f(x) = –csc x cot x

❖Jika k suatu konstanta dan u, v adalah fungsi dari x dan terturunkan, maka aturan

pencarian turunan fungsi aljabar berlaku juga pada turunan fungsi trigonometri .
➢f(x) = ku f(x)= ku

➢f(x) = u + vf(x)= u + v

➢f(x) = u – vf(x) = u– v

➢f(x) = u . v

 f(x) = u . v + u . v

➢𝑓(𝑥) =

𝑢
𝑣𝑓′(𝑥) =

𝑢′𝑣−𝑢𝑣′

𝑣2

Modul Matematika Peminatan Kelas XII KD 3.3

@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN

17

D.Latihan Soal

Kerjakan latihan soal berikut dengan jujur dan benar.
1.Buktikan rumus dasar turunan fungsi trigonometri berikut dengan definisi.

a.f(x) = cos x

𝑓′(𝑥) = –sin x

b.f(x) = csc x

𝑓′(𝑥) = –csc x cot x

c.f(x) = cot x

𝑓′(𝑥) = –csc2x

2.Tentukan turunan pertama fungsi trigonometri berikut.

a.𝑓 (𝑥) = 3𝑥 sin𝑥 + cos 𝑥
b.𝑓 (𝑥) = 2𝑥 cos 𝑥 − 𝑥3
c.𝑓 (𝑥) =

cos𝑥

5+sin𝑥

3.Tentukan 𝑓′(𝑥) dan nilai 𝑓′(𝑥) dari fungsi f(x) = 3x – cos x + tan x untuk x = 𝜋

3 .

4.Tentukan 𝑓′(𝑥) untuk 𝑓(𝑥) = cos3(2𝑥 − 1)

Modul Matematika Peminatan Kelas XII KD 3.3

@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN

18

Kunci Jawaban dan Pembahasan

1.Buktikan rumus dasar turunan fungsi trigonometri berikut dengan definisi.

a.f(x) = cos x

𝑓′(𝑥) = –sin x

(Skor Maksimum 20)

Penyelesaian:

𝑓′(𝑥) = lim

ℎ→0

𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥)

ℎ

(definisi turunan)

= lim

ℎ→0

cos(𝑥 + ℎ) − cos 𝑥

ℎ

(substitusikan f(x) = cos x)

= lim

ℎ→0

cos 𝑥 cos ℎ − sin𝑥 sin ℎ − cos 𝑥

ℎ

(cos(x+h)=cos x cos h – sin x sin
h)

= lim

ℎ→0

cos 𝑥 (cos ℎ − 1) − sin𝑥 sinℎ

ℎ

(sifat distributif)

= lim

ℎ→0

cos 𝑥 (cos ℎ − 1)

ℎ
− lim

ℎ→0

sin 𝑥 sinℎ

ℎ
(sifat limit)

= cos 𝑥 lim

ℎ→0

cos ℎ − 1

ℎ
− sin 𝑥 lim

ℎ→0

sinℎ

ℎ
(sifat limit)

= cos 𝑥(0) − sin 𝑥 (1)

(rumus limit)

= −sin 𝑥

Jadi, turunan pertama fungsi trigonometri f(x) = cos x adalah 𝑓′(𝑥) = –sin x.

b.f(x) = csc x

𝑓′(𝑥) = –csc x cot x (Skor Maksimum 20)

Penyelesaian:

𝑓′(𝑥) = lim

ℎ→0

𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥)

ℎ

(definisi turunan)

= lim

ℎ→0

csc(𝑥 + ℎ) − csc 𝑥

ℎ

(substitusikan f(x) = sec x)

= lim

ℎ→0

1
ℎ (
1

sin(𝑥 + ℎ) −
1

sin 𝑥)

(csc 𝑥 =

1

sin𝑥)

= lim

ℎ→0

1
ℎ (sin𝑥 − sin(𝑥 + ℎ)

sin(𝑥 + ℎ) sin 𝑥 )

(samakan penyebut)

= lim

ℎ→0

1
ℎ (sin𝑥 − [sin𝑥 cos ℎ + cos𝑥 sinℎ]

sin(𝑥 + ℎ) sin𝑥
)

(sin (x + y) = sin x cos y – cos x sin y)

= lim

ℎ→0

1
ℎ (sin𝑥 − sin𝑥 cos ℎ − cos 𝑥 sinℎ

sin(𝑥 + ℎ) sin𝑥
)

(penyederhanaan)

= lim

ℎ→0

1
ℎ (sin𝑥 (1 − cos ℎ) − cos𝑥 sin ℎ

sin(𝑥 + ℎ) sin𝑥
)

(sifat distributif)

= lim

ℎ→0

cos 𝑥 (1 − cosℎ)
ℎ sin(𝑥 + ℎ) sin𝑥 −
cos 𝑥 sinℎ

ℎsin(𝑥 + ℎ) sin 𝑥

(penyederhanaan)

= cos 𝑥

sin 𝑥 lim

ℎ→0

(1 − cos ℎ)
ℎ sin(𝑥 + ℎ) − cos𝑥

sin𝑥 lim

ℎ→0

sin ℎ

ℎsin(𝑥 + ℎ)(sifat limit)

= cot 𝑥 0

cos 𝑥 − cot 𝑥
1

sin𝑥

(sifat limit)

= −csc 𝑥 cot 𝑥

Jadi, turunan pertama fungsi trigonometri f(x) = csc x adalah 𝑓′(𝑥) = – csc x cot x.

c.f(x) = cot x

𝑓′(𝑥) = –csc2x

(Skor Maksimum 20)

𝑓′(𝑥) = lim

ℎ→0

𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥)

ℎ

(definisi turunan)

Modul Matematika Peminatan Kelas XII KD 3.3

@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN

19

= lim

ℎ→0

cot(𝑥 + ℎ) − cot 𝑥

ℎ

(substitusikan f(x) = cot x)

= lim

ℎ→0

1
ℎ (
1

tan(𝑥 + ℎ) −
1

tan 𝑥)

(cot 𝑥 =

1

tan𝑥)

= lim

ℎ→0

1
ℎ (1 − tan 𝑥 tan ℎ

tan𝑥 + tan ℎ −
1

tan 𝑥)

(tan(𝑥 + 𝑦) =

tan 𝑥+tan𝑦
1−tan𝑥 tan 𝑦)

= lim

ℎ→0

1
ℎ (

(1 − tan 𝑥 tan ℎ) tan 𝑥 − (tan 𝑥 + tan ℎ)

