PPT MTK KELAS 8

7/31/2024

1

MATEMATIKA
KELAS VIII

SEMESTER SATU/GANJIL
MATERI DAN LATIHAN

BAB II

RELASI DAN FUNGSI

7/31/2024

2

SELAMAT BELAJAR

SEMOGA BERHASIL

DAN SUKSES

7/31/2024

3

Oleh :

Muhamad Sidiq

A410080079

7/31/2024

4

A. RELASI

1. Pengertian Relasi

Relasi ( hubungan ) dari himpunan A ke B

adalah pemasangan anggota

-

anggota A

dengan anggota

-

anggota B.

Relasi dalam matematika misalnya : lebih dari ,

kurang dari , setengah dari , faktor dari , dan

sebagainya .

Contoh :

Diketahui A = { 1, 2, 3, 4 } dan B = { 1, 2, 3 } . Jika

himpunan A ke himpunan B dinyatakan relasi

“ kurang dari “ , maka lebih jelasnya dapat

ditunjukkan pada gambar di bawah :

7/31/2024

5

Diagram disamping
dinamakan diagram panah .
Arah relasi ditunjukkan
dengan anak panah dan
nama relasinya adalah

“ kurang dari “

1 .
2 .
3 .
4 .

.1
.2
.3

B

A

Kurang dari

7/31/2024

6

2. Menyatakan Relasi

Relasi antara dua himpunan dapat dinyatakan
dengan 3 cara , yaitu : Diagram Panah , Diagram
Cartesius , dan Himpunan pasangan berurutan .
a. Diagram Panah

Contoh :
1. Jika Anto suka sepakbola , Andi suka voli
dan bulutangkis serta Budi dan Badri suka
basket dan sepakbola . Buatlah Diagram
Panah keadaan tersebut apabila A adalah
himpunan anak dan B adalah himpunan
olahraga .

7/31/2024

7

. Voli

. Basket

. Bulutangkis

. Sepakbola

Anto .

Andi .

Budi .

Badri .

B

A
Suka akan

7/31/2024

8

2. Diketahui P = { 1, 2, 3, 4 } dan

Q = { 2, 4, 6, 8 } . Gambarlah diagram

panah yang menyatakan relasi dari P

dan Q dengan hubungan :

a. Setengah dari

b. Faktor dari

Jawab : a.

1

. 2

. 4

. 6

. 8

1 .

2 .

3 .

4 .

Q

P

Setengah dari

7/31/2024

9

b.

. 2

. 4

. 6

. 8

1

.

2

.

3

.

4

.

Q
P Faktor dari

7/31/2024

10

b. Diagram Cartesius

Contoh :

Diketahui A = { 1, 2, 3, 4, 5 } dan

B = { 1, 2, 3, …, 10 }.

Gambarlah diagram cartesius yang

menyatakan relasi A ke B dengan

hubungan :

a. Satu lebihnya dari

b. Akar kuadrat dari

7/31/2024

11

Jawab

:

a . Satu lebihnya dari

1

1

23

45

67

9

8

10
0

2

3
4

5

6

7

8

9

10

Himpunan B

Himpunan A

7/31/2024

12

Jawab :

b. Akar kuadrat dari

1

1

23

45

67

9

8

10
0

2

3
4

5

6

7

8

9

10

Himpunan B

Himpunan A

7/31/2024

13

C

. Himpunan pasangan berurutan

Contoh :

Himpunan A = { 1, 2, 3, … , 25} dan

B = { 1, 2, 3, … , 10 } .

Tentukan himpunan pasangan berurutan yang
menyatakan relasi A ke B dengan hubungan :

a. kuadrat dari

b. dua kali dari

c. Satu kurangnya dari

7/31/2024

14

Jawab :

a. { (1,1), (4,2), (9,3),(16,4), (25,5) }

b. { (2,1), (4,2), (6,3), (8,4), (10,5), (12,6),

(14,7),(16,8), (18,9),(20,10) }

c. { (1,2) , (2,3), (3,4), (4,5), (5,6), (6,7),

(7,8), (8,9), (9,10) }

7/31/2024

15

B. FUNGSI
1. Pengertian Fungsi

Sebuah fungsi f : x  y adalah suatu aturan
yang memasangkan tiap anggota x pada
suatu himpunan (daerah asal / domain),
dengan tepat sebuah nilai y dari himpunan
kedua (daerah kawan / kodomain).
Himpunan nilai yang diperoleh disebut daerah
hasil / range fungsi tersebut .

