Eksponensial

2 | E k s p o n e n s i a l d a n L o g a r i t m a

1.Bentuk Eksponensial

Konsep

𝑎𝑛= 𝑎 × 𝑎 × 𝑎 × … × 𝑎

n faktor

Contoh 1.

23= 2 × 2 × 2 = 8

(−3)2= (−3) × (−3) = 9

(1
5)

3

= (1

5) × (1

5) × (1

5) =
1

125

Sifat Bilangan Eksponensial.
Dengan 𝑎 > 0 dan 𝑎 ≠ 0

a.𝑎𝑛× 𝑎𝑚= 𝑎𝑛+𝑚

b.𝑎𝑛÷ 𝑎𝑚= 𝑎𝑛−𝑚

c.(𝑎𝑛)𝑚= 𝑎𝑛.𝑚

d.(𝑎𝑏)𝑛= 𝑎𝑛. 𝑏𝑚

e.(

𝑎

𝑏)

𝑛

=

𝑎𝑛

𝑏𝑛

f.𝑎−𝑛=

1

𝑎𝑛

g.√𝑎𝑚𝑛= 𝑎

𝑚
𝑛

h.𝑎0= 1

2.Fungsi Eksponensial

Fungsi eksponensial f dengan bilangan pokok a adalah fungsi yang memetakan setiap

bilangan real x ke 𝑎𝑥 dengan 𝑎 > 0 dan 𝑎 ≠ 1 dan ditulis sebagai :
Bentuk pemetaan

: f : 𝑥 → 𝑎𝑥, dengan 𝑎 > 0 dan 𝑎 ≠ 1 atau

Bentuk formula

: 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥, dengan 𝑎 > 0 dan 𝑎 ≠ 1

Contoh 2.

Diberikan 𝑓(𝑥) = 22𝑥−1, carilah nilai dari 𝑓(2) dan 𝑓 (

1

2)

Jawab :

𝑓(2) = 22.2−1

𝑓 (

1

2) = 22.1

2−1

𝑓(2) = 23

𝑓 (

1

2) = 20

𝑓(2) = 8

𝑓 (

1

2) = 1

Dengan :

a = Bilangan pokok

n = Bilangan pangkat/eksponen

EKSPONENSIAL

3| E k s p o n e n s i a l d a n L o g a r i t m a

3.Grafik Fungsi Eksponensial

Ingatkah ananda bagaimana cara melukis grafik fungsi? Ya, pertama kita bikin dulu

tablenya, setelah itu lukiskan koordinat-koordinatnya.

Contoh 3.
Lukislah grafik fungsi 𝑦 = 2𝑥 dengan 𝑥 ∈ 𝑅

Jawab :
Table Koordinat

x

-3

-2

-1

0

1

2

3

𝒚 = 𝟐𝒙
1
8
1
4
1
2

1

2

4

8

(x,y) (−𝟑, 𝟏

𝟖)(−𝟐, 𝟏

𝟒)(−𝟏, 𝟏

𝟐)(𝟎, 𝟏)(𝟏, 𝟐)(𝟐, 𝟒)(𝟑, 𝟖)

Lukiskanlah koordinat-koordinat yang diperoleh ke dalam koordinat kartesius

Latihan 1.

1.Sederhanakanlah bentuk eksponensial berikut ini ke dalam bentuk pangkat bilangan

positif

a.(

81

64)

1
2 × (

4

27)

−2

b.√16

3÷ 27−2

c.23√163× (

1

8)

−3

2.Lukislah grafik fungsi𝑓(𝑥) = (

1

2)

−𝑥+1

dengan 𝑥 ∈ 𝑅

4| E k s p o n e n s i a l d a n L o g a r i t m a

4.Persamaan Eksponensial

a.Bentuk 𝒂𝒇(𝒙)= 𝒂𝒑

Jika 𝒂𝒇(𝒙)= 𝒂𝒑dengan 𝒂 > 𝟎dan 𝒂 ≠ 𝟎, maka 𝒇(𝒙) = 𝒑
Contoh 4.