(tan 𝑥 + tan ℎ) tan 𝑥
)

(samakan penyebut)

= lim

ℎ→0

1
ℎ (tan𝑥 − tan2 𝑥 tan ℎ − tan 𝑥 − tan ℎ

(tan 𝑥 + tan ℎ) tan 𝑥
)

(penyederhanaan)

= lim

ℎ→0

− tan ℎ (tan2𝑥 + 1)

ℎ (tan 𝑥 + tan ℎ) tan 𝑥

(sifat distributif)

= lim

ℎ→0

− tan ℎ

ℎ
lim
ℎ→0(tan2𝑥 + 1) lim

ℎ→0

1

(tan 𝑥 + tan ℎ) tan 𝑥(sifat limit)

= (-1) (1 + tan2𝑥) (

1

tan2𝑥)

(sifat limit)

= − sec2𝑥(

1

tan2𝑥)

(1 + tan2𝑥 = sec2𝑥)

= −

1

cos2𝑥(

cos2𝑥
sin2𝑥)

(sec x =

1

cos 𝑥,

1

tan 𝑥=

cos 𝑥
sin 𝑥 )

= −

1

sin2𝑥

= −csc2𝑥

Jadi, turunan fungsi trigonometri f(x) = cot x adalah 𝑓′(𝑥) = −csc2𝑥.

2.Tentukan turunan pertama fungsi trigonometri berikut.

a.𝑓 (𝑥) = 3𝑥 sin𝑥 + cos𝑥

(Skor Maksimum 10)

Penyelesaian:
𝑦 = 3𝑥 sin 𝑥 + cos𝑥
Untuk 3x.sin x dimisalkan:
𝑢 = 3𝑥 → 𝑢′= 3
𝑣 = sin𝑥 → 𝑣′= cos𝑥
Jadi,
𝑦′= 3sin𝑥 + 3𝑥cos𝑥 + (−sin𝑥)
𝑦′= 2sin𝑥 + 3𝑥cos𝑥

b.𝑓 (𝑥) = 2𝑥 cos 𝑥 − 𝑥3

(Skor Maksimum 10)

Penyelesaian:
𝑦 = 2𝑥 cos 𝑥 − 𝑥3
Untuk 2x.cos x dimisalkan:
𝑢 = 2𝑥 → 𝑢′= 2
𝑣 = cos𝑥 → 𝑣′= −sin𝑥
Jadi,
𝑦′= 2. (cos𝑥) + 2𝑥. (−sin𝑥) − 3𝑥2
𝑦′= 2cos𝑥 − 2𝑥sin 𝑥 − 3𝑥2

c.𝑓 (𝑥) =

cos𝑥

5+sin𝑥

(Skor Maksimum 10)

Penyelesaian:

𝑓 (𝑥) =
cos𝑥

5 + sin𝑥

Misalkan:
𝑢 = cos 𝑥 → 𝑢 ′= − sin𝑥
𝑣 = 5 + sin𝑥→ 𝑣 ′ = cos𝑥
Jadi,

Modul Matematika Peminatan Kelas XII KD 3.3

@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN

20

𝑓 ′ (𝑥) = 𝑢 ′𝑣 − 𝑢𝑣 ′

𝑣2

= (−sin𝑥)(5 + sin𝑥) − cos𝑥 cos 𝑥

(5 + sin𝑥)2

= −5sin𝑥− sin2𝑥 − cos2𝑥

(5 + sin𝑥)2

= −5sin𝑥 − (sin2𝑥 + cos2𝑥 )

(5 + sin𝑥)2

= −5sin𝑥− 1

(5 +sin 𝑥)2

3.Tentukan 𝑓′(𝑥) dan nilai 𝑓′(𝑥) dari fungsi f(x) = 3x – cos x + tan x untuk x = 𝜋

3 .

(Skor Maksimum 10)

Penyelesaian:
f(x) = 3x – cos x + tan x
𝑓′(𝑥) = 3 + sin x – sec2x dan

𝑓′(𝜋

3) = 3 + sin 𝜋

3 – sec2𝜋

3

= 3 + 1

2 √3 − 4

= 1

2 √3 − 1

Modul Matematika Peminatan Kelas XII KD 3.3

@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN

21

E.Penilaian Diri

Ananda isilah pertanyaan pada tabel di bawah ini sesuai dengan yang Anda ketahui,
berilah penilaian secara jujur, objektif, dan penuh tanggung jawab dengan memberi
tanda centang pada kolom pilihan.

No.

Pertanyaan

Jawaban

Ya

Tidak

1.

Apakah Anda telah memahami pengertian turunan fungsi

trigonometri.

2.

Apakah Anda telah mampu membuktikan rumus dasar

turunan fungsi trigonometri.

3.

Apakah anda telah mampu menggunakan prinsip turunan

jumlah dan selisih ke turunan fungsi trigonometri?

4.

Apakah anda telah mampu menggunakan prinsip turunan

perAnda dua fungsi ke turunan fungsi trigonometri?

5.

Apakah anda telah mampu menggunakan prinsip turunan

pembagian ke turunan fungsi trigonometri?

Catatan:
Bila ada jawaban "Tidak", maka segera lakukan review pembelajaran,

Bila semua jawaban "Ya", maka Anda dapat melanjutkan ke pembelajaran berikutnya.

Modul Matematika Peminatan Kelas XII KD 3.3

@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN

22

KEGIATAN PEMBELAJARAN 2

Aturan Rantai, Turunan Kedua, dan Laju yang Berkaitan dari

Fungsi Trigonometri

A.Tujuan Pembelajaran

Setelah kegiatan pembelajaran 2 ini, diharapkan Anda dapat menerapkan Aturan
Rantai dalam menentukan turunan fungsi komposisi trigonometri, menentukan
turunan kedua fungsi trigonometri, dan menyelesaikan masalah yang berkaitan
dengan turunan fungsi trigonometri khususnya laju yang berkaitan.

B.Uraian Materi

Aturan Rantai

Andaikan Anda diminta menentukan turunan fungsi F(x) = cos (3x – 5). Rumus turunan
yang telah Anda pelajari tidak memungkinkan Anda untuk menghitung F(x).