Untuk lebih memahami pengertian diatas
perhatikan contoh berikut :

7/31/2024

16

Contoh :

Perhatikan diagram panah dibawah ini :

. 1

. 2

. 3

. 4

. 5

0 .

2 .

4 .

6 .

B

A

Daerah kawan/
kodomain

Daerah asal/
Domain

Daerah hasil/
Range

7/31/2024

17

D

ari diagram panah diatas dapat dilihat bahwa :

1.

Fungsi A ke B adalah relasi khusus yang

memasangkan setiap anggota A dengan

tepat satu anggota B.

2. Himpunan A = { 0, 2, 4, 6 } disebut daerah

asal ( Domain ), Himpunan B = { 1, 2, 3, 4, 5 }

disebut daerah kawan ( Kodomain ), dan

{ 1, 2, 5 } disebut daerah hasil ( Range ).

7/31/2024

18

2. Notasi Fungsi

Fungsi/ pemetaan dapat dinotasikan
dengan huruf kecil f , g , h , dan
sebagainya.
Misal :
f : x  y dibaca f memetakkan x ke y ,
maka
y = f(x) dibaca sama dengan f dari x
digunakan untuk menunjukkan bahwa y
adalah fungsi dari x .

7/31/2024

19

S

uatu fungsi juga dapat dinyatakan dengan tiga

cara yaitu

dengan diagram panah , diagram

cartesius , dan himpunan pasangan berurutan .

Contoh :
Diketahui A = { a, i, u, e, o } dan B = { 1, 2, 3, 4 }
a. Buatlah diagram panah yang menunjukkan

pemetaan f yang ditentukan oleh : a  1 ,
i  2 , u  1 , e  4 , o  2 .

b. Nyatakan pula dengan diagram cartesius
c . Nyatakan pula f sebagai himpunan

pasangan berurutan .

7/31/2024

20

Jawab :

a . Diagram panah

. 1

. 2

. 3

. 4

a .

i .

u .

e .

o .

B

A

7/31/2024

21

b. Diagram cartesius

1

ai

ue

o
0

2

3
4

5

6

7

8

9

10

7/31/2024

22

{ (a , 1) , (i , 2) , (u , 1) , (e , 4) , (o , 2) }

c. Himpunan pasangan berurutan

7/31/2024

23

3. Banyaknya pemetaan dari dua himpunan

Jika n(A) = a , dan n(B) = b , maka banyak
pemetaan yang mungkin terjadi dari
himpunan A ke B adalah badan
himpunan B ke A adalah ab

Contoh :
Berapa banyaknya pemetaan yang mungkin
terjadi untuk pemetaan berikut :

a. Dari himpunan A = {a} dan B = {1}
b. Dari himpunan C = {1} dan D = { a , b }

7/31/2024

24

c. Dari himpunan E = {a,b} dan F = {1}
d. Dari himpunan G = {1} dan H = { a,b,c }
e. Dari himpunan I = {1,2} dan J = { a,b}
f. Dari himpunan K = {a,i,u,e,o} dan L = {1,2,3}
g. Dari himpunan M = {a,b,c,d} dan N = {1,2,3,4,5}

Jawab :

a. n(A) = 1 , n(B) = 1

Banyak pemetaan 11= 1

b. n(C) = 1 , n(D) = 2

Banyak pemetaan 21= 2

7/31/2024

25

c. n(E) = 2 , n(F) = 1

Banyak pemetaan 12= 1

d. n(G) = 1 , n(H) = 3

Banyak pemetaan 31= 3

e. n(I) = 2 , n(J) = 2

Banyak pemetaan 22= 4

f. n(K) = 5 , n(L) = 3

Banyak pemetaan 35= 243

g. n(M) = 4 , n(N) = 5

Banyak pemetaan 54= 625

7/31/2024

26

f : x  y dibaca f memetakkan x ke y dan
dapat dinyatakan dengan f(x) .
Maka rumus fungsi dapat ditulis f(x) = y .
Contoh :
Diketahui suatu fungsi f : x  x + 2 dengan
daerah asal fungsi { x/ 1

< x

<

6, x  A}

a. Tentukan rumus fungsi !
b. Tentukan daerah asal fungsi !
c . Tentukan daerah hasil fungsi !
d. Jika f(x) = 15 , maka tentukan nilai x !