Amati oleh Anda bahwa F berupa fungsi komposisi. Pada kenyataannya, andaikan y
= f(u) = cos u dan u = g(x) = 3x – 5, maka kita dapat menuliskan y = F(x) = f(g(x)), yakni
F = f o g. Kita ketahui bagaimana menentukan turunan fungsi f dan g, sehingga akan
bermanfaat sebagai aturan yang memberitahu kita bagaimana menurunkan 𝐹 = 𝑓 ∘ 𝑔
dalam bentuk turunan dari f dan g.

Ternyata turunan fungsi komposisi adalah hasil kali turunan f dan g. Fakta ini
merupakan salah satu dari aturan turunan yang terpenting dan disebut Aturan Rantai.

Untuk lebih memahami lagi tentang aturan rantai pelajari contoh beriku.

Carilah 𝐹′(𝑥) jika F(x) = cos (3x – 5).

Penyelesaian:

❖Menggunakan persamaan (1)

➢Nyatakan F sebagai F(x) = f o g (x) = f(g(x)), dengan

f(u) = cos u dan u = g(x) = 3x – 5

➢Cari turunan dari f dan g

𝑓′(𝑢) = − sin 𝑢
𝑓′(𝑔(𝑥)) = − sin𝑔(𝑥) = − sin(3𝑥 − 5)
dan 𝑔′(𝑥) = 3

Contoh 1

Jika f dan g keduanya fungsi fungsi yang dapat diturunkan dan
F = f o g adalah fungsi komposisi yang didefinisikan oleh F = f(g(x)),
maka F dapat diturunkan menjadi 𝐹′ yang diberikan oleh hasil kali

𝐹′(𝑥) = 𝑓′൫𝑔(𝑥)൯𝑔′(𝑥) (1)

Dalam notasi Leibniz, jika y = f(u) dan u = g(x) keduanya fungsi yang
dapat diturunkan, maka

𝑑𝑦
𝑑𝑥 = 𝑑𝑦

𝑑𝑢 𝑑𝑢

𝑑𝑥 (2)

Aturan Rantai

Modul Matematika Peminatan Kelas XII KD 3.3

@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN

23

➢Cari 𝐹′(𝑥)

𝐹′(𝑥) = 𝑓′൫𝑔(𝑥)൯𝑔′(𝑥)

= – sin(3x – 5). (3)
= –3 sin (3x – 5)

❖Menggunakan persamaan (2)

Misalkan u = 3x – 5 

𝑑𝑢
𝑑𝑥= 3

dan

y = cos u 

𝑑𝑦
𝑑𝑢= − sin 𝑢

maka

𝐹′(𝑥) = 𝑑𝑦

𝑑𝑥 = 𝑑𝑦

𝑑𝑢 𝑑𝑢

𝑑𝑥 = − sin𝑢 (3) = −3 sin𝑢 = −3 sin(3𝑥 − 5)

Tentukan turunan pertama dari fungsi trigonometri berikut.
a.y = sin(x2 – 3x)
b.y = sin2x

Penyelesaian:

a.Jika y = sin(x2 – 3x), maka fungsi sebelah luar adalah fungsi sinus dan fungsi

sebelah dalam adalah fungsi kuadrat, sehingga aturan rantai memberikan
𝑑𝑦
𝑑𝑥 = 𝑑

𝑑𝑥 sin ⏟
fungsi
sebelah

luar

(𝑥2− 3𝑥) ⏟

dihitung

pada fungsi

sebelah

dalam

= cos ⏟
turunan
fungsi
sebelah

luar

(𝑥2− 3𝑥) ⏟

dihitung

pada fungsi

sebelah

dalam

. (2𝑥 − 3) ⏟

turunan
fungsi
sebelah
dalam

𝑑𝑦
𝑑𝑥 = (2𝑥 − 3) cos(𝑥2 − 3𝑥)

b.Jika y = sin2x = (sin x)2, maka fungsi sebelah luar adalah fungsi kuadrat dan fungsi

sebelah dalam adalah fungsi sinus, sehingga aturan rantai memberikan
𝑑𝑦
𝑑𝑥 = 𝑑

𝑑𝑥 (sin𝑥)2⏟

fungsi
sebelah

luar

= 2 ⏟
turunan
fungsi
sebelah

luar

(sin 𝑥) ⏟
dihitung

pada fungsi

sebelah

dalam

. (cos𝑥) ⏟

turunan
fungsi
sebelah
dalam

𝑑𝑦
𝑑𝑥 = 2 sin𝑥 cos 𝑥

= sin 2x (sin 2x = 2 sin x cos x)

Dari Contoh 2 dapat disimpulkan sebagai berikut.

Catatan:
Dalam menggunakan aturan rantai kita bekerja dari luar ke
dalam. Rumus (1) mengatakan bahwa kita menurunkan fungsi
sebelah luar f (pada fungsi lebih dalam g(x)) dan kemudian kita
kalikan dengan turunan fungsi sebelah dalam.
𝑑
𝑑𝑥 𝑓 ⏟

fungsi
sebelah

luar

(𝑔(𝑥)) ⏟

dihitung

pada fungsi

sebelah

dalam

= 𝑓′⏟

turunan
fungsi
sebelah

luar

(𝑔(𝑥)) ⏟

dihitung

pada fungsi

sebelah

dalam

. 𝑔′(𝑥) ⏟

turunan
fungsi
sebelah
dalam

Contoh 2

Modul Matematika Peminatan Kelas XII KD 3.3

@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN

24

Tentukan turunan pertama dari fungsi trigonometri berikut.
a.y = cos (3x2 – 5)
b.y = tan2x

Penyelesaian:

a.y = cos (3x2 – 5)

y = cos u

y = –sin u . u

y = cos (3x2 – 5) y = –sin (3x2 – 5) . (6x) = –6x sin (3x2 – 5)

b.y = tan2x =(tan x)2

y = k un

y = k n un – 1 . u

y = tan2x =(tan x)2y = 2tan x. (sec2x) = 2tan x. sec2x

Alasan untuk nama “Aturan Rantai” menjadi jelas pada waktu kita membuat rantai
yang lebih panjang dengan cara menambahkan mata rantai lain. Andaikan bahwa y
= f(u), u = g(v), dan v = h(x), dengan fungsi f, g, dan dapat diturunkan. Maka, untuk
menghitung turunan y terhadap x, kita gunakan Aturan rantai dua kali:

𝑑𝑦
𝑑𝑥 = 𝑑𝑦

𝑑𝑢 𝑑𝑢

𝑑𝑥 = 𝑑𝑦

𝑑𝑢

𝑑𝑢
𝑑𝑣 𝑑𝑣

𝑑𝑥

Tentukan turunan pertama dari fungsi trigonometri y = sin3 (2x2 – 3x)

Penyelesaian:
Cara 1
y = sin3 (2x2 – 3x)
Misalkan v = 2x2 – 3x

𝑑𝑣
𝑑𝑥= 4𝑥 − 3

u = sin v

𝑑𝑢
𝑑𝑣= cos 𝑣

y = u3

𝑑𝑦
𝑑𝑢= 3𝑢2

maka
𝑑𝑦
𝑑𝑥 = 𝑑𝑦

𝑑𝑢

𝑑𝑢
𝑑𝑣 𝑑𝑣

𝑑𝑥

= 3𝑢2cos 𝑣 (4𝑥 − 3)

= 3(sin v)2 cos (2x2 – 3x) (4𝑥 − 3)
= 3 sin2 (2x2 – 3x) cos (2x2 – 3x) (4x – 3)
= 3 (4x – 3) sin2 (2x2 – 3x) cos (2x2 – 3x)
= (12x – 9) sin2 (2x2 – 3x) cos (2x2 – 3x)

Aturan Rantai
y = k un

y = k n un – 1 . u

y = sin u

y = cos u . u

y = cos u

y = –sin u . u

y = tan u

y = sec2 u . u

y = cot u

y = –csc2 u . u

y = sec u

y = sec u tan u . u

y = csc u

y = –csc u cot u . u

dengan k kostanta dan u = u(x)

Contoh 3

Contoh 4

Modul Matematika Peminatan Kelas XII KD 3.3

@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN

25

Cara 2
Fungsi sebelah luar adalah fungsi kubik, fungsi tengah adalah fungsi sinus, dan fungsi
dalam adalah fungsi kuadrat.
𝑑𝑦
𝑑𝑥 = 3sin2(2𝑥2 − 3𝑥) 𝑑

𝑑𝑥 (sin(2𝑥2 − 3𝑥))

= 3sin2(2𝑥2− 3𝑥)(cos(2𝑥2− 3𝑥)) 𝑑

𝑑𝑥 (2𝑥2 − 3𝑥)

= 3sin2(2𝑥2− 3𝑥) cos(2𝑥2− 3𝑥) ൫4𝑥

− 3൯

= (12x – 9) sin2 (2x2 – 3x) cos (2x2 – 3x)

Cara 3
y = sinn u

 y = n sinn–1u .cos u .u

y = sin3 (2x2 – 3x) y = 3 sin2 (2x2 – 3x). cos (2x2 – 3x). (4x – 3)

y = (12x – 9) sin2 (2x2 – 3x). cos (2x2 – 3x). (4x – 3)

Jadi, untuk aturan rantai lainnya diperoleh:

Turunan Kedua

Jika f fungsi yang terturunkan, maka turunannya f juga berupa fungsi, sehingga f
boleh jadi mempunyai turunan tersendiri, yang dinyatakan oleh (f) = f. Fungsi
f yang baru ini disebut turunan kedua dari f karena dia berupa turunan dari
turunan f.

Tentukan turunan kedua fungsi trigonometri berikut.
a.y = sin (3x + )
b.y = cos2x
c.y = x cos x

Penyelesaian :

a.y = sin (3x + )

y = 3 cos (3x + )

(turunan y = sin u adalah y  = u  cos u)

y = –9 sin (9x + )

(turunan y = cos u adalah y  = – u  sin u)

Aturan Rantai
y = sinnu y = n sinn – 1 u .cos u . u
y = cosnu y = –n cosn – 1u . sin u . u
y = tannu y = n tann – 1u . sec2 u . u
y = cotnu y = – n cotn – 1u .csc2 u . u
y = secnu y = n secn – 1u .sec u tan u . u
y = cscnu y = – n cscn – 1u .csc u cot u . u
dengan u = u(x)

Jika f(x) (turunan pertama suatu fungsi) diturunkan lagi terhadap
x, maka akan diperoleh turunan kedua fungsi f(x) terhadap x, ditulis

dengan f(x) atau y atau

atau D2f(x).

Definisi 1

Contoh 5

Modul Matematika Peminatan Kelas XII KD 3.3

@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN

26

b.y = cos2x

y = –2 cos x sin x

(turunan y = u2 adalah y  =2u . u )

y = –sin 2x

(sin 2x = 2 sin x cos x)

y = –2 cos 2x

(turunan y = sin u adalah y  = u  cos u)

c.y = x cos x

y = cos x – x sin x

(y = uvy  = uv + u v)

y = –sin x – (sin x + x cos x)(y = uvy  = uv + u v)
y = –2 sin x – x cos x

Laju yang Berkaitan

Hal utama dalam persoalan laju yang berkaitan adalah menghitung laju perubahan
suatu besaran dalam bentuk laju perubahan besaran lain (yang boleh jadi jauh lebih
mudah diukur). Jika variabel y tergantung kepada waktu, maka turunannya

𝑑𝑦
𝑑𝑡 disebut

laju sesaat perubahan. Tentu saja, jika y mengukur jarak, maka laju sesaat perubahan
ini juga disebut kecepatan (v). Laju sesaat dari perubahan kecepatan akan
menghasilkan percepatan (a).
❖kecepatan vv(t) =

𝑑𝑦
𝑑𝑡 = y(t)

❖percepatan aa(t) =

𝑑𝑣
𝑑𝑡 = v(t) =

𝑑2𝑦
𝑑𝑡2 = y(t)

Kita tertarik pada beraneka laju sesaat, laju air mengalir ke dalam ember, laju
membesarnya luas pencemaran minyak, laju bertambahnya nilai kapling tanah, dan
lain-lain.

Strategi untuk pemecahan masalah khususnya mengenai laju yang berkaitan, adalah:
1.Baca masalah secara seksama.
2.Gambarkan diagram jika mungkin.
3.Perkenalkan notasi. Berikan lambing kepada semua besaran yang merupakan

fungsi waktu.

4.Nyatakan informasi yang diketahui dan laju yang diperlukan dalam bentuk

turunan.

5.Tuliskan persamaan yang mengaitkan beragam besaran dari masalah tersebut. Jika

perlu, gunakan geometri untuk menghilangkan satu peubah melalui substitusi.

6.Gunakan aturan rantai untuk menurunkan kedua ruas persamaan terhadap t.
7.Substitusikan informasi yang diketahui ke dalam persamaan yang dihasilkan dan

pecahkan untuk laju yang tidak diketahui tersebut.