4. Merumuskan suatu fungsi

7/31/2024

27

a. Rumus fungsi f(x) = x +2
b. Daerah asal = { 2, 3, 4, 5 }
c. Daerah hasil : f(x) = x + 2

untuk x = 2  f(x) = 2 + 2 = 4

x = 3  f(x) = 3 + 2 = 5
x = 4  f(x) = 4 + 2 = 6
x = 5  f(x) = 5 + 2 = 7

Jadi daerah hasil fungsi : { 4, 5, 6, 7 }

d. f(x) = 15 x + 2 = 15

x = 15 – 2
x = 13 Jadi nilai x = 13

Jawab :

7/31/2024

28

Uji Kompetensi 4

1. Diketahui A = { 2, 3, 4, 5 } dan B = { 0, 1, 2, 3, }

Relasi A ke B adalah “ dua lebihnya dari “ ,
maka :
a. Himpunan pasangan berurutan :

{ ( 2,0), (3,…), (…,2), (…,…) }

b. Diagram Panah

B

A

7/31/2024

29

Pembahasan

1. Diketahui A = { 2, 3, 4, 5 } dan B = { 0, 1, 2, 3, }

Relasi A ke B adalah “ dua lebihnya dari “ ,
maka :
a. Himpunan pasangan berurutan :

{ ( 2,0), (3,1), (4,2), (5,3) }

b. Diagram Panah

B

A

.0
. 1
. 2
. 3

2 .
3 .
4 .
5 .

Dua lebihnya dari

7/31/2024

30

2. Gambarlah relasi-relasi berikut dengan

diagram panah. Kemudian tentukan
termasuk fungsi atau bukan fungsi !

a. { (1,2), (1,3), (2,4), (3,5) }
b. { (1,1), (2,2), (3,3) }
c. { (3,4), (5,6), (7,8) }
d. { (2,3), (3,4), (4,5) }

7/31/2024

31

Pembahasan

a. { (1,2), (1,3), (2,4), (3,5) }

bukan fungsi karena ada anggota x
yang berpasangan lebih dari satu
dengan anggota y .

. 2
. 3
. 4
. 5

1 .
2 .
3 .

Bukan fungsi

y

x

7/31/2024

32

b. { (1,1), (2,2), (3,3) }

1 .

2 .

3 .

. 1

. 2

. 3

Fungsi

B

A

7/31/2024

33

c. { (3,4), (5,6), (7,8) }

. 4

. 6

. 8

3 .

5 .

7 .

Fungsi

P

Q

7/31/2024

34

d. { (2,3), (3,4), (4,5) }

. 3

. 4

. 5

2 .

3 .

4 .

Fungsi

K

L

7/31/2024

35

3 . Fungsi f : x  x + 3 mempunyai domain

{ -2, -1, 0, 1, 2 } .
a. Tunjukkan fungsi f dalam diagram panah .
b. Nyatakan dalam himpunan pasangan

berurutan .

c. Tulis range dari f .

7/31/2024

36

Pembahasan

a. Fungsi f : x  x + 3 , jadi f(x) = x + 3

Untuk x = -2 maka f(-2) = -2 + 3 = 1

x = -1 maka f(-1) = -1 + 3 = 2
x = 0 maka f(0) = 0 + 3 = 3
x = 1 maka f(1) = 1 + 3 = 4
x = 2 maka f(2) = 2 + 3 = 5

. 1
. 2
. 3
. 4
. 5

-2 .
-1 .
0 .
1 .
2 .

x+3

x

7/31/2024

37

b. Himpunan pasangan berurutan

{ (-2,1), (-1,2), (0,3), (1,4), (2,5) }

c. Range (daerah hasil ) = ( 1, 2, 3, 4, 5 )

7/31/2024

38

4. Suatu persamaan fungsi f(x) = ½ x + 1 dengan

daerah asal { 2, 4, 6, 8, 10 } .
Tentukan :
a. Daerah hasil / bayangan .
b. Himpunan pasangan berurutan .