Sebuah gelombang transversal merambat dengan persamaan
𝑦 = 0,1 sin (

1
4𝜋𝑡 −

1
4𝜋𝑥). Sebuah penelitian dilakukan pada jarak 2 meter dari pusat

gelombang. Berapakah kecepatan dan percepatan partikel gelombang itu pada saat
detik ke-3?
Penyelesaian:

𝑦 = 0,1 sin (1

4 𝜋𝑡 − 1

4 𝜋𝑥)

Persamaan kecepatan dan percepatan gelombang tersebut adalah:
𝑣 = 𝑦′= (

1
4𝜋) 0,1 cos(

1
4𝜋𝑡 −

1
4𝜋𝑥) = 0,025𝜋 cos(

1
4𝜋𝑡 −

1
4𝜋𝑥), dan

𝑎 = 𝑣′= 𝑦′′= (

1
4𝜋) 0,025𝜋 sin (

1
4𝜋𝑡 −

1
4𝜋𝑥) = 0,00625𝜋2 sin(

1
4𝜋𝑡 −

1
4𝜋𝑥)

Pada saat t = 3 detik dan x = 2 meter, maka

Contoh 6

Modul Matematika Peminatan Kelas XII KD 3.3

@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN

27

𝑣 = 0,025𝜋 cos (

1
4𝜋(3) −

1
4𝜋(2))

= 0,025𝜋 cos (

1
4𝜋)

= 0,025𝜋 (

1
2√2)

= 0,0125𝜋√2
 0,056

𝑎 = 0,00625𝜋2sin (

1
4𝜋(3) −

1
4𝜋(2))

= 0,00625𝜋2sin (

1
4)

= 0,00625𝜋2(1

2 √2)

 0,0436

Jadi, kecepatan partikel gelombang pada detik ke-3 di posisi 2 meter dari pusat
gelombang adalah 0,056 m/detik dan percepatan partikel gelombangnya adalah
0,0436 m2/detik.



Seseorang berjalan menurut tapak lurus pada kecepatan 4 meter/detik. Lampu pencari
terletak di tanah sejauh 20 meter dari tapak dan tetap dipusatkan pada orang itu. Pada
laju berapa lampu pencari berputar jika orang itu berada 15 meter dari titik pada tapak
yang terdekat ke lampu pencari?

Penyelesaian:

Kita lukiskan seperti gambar di atas dan misalkan x adalah jarak dari titik pada tapak
yang terdekat ke lampu pencari ke orang tersebut. Kita misalkan  adalah sudut antara
sinar lampu pencari dan garis tegak lurus pada tapak.

Diketahui bahwa

𝑑𝑥
𝑑𝑡 = 4 meter/detik dan diminta mencari

𝑑
𝑑𝑡 pada saat x = 15.

Persamaan yang mengaitkan x dan  dapat dituliskan berdasarkan Gambar.
𝑥
20 = tan 𝜃

𝑥 = 20 tan 𝜃
Dengan menurunkan masing-masing ruas terhadap t, diperoleh
𝑑𝑥
𝑑𝑡 = 20sec2𝜃 𝑑𝜃

𝑑𝑡

Sehingga
𝑑𝜃
𝑑𝑡 = 1

20 cos2𝜃 𝑑𝑥

𝑑𝑡 = 1

20 cos2𝜃(4) = 1

5 cos2𝜃



Contoh 7

x

20

Modul Matematika Peminatan Kelas XII KD 3.3

@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN

28

Pada saat x = 15, panjang sinar adalah 25, sehingga cos 𝜃 =

4
5 dan

𝑑𝜃
𝑑𝑡 = 1

5 (4

5)

2

= 16

125 = 0,128

Jadi, lampu pencari berputar pada laju 0,128 radian/detik.

Modul Matematika Peminatan Kelas XII KD 3.3

@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN

29

C.Rangkuman

❖Jika f dan g keduanya fungsi fungsi yang dapat diturunkan dan F = f o g adalah

fungsi komposisi yang didefinisikan oleh F = f(g(x)), maka F dapat diturunkan
menjadi 𝐹′ yang diberikan oleh hasil kali

𝐹′(𝑥) = 𝑓′൫𝑔(𝑥)൯𝑔′(𝑥)

Dalam notasi Leibniz, jika y = f(u) dan u = g(x) keduanya fungsi yang dapat
diturunkan, maka

𝑑𝑦
𝑑𝑥 = 𝑑𝑦

𝑑𝑢 𝑑𝑢

𝑑𝑥

❖Misalkan u= u(x), maka rumus umum turunan fungsi trigonometri adalah:

➢y = sinnu y = n sinn – 1 u .cos u . u
➢y = cosnu y = –n cosn – 1u . sin u . u
➢y = tannu y = n tann – 1u . sec2 u . u
➢y = cotnu y = – n cotn – 1u .csc2 u . u
➢y = secnu y = n secn – 1u .sec u tan u . u
➢y = cscnu y = – n cscn – 1u .csc u cot u . u

❖Jika f(x) (turunan pertama suatu fungsi) diturunkan lagi terhadap x, maka akan

diperoleh turunan kedua fungsi f(x) terhadap x, ditulis dengan f(x) atau y atau

2

2

2

2

atau

dx

yd

dx

fd
.

❖Laju yang berkaitan adalah menghitung laju perubahan suatu besaran dalam

bentuk laju perubahan besaran lain (yang boleh jadi jauh lebih mudah diukur). Jika
variabel y tergantung kepada waktu, maka turunannya

𝑑𝑦
𝑑𝑡 disebut laju sesaat

perubahan.

Modul Matematika Peminatan Kelas XII KD 3.3

@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN

30

D.Latihan Soal

Kerjakan latihan soal berikut dengan jujur dan benar.

1.Tentukan turunan pertama dari fungsi trigonometri berikut.

a.f(x) = cos (4x – )
b.f(x) = cos5 (3 – 2x)
c.𝑓(𝑥) = 𝑥cos22𝑥 − 2𝑥3

2.a. Jika 𝑓(𝑥) = 4 cos3𝑥, maka tentukan nilai 𝑓′(𝑥) untuk 𝑥 =

𝜋
3

b. Jika 𝑓(𝑥) = sin2(2𝑥 +

𝜋
6), maka tentukan nilai 𝑓′(0).

3.Tentukan turunan kedua dari fungsi trigonometri berikut.

a.y = cos (2x + )
b.y = sin2x

4.Sebuah gelombang transversal merambat dengan persamaan

𝑦 = 2 sin(5𝜋𝑡 − 𝜋𝑥). Sebuah penelitian dilakukan pada jarak 4 meter dari pusat
gelombang. Berapakah kecepatan dan percepatan partikel gelombang itu pada saat
detik ke-2?

5.Disebuah menara yang tingginya 100 m dari atas tanah, seorang penjaga pantai

melihat sebuah kapal mendekat dengan laju 5 m/s. Tentukan laju perubahan sudut
depresi penjaga pantai terhadap waktu pada saat jarak kapal terhadap menara 100
m.

Modul Matematika Peminatan Kelas XII KD 3.3

@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN

31

Kunci Jawaban dan Pembahasan

1.Tentukan turunan pertama dari fungsi trigonometri berikut.

a.f(x) = cos (4x – )

b.f(x) = cos5 (3 – 2x)

c.𝑓(𝑥) = 𝑥cos22𝑥 − 2𝑥3

Penyelesaian:
a.f(x) = cos (4x – )

(skor maksimum 10)

y = cos u y = – sin u . u
maka
𝑓′(𝑥) = –sin (4x – ) (4)
𝑓′(𝑥) = –4 sin (4x – )

b.f(x) = cos5 (3 – 2x)

(skor maksimum 10)

y = cosnu y = –n cosn – 1u . sin u . u
maka
𝑓′(𝑥) = –5 cos4 (3 – 2x) sin (3 – 2x) (–2)
= 10 cos4 (3 – 2x) sin (3 – 2x)

= 5 cos3 (3 – 2x) [2 cos(3 – 2x) sin(3 – 2x)
= 5 cos3 (3 – 2x) sin 2(3 – 2x)
= 5 cos3 (3 – 2x) sin(6 – 4x)

c.𝑓(𝑥) = 𝑥cos22𝑥 − 2𝑥3

(skor maksimum 10)

𝑓′(𝑥) = 1. cos22𝑥 + 𝑥. (2. cos2𝑥. (−sin2𝑥). 2) − 6𝑥2

= cos22𝑥 − 4𝑥. cos 2𝑥 sin2𝑥 − 6𝑥2
= cos22𝑥 − 2𝑥. (2 cos 2𝑥 sin2𝑥) − 6𝑥2
= cos22𝑥 − 2𝑥. sin2(2𝑥) − 6𝑥2
= cos22𝑥 − 2𝑥. sin 4𝑥 − 6𝑥2

2.a. Jika 𝑓(𝑥) = 4 cos3𝑥, maka tentukan nilai 𝑓′(𝑥) untuk 𝑥 =

𝜋
3

Penyelesaian:

(skor maksimum 10)

𝑓(𝑥) = 4 cos3𝑥
𝑓′(𝑥) = 4.3. cos2𝑥. (−sin𝑥)
𝑓′(𝑥) = −12. sin𝑥. cos2𝑥

𝑓′(𝜋

3) = −12 sin𝜋

3. cos2 𝜋

3

= −12 (1

2 √3) (1

2)

2

= − 3

2 √3

b. Jika 𝑓(𝑥) = sin2(2𝑥 +

𝜋
6), maka tentukan nilai 𝑓′(0).

Penyelesaian:

(skor maksimum 10)

𝑓(𝑥) = sin2(2𝑥 +

𝜋
6)

𝑓′(𝑥) = 2. sin(2𝑥 + 𝜋

6) . cos(2𝑥 + 𝜋

6).2

𝑓′(𝑥) = sin2 ((2𝑥 + 𝜋

6)) . 2

𝑓′(0) = 2. sin2(2.0 + 𝜋

6)

= 2. sin 2𝜋

6

= 2. sin𝜋

3

= 2. 1

2

Modul Matematika Peminatan Kelas XII KD 3.3

@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN

32

= 1

3.Tentukan turunan kedua dari fungsi trigonometri berikut.

a.y = cos (2x + )
b.y = sin2x
Penyelesaian:

a.y = cos (2x + )

(skor maksimum 10)

y = –2 sin (2x + )

(turunan y = cos u adalah y  = –u  sin u)

y = –4cos (2x + )

(turunan y = sin u adalah y  = u  cos u)

b.y = sin2x

(skor maksimum 10)

y = 2 sin x cos x

(turunan y = u2 adalah y  =2u . u )

y = sin 2x

(sin 2x = 2 sin x cos x)

y = 2 cos 2x

(turunan y = sin u adalah y  = u  cos u)

4.Sebuah gelombang transversal merambat dengan persamaan

𝑦 = 2 sin(5𝜋𝑡 − 𝜋𝑥). Sebuah penelitian dilakukan pada jarak 4 meter dari pusat
gelombang. Berapakah kecepatan dan percepatan partikel gelombang itu pada saat
detik ke-2?
Penyelesaian:

(skor maksimum 10)

𝑦 = 2 sin(5𝜋𝑡 − 𝜋𝑥)
Persamaan kecepatan dan percepatan gelombang tersebut adalah:
𝑣 = 𝑦′= (5𝜋) 2 cos(5𝜋𝑡 − 𝜋𝑥) = 10𝜋 cos(5𝜋𝑡 − 𝜋𝑥), dan
𝑎 = 𝑣′= 𝑦′′= −(5𝜋)10𝜋 sin(5𝜋𝑡 − 𝜋𝑥) = −50𝜋2sin(5𝜋𝑡 − 𝜋𝑥)
Pada saat t = 2 detik dan x = 4 meter, maka
𝑣 = 10𝜋 cos൫5𝜋(2) − 𝜋(4)൯ = 10𝜋 cos(6𝜋) = 10𝜋
𝑎 = −50𝜋2sin൫5𝜋(2) − 𝜋(4)൯ = −50𝜋2sin(6𝜋) = 0
Jadi, kecepatan partikel gelombang pada detik ke-2 di posisi 4 meter dari pusat
gelombang adalah 10𝜋 m/detik dan percepatan partikel gelombangnya adalah 0.