7/31/2024

39

Pembahasan :

a. f(x) = ½ x + 1

f(2) = ½ . 2 + 1 = 1 + 1 = 2
f(4) = ½ . 4 + 1 = 2 + 1 = 3
f(6) = ½ . 6 + 1 = 3 + 1 = 4
f(8) = ½ . 8 + 1 = 4 + 1 = 5
f(10) = ½ . 10 + 1 = 5 + 1 = 6
Jadi Range / daerah hasil / daerah
bayangan = { 2, 3, 4, 5, 6 }

b. Himpunan pasangan berurutan

{ (2,2), (4,3), (6,4), (8,5), (10,6) }

7/31/2024

40

5. Dengan tanpa membuat diagram panahnya

terlebih dahulu , tentukan banyaknya

pemetaan yang mungkin dari :

a. A = {a, b, c} B = {1, 2}

b. A = {1, 2} B = {a, b, c}

c. A = {a, b, c} B = {1, 2, 3}

d. A = {a, b, c} B = {1, 2, 3, 4}

e. A = {1, 2} B = {a, b, c, d}

7/31/2024

41

Pembahasan

a. A = {a, b, c} B = {1, 2}

------

2

3

= 8

b. A = {1, 2} B = {a, b, c}

-----

3

2

= 9

c. A = {a, b, c} B = {1, 2, 3}

-------

3

3

= 27

d. A = {a, b, c} B = {1, 2, 3, 4}

-----

4

3

= 64

e. A = {1, 2} B = {a, b, c, d}

-----

4

2

= 16

7/31/2024

42

7/31/2024

43

C. Menghitung Nilai Fungsi

Untuk menghitung nilai fungsi dapat

digunakan rumus :

f (x) = ax + b

Contoh :

1. Suatu fungsi ditentukan dengan f : x 

5x

-

3

Tentukan :

a. Rumus funsi .

b. Nilai fungsi untuk x = 4 dan x =

-

1 .

7/31/2024

44

Jawab :

a. Rumus fungsinya f(x) = 5x

–

3

b. Nilai fungsi f(x) = 5x

–

3

untuk x = 4 maka f(4) = 5 . 4

–

3 = 17

x =

-

1 maka f(

-

1) = 5 .(

-

1)

–

3 =

-

8

Jadi nilai fungsi untuk x = 4 adalah 17 dan

x =

-

1 adalah

-

8

7/31/2024

45

2.

Suatu fungsi dirumuskan g (x) = -4x + 3
Tentukan :
a. g ( -2 )
b. Nilai a jika g (a) = -5

7/31/2024

46

Jawab :

a. g (x) = -4x + 3

g (- 2 ) = -4 . (- 2 ) + 3

= 8 + 3
= 11

b. g (a) = - 4a + 3

- 4a + 3 = - 5
- 4a = - 5 – 3
- 4a = - 8

a = 2

7/31/2024

47

D. MENENTUKAN BENTUK FUNGSI

Suatu fungsi dapat ditentukan bentuknya jika

data fungsi diketahui . Bentuk fungsi linier

dapat dirumuskan sebagai f (x) = ax + b .

Contoh :

Suatu fungsi ditentukan dengan rumus

f (x) = ax + b , jika f (2) = 10 dan f (

-

4) =

-

8 .

Tentukan :

a. Nilai a dan b

b. Bentuk fungsinya

c. Bayangan dari

–

3

7/31/2024

48

Jawab :

a. f (x) = ax + b

f (2) = 2a + b = 10  2a + b = 10

f (

-

4) =

-

4a + b =

-

8 

-

4a + b =

-

8

-

6a = 18

a = 3

untuk a = 3  2a + b = 10

2 . 3 + b = 10
6 + b = 10

b = 4

Jadi , nilai a = 3 dan b = 4

7/31/2024

49

b. f (x) = ax + b

f (x) = 3x + 4

Jadi , bentuk fungsinya f (x) = 3x + 4

c. Bayangan dari

–

3

f (x) = 3x + 4

f (

-

3) = 3 (

-

3 ) + 4

=

-

9 + 4

=

-

5

7/31/2024

50

Uji Kompetensi 5

1 . Sebuah fungsi dirumuskan f (x) = x + 1

a. Tentukan f (2) , f (

-

3) , f ( ½ ) !

b. Tulislah daerah hasilnya !

c . Jika f (a) = 3 maka tentukan nilai a !

7/31/2024

51

Pembahasan

a . f (x) = x + 1

f (2) = 2 + 1 = 3

f (

-

3) =

-

3 + 1 =

-

2

f ( ½ ) = ½ + 1 = 1 ½

b. Daerah hasil = { (2,3),(

-

3,½),(½, 1 ½) }

c. f (a) = a + 1

3 = a + 1

a = 2

7/31/2024

52

2 . Sebuah fungsi h dirumuskan h (x) = x

2

–

4

a. Hitunglah h (

-

3) , h (5) , dan h (½) !

b. Tentukan p bila h (p) = 0 !