5.Disebuah menara yang tingginya 100 m dari atas tanah, seorang penjaga pantai

melihat sebuah kapal mendekat dengan laju 5 m/s. Tentukan laju perubahan sudut
depresi penjaga pantai terhadap waktu pada saat jarak kapal terhadap menara 100
m.
Penyelesaian:

(skor maksimum 10)

Perhatikan gambar berikut:

100 m

Kapal

Diketahui :

𝑑𝑥

𝑑𝑡= 5 m/s, AB = 100 m, BC = 100 m

Ditanyakan :

𝑑𝛽

𝑑𝑡

Dari ∆𝐴𝐵𝐶, perhatikan

cot 𝛽 = 𝐵𝐶

𝐴𝐵 = 𝑥

100

𝑥 = 100. cot 𝛽
Ruas kiri dan ruas kanan diturunkan terhadap t.
𝑑𝑥
𝑑𝑡= 100. (−csc2𝛽)

𝑑𝛽
𝑑𝑡,

A

B

C

x

β

β

Modul Matematika Peminatan Kelas XII KD 3.3

@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN

33

Subtitusikan

𝑑𝑥
𝑑𝑡= 5 dan tan𝛽 =

𝐵𝐶
𝐴𝐵=

100
100= 1 → 𝛽 =

𝜋
4

5 = 100.(−csc2 𝜋

4)

𝑑𝛽
𝑑𝑡

5

100 = −(√2)2 𝑑𝛽

𝑑𝑡

1
20= −2

𝑑𝛽
𝑑𝑡

𝑑𝛽
𝑑𝑡= −

1
40 (tanda negative hanya menunjukkan arah)

Jadi, laju perubahan sudut depresi penjaga pantai terhadap waktu

1
40 radian/sekon.

Modul Matematika Peminatan Kelas XII KD 3.3

@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN

34

E.Penilaian Diri

Ananda isilah pertanyaan pada tabel di bawah ini sesuai dengan yang Anda ketahui,
berilah penilaian secara jujur, objektif, dan penuh tanggung jawab dengan memberi
tanda centang pada kolom pilihan.

No.

Pertanyaan
Jawaban

Ya

Tidak

1.
Apakah Anda mampu menentukan turunan fungsi
trigonometri ?

2.
Apakah Anda telah memahami penggunaan aturan
rantai?

3.
Apakah Anda dapat menggunakan aturan rantai
dalam turunan fungsi trigonometri?

4.
Apakah Anda dapat menentukan turunan kedua fungsi
trigonometri?

5.

Dapatkah Anda menyelesaikan masalah penggunaan
turunan fungsi trigonometri dalam laju yang
berkaitan?

Catatan:
Bila ada jawaban "Tidak", maka segera lakukan review pembelajaran,
Bila semua jawaban "Ya", maka Anda dapat melanjutkan ke pembelajaran berikutnya.

Modul Matematika Peminatan Kelas XII KD 3.3

@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN

35

EVALUASI

Pilihlah satu jawaban yang paling tepat.

1.Jika y = 3x4 + sin 2x + cos 3x, maka dx

dy = ….

A.12x3 + 2 cos 2x + 3 sin 3x
B.12x3 + cos 2x – sin 3x
C.12x3 – 2 cos 2x + 3 sin 3x
D.12x3 – 2 cos 2x – 3 sin 3x
E.12x3 + 2 cos 2x – 3 sin 3x

2.Jika y = 3sin 2x – 2cos 3x, maka

𝑑𝑦
𝑑𝑥= ⋯.

A.6cos 2x + 6sin 3x
B.–6cos 2x – 6 sin 3x
C.6cos 2x – 6sin 3x
D.3cos 2x + 3 sin 3x
E.3cos 2x – 3sin 3x

3.Jika 𝑓(𝑥) = 𝑎 tan𝑥+ 𝑏𝑥, dengan 𝑓 ′ (

𝜋
4) = 3 dan 𝑓 ′ (

𝜋
3) = 9, nilai 𝑎 + 𝑏 = ….

A.0

B.1

C.
2
1 

D.2
E.

4.Jika f(x) = a cot x + bx dan f( 6

1 ) = 5 dan f( 4

1 ) = 1, maka nilai a.b = ….

A.–6

B.–3

C.3
D.6
E.8

5.Jika fungsi f(x) = sin ax + cos bx memenuhi f (0) = b dan f( )
a2
 = –1, maka a + b = ….

A.–1
B.0
C.1
D.2
E.3

6.Jika f(x) = x cos x, maka f(x + 2

1 ) = ….

A.– sin x – x cos x + 2

1  cos x

B.– sin x – x cos x – 2

1  cos x

C.– sin x + x cos x – 2

1  cos x

D.– sin x + x cos x + 2

1  cos x

E.– cos x + x sin x + 2

1  cos x

7.Turunan pertama fungsi f(x) = 5 sin x cos x adalah f ′ (x) = ….
A.5 sin 2x
B.5 cos 2x
C.5 sin2x cos x
D.5 sin x cos2x
E.5 sin 2x cos x

Modul Matematika Peminatan Kelas XII KD 3.3

@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN

36

8.Turunan pertama dari f(x) = (3x2 – 5)cos x adalah f  (x) = .…
A.3x sin x + (3x2 – 5) cos x
B.3x cos x + (3x2 – 5) sin x
C.–6x sin x – (3x2 – 5) cos x
D.6x cos x + (3x2 – 5) sin x
E.6x cos x – (3x2 – 5) sin x

9.Turunan pertama dari y =

x

x

x
cos

sin

sin

+
adalah y = ....

A.
2)cos

(sin

cos

x

x

x

+

B.
2)cos

(sin

1

x

x +

C.
2)cos

(sin

2

x

x +

D.
2)cos

(sin

cos

sin

x

x

x

x
+
−

E.
2)cos

(sin

cossin2

x

x

xx
+

10.Diketahui 𝑓(𝑥) =

cos𝑥

sin𝑥+cos𝑥. Jika f  (x) adalah turunan dari f (x) maka nilai dari

𝑓′ (

𝜋
4) =. . ..

A.−

1
2√2

B.−

1
2

C.

1
4√2

D.

1
2

E.

1
2√2

11.Jika f(x) =
x

x

x
sin

cos

sin+
, sin x 0 dan f(x) adalah turunan f (x), maka f( 2

 ) = ….

A.–2

B.–1

C.0
D.1
E.2

12.Nilai turunan pertama y = sin (x + 20o) pada x = 10o adalah ….

A.

1
2

B.

1
2√2

C.

1
2√3

D.−

1
2√2

E.−

1
2√3

13.Jika f(x) = – (cos 2x – sin 2x), maka f(x) adalah ….

A.2(sin x + cos x)

B.2(cos x – sin x)
C.sin x cos x
D.2 sin x cos x
E.4 sin x cos x

Modul Matematika Peminatan Kelas XII KD 3.3

@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN

37

14.Diketahui fungsi f(x) = (x + sin 3x) dan g(x)= x2. Jika u(x) = g(f(x)), maka turunan

pertama dari u(x) adalah u′(x) = ....
A.2 (x + sin 3x + 3 x sin 3x + 3 sin2 3x)
B.2x + 2 sin 3x + 6 x cos 3x + 3 sin 6x
C.2x + 6 sin 3x + cos 3x
D.2 (x + sin 3x + 3 sin 3x + sin2 3x)
E.2x + 6 sin 3x + 3x cos 3x + sin 3x cos 3x

15.Turunan pertama f(x) = cos³ x adalah ….

A.f  (x) = −

3
2cos𝑥 sin 2𝑥

B.f  (x) =

3
2cos 𝑥 sin2𝑥

C.f  (x) = −3 sin𝑥 cos 𝑥

D.f  (x) = 3 sin 𝑥 cos𝑥

E.f  (x) = −3cos2x

16.Diketahui 𝐹(𝑥) = sin2(2𝑥 + 3). Turunan pertama dari 𝐹(𝑥)adalah….

A.𝐹′(𝑥) = −4sin(4𝑥 + 6)
B.𝐹′(𝑥) = −2sin(4𝑥 + 6)
C.𝐹′(𝑥) = sin(4𝑥 + 6)
D.𝐹′(𝑥) = 2sin(4𝑥 + 6)
E.𝐹′(𝑥) = 4sin(4𝑥 + 6)

17.Turunan pertama dari 𝑓(𝑥) = √sin23𝑥

3

adalah 𝑓′(𝑥) =. . ..

A.

2
3cos−1

33𝑥

B.2cos−1

33𝑥

C.

2
3cos−1

33𝑥sin3𝑥

D.−2cot3𝑥 ⋅ √sin23𝑥

3

E.2cot3𝑥 ⋅ √sin23𝑥

3

18.Jika 𝑓(𝑥) = sin2(2𝑥 +

𝜋
6), maka nilai dari 𝑓′(0) =. . ..

A.2√3
B.2
C.√3
D.

1
2√3

E.

1
2√2

19.Diketahui y = x cos x, maka y  + y = ….

A.sin x cos x

B.2 cos x
C.– 2 sin x
D.cos x – sin x
E.2 cos x – 1

20.Turunan kedua dari f(x)= cos2 2x adalah ....

A.–6 sin 2x

B.–8 cos 4x

C.8 cos 4x
D.8 sin 4x
E.3 sin 2x cos 2x

21.Sebuah partikel sedang bergerak dengan persamaan perpindahan dari titik awal gerak

𝑥 = 5 cos(2𝑡 −

𝜋
3) dengan x dalam meter dan t dalam sekon. Kecepatan awal partikel

adalah ….

Modul Matematika Peminatan Kelas XII KD 3.3

@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN

38

A.2
B.3
C.4
D.5
E.5√3

22.Sebuah gelombang merambat dengan persamaan 𝑦 = 3 sin(2𝜋𝑡 − 𝜋𝑥). Sebuah

penelitian dilakukan pada jarak 2 meter dari pusat gelombang. Kecepatan gelombang
itu pada saat detik ke-2 adalah ….
A.3 m/detik
B.4 m/detik
C.6 m/detik
D.7 m/detik
E.8 m/detik

23.Rata-rata pertumbuhan suatu bakteri setelah t detik diberikan oleh persamaan

N(t) = cos t + 5 tan 5t. Laju sesaat pertumbuhan bakteri tersebut ketika mencapai 30
detik ….
A.

197
12 bakteri/detik

B.

197

6 bakteri/detik

C.

100

3 bakteri/detik

D.

197

3 bakteri/detik

E.

197

2 bakteri/detik

24.Sebuah layang-layang terbang 100 kaki di atas tanah, bergerak dalam arah horizontal

dengan laju 10 kaki / detik. Seberapa cepat sudut antara tali dan perubahan horizontal
ketika panjang tali yang terulur 300 kaki keluar?
A.

1
90

B.

1
45

C.

1
30

D.30
E.90

25.Dua sisi sebuah segitiga mempunyai panjang 4 m dan 5 m dan sudut diantaranya

bertambah pada laju 0,06 radial/detik. Laju bertambahnya luas segitiga pada waktu
sudut antar sisi panjang tetap

𝜋
3 adalah ….

A.0,03 m2/detik
B.0,1 m2/detik
C.0,2 m2/detik
D.0,3 m2/detik
E.0,6 m2/detik

Modul Matematika Peminatan Kelas XII KD 3.3

@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN

39

KUNCI JAWABAN EVALUASI

1.E

2.A

3.A

4.D

5.D

6.B

7.B

8.E

9.B

10.A
11.B
12.C
13.E
14.B
15.A
16.D
17.E
18.C
19.B
20.B
21.D
22.C
23.B
24.A
25.D

Modul Matematika Peminatan Kelas XII KD 3.3

@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN

40

DAFTAR PUSTAKA

Chakrabarti, J, et al. 2014. Matematika untuk SMA Kelas XI Peminatan Matematika dan Ilmu

Alam. Bogor: Quadra.

Kanginan, Marthen. 2016. Matematika Kelas XII Peminatan. Bandung: Yrama Widya.

Priatna, Nanang dan Titi Sukamto. 2016. Buku Siswa Aktif dan Kreatif Belajar Matematika

untuk SMA/MA Kelas XII Peminatan Matematika dan Ilmu-Ilmu Alam. Bandung:
Grafindo Media Pratama.

Purcell, E.J., dan Dale Varberg. 1990. Kalkulus dan Geometri Analitis Edisi Keempat. Jakarta:

Erlangga.

Setiawan. 2004. Pengantar Kalkulus. Yogyakarta: PPPG Matematika.

Simangunsong, W., dan Frederik M. Poyk. 2016. Matematika Peminatan Kelas XII SMA/MA.

Jakarta: Gematama.

Soedyarto, Nugroho. 2008. Matematika Aplikasi Jilid 2. Jakarta: Pusat Perbukuan

Depatemen Pendidikan Nasional.

Suparmin dan Aditya Nur Rochma. 2016. Matematika Peminatan Matematika dan Ilmu-ilmu

Alam untuk SMA/MA Kelas XII. Surakarta: Mediatama.

Stewart, James. 2001. Kalkulus Edisi Keempat. Jakarta: Erlangga.