7/31/2024

53

Pembahasan

a. h (x) = x

2

–

4

h (

-

3) = (

-

3)

2

–

4 = 9

–

4 = 5

h (5) = (5)

2

–

4 = 25

–

4 = 21

h (½) = (½)

2

–

4 = ¼

-

4 =

-

3

3

/

4

b. h (p) = p

2

–

4

h (p) = 0

0 = p

2

-

4

p

2

= 4

p = 2

7/31/2024

54

3 . Diketahui f (x) = ax + b , jika f (1) =

-

3 dan

f (0) =

-

1 . Tentukan :

a. Nilai a dan b

b. Bentuk fungsinya

7/31/2024

55

Pembahasan

a. f (x) = ax + b

f (1) = a + b = 3  a + b = 3

f (0) = b =

-

1 

b =

-

1

-

a = 4

Jadi a = 4 dan b =

-

1

b. bentuk fungsinya adalah : f (x) = 4x

-

1

7/31/2024

56

7/31/2024

57

E. Menggambar Grafik Fungsi

Untuk menggambar grafik fungsi ada

cara yang mudah yang dapat dilakukan

terlebih dahulu yaitu membuat tabel

dengan mendaftar semua daerah asalnya .

1. Grafik Fungsi Linier

Contoh :

1. Gambarlah grafik fungsi f (x) = x +1

dengan domain {x/0 x 5 , x 

C}




7/31/2024

58

Jawab :

f (x) = x +1 daerah asal = { 0,1,2,3,4,5 }

{x,f(x)}

x+1

x

(2,3)

0

1

2

3

4

5

1

2

3

4

5

6

(0,1) (1,2)

(3,4) (4,5) (5,6)

7/31/2024

59

Grafiknya :

f (x) = x + 1 , x 

c (0,1,2,3,4,5)

{(0,1),(1,2),(2,3),(3,4),(4,5),(5,6)}

1

12

34

5
0

2

3
4

5

6

7

8

9

10

x + 1

x

7/31/2024

60

2. a. Buatlah tabel fungsi g : x  -2x + 1

dengan

daerah asal {

-

4,

-

3,

-

2,

-

1,0,1,2,3 } !

b. Berdasarkan tabel tersebut tentukan :

(i) bayangan dari

-

2 , 0 , dan 2 !

(ii) himpunan pasangan berurutan !

(iii) gambarlah grafik fungsi tersebut pada

bidang cartesius , kemudian

hubungkan titik

-

titik tersebut sehingga

menjadi suatu garis lurus.

7/31/2024

61

Jawab :

a. g (x) =

-

2x + 1

1

x

-4

-3

-2

-1

0

1
2

3

-2x

1

g (x)

8

6

4

2

0

-2

-4

-6

1

9

7

5

3
-1

-3

-5

1
1

1

1

1

1

1

7/31/2024

62

b. (i) Bayangan dari :

-

2 adalah 5

0 adalah 1

2 adalah

-

3

(ii) Himpunan pasangan berurutan :

{ (

-

4,9),(

-

3,7),(

-

2,5),(

-

1,3),(0,1),(1,

-

1),

(2,

-

3),(3,

-

5) }

7/31/2024

63

(iii) Grafiknya :
9

0

-1

-2-3

-4

-1

-2

-3

-4
-5

12

3

1
2

3

4

5

6
7
8

g (x) = -2x + 1

7/31/2024

64

7/31/2024

65

Uji Kompetensi 6

1. Tentukanlah f (x) = 2x untuk daerah asal

{ x/

-

4 x < 4 , x 

B }.

a. Buatlah tabel fungsinya !

b. Tulislah rangenya !

c. Gambarlah grafik fungsinya !



7/31/2024

66

Pembahasan

a. Tabel fungsi : f(x) = 2x

-8

x

f(x)

x, f(x)

-4

3

2

1

0

-1

-2

-3

-6

6

-4

-2

0

2

4

(-2,-4)

(-4,-8) (-3,-6)

(-1,-2) (0,0)

(1,2) (2,4)

(3,6)

b. Range : {

-

8,

-

6,

-

4,

-

2,0,2,4,6 }

7/31/2024

67

Grafiknya :

9

0

-1

-2-3

-4

-1

-2

-3

-4
-5

12

3

1
2

3

4

5

6
7
8

-6