1)8𝑥+2= 0,125
8𝑥+2=

1

8

8𝑥+2= 8−1

𝑥 + 2 = −1

𝑥 = −3

2)52𝑥2−9𝑥−2=

1

25

52𝑥2−9𝑥−2= 5−2
2𝑥2− 9𝑥 − 2 = −2
2𝑥2− 9𝑥 = 0
𝑥(2𝑥 − 9) = 0
𝑥 = 0 𝑎𝑡𝑎𝑢 2𝑥 − 9 = 0

𝑥 = 0 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝑥 = 9

2

b.Bentuk 𝒂𝒇(𝒙)= 𝒂𝒈(𝒙)

Jika 𝒂𝒇(𝒙)= 𝒂𝒈(𝒙)dengan 𝒂 > 𝟎dan 𝒂 ≠ 𝟎, maka 𝒇(𝒙) = 𝒈(𝒙)

Contoh 5.

1)√92𝑥+4= (

1

3)

−(3𝑥+3)

(32)

2𝑥+4

2= (3−1)−(3𝑥+3)

32𝑥+4= 3(3𝑥+3)
2𝑥 + 4 = 3𝑥 + 3
𝑥 = 1

2)22𝑥+1√16𝑥−1=

4𝑥

8𝑥+1

22𝑥+1. (24)

𝑥−1

2 =
22𝑥

23(𝑥+1)

22𝑥+1. 22𝑥−2= 22𝑥−3𝑥−3
22𝑥+1+2𝑥−2= 2−𝑥−3
24𝑥−1= 2−𝑥−3
4𝑥 − 1 = −𝑥 − 3
5𝑥 = −2

𝑥 = − 2

5

5| E k s p o n e n s i a l d a n L o g a r i t m a

c.Bentuk 𝒂𝒇(𝒙)= 𝒃𝒇(𝒙)

Jika 𝒂𝒇(𝒙)= 𝒃𝒇(𝒙)dengan 𝒂, 𝒃 > 𝟎dan 𝒂, 𝒃 ≠ 𝟎, maka 𝒇(𝒙) = 𝟎

Contoh 6.

1)3𝑥2−4= (√2)

2𝑥2−8

𝟑𝒙𝟐−𝟒= (𝟐

𝟏
𝟐)

𝟐𝒙𝟐−𝟖

3𝑥2−4= 2𝑥2−4
𝑥2− 4 = 0
(𝑥 + 2)(𝑥 − 2) = 0
𝑥 = −2 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝑥 = 2

2)19

𝑥2−2𝑥

2= (√27)

𝑥2−2𝑥

3

19

𝑥2−2𝑥

2= (3

3
2)

𝑥2−2𝑥

3

19

𝑥2−2𝑥

2= 3

𝑥2−2𝑥

2

𝑥2− 2𝑥

2
= 0

𝑥2− 2𝑥 = 0
𝑥(𝑥 − 2) = 0
𝑥 = 0 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝑥 = 2

d.Bentuk 𝒉(𝒙)𝒇(𝒙)= 𝒉(𝒙)𝒈(𝒙)

Jika 𝒉(𝒙)𝒇(𝒙)= 𝒉(𝒙)𝒈(𝒙), maka ada empat kemungkinan penyelesaiannya yaitu
1)𝒇(𝒙) = 𝒈(𝒙)
2)𝒉(𝒙) = 𝟏
3)𝒉(𝒙) = −𝟏, dengan syarat 𝒇(𝒙), 𝒈(𝒙)sama-sama bernilai genap atau ganjil
4)𝒉(𝒙) = 𝟎, dengan syarat 𝒇(𝒙), 𝒈(𝒙) > 𝟎

Contoh 7.
Tentukanlah himpunan penyelesaian dari (𝑥 − 2)3𝑥2+5𝑥+1= (𝑥 − 2)𝑥2−2𝑥−2

Jawab :
1)𝒇(𝒙) = 𝒈(𝒙)

3𝑥2+ 5𝑥 + 1 = 𝑥2− 2𝑥 − 2
2𝑥2+ 7𝑥 + 3 = 0
(2𝑥 + 1)(𝑥 + 3) = 0
2𝑥 + 1 = 0 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝑥 + 3 = 0

𝑥 = − 1

2 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝑥 = −3

6| E k s p o n e n s i a l d a n L o g a r i t m a

2)𝒉(𝒙) = 𝟏

𝑥 − 2 = 1
𝑥 = 3

3)𝒉(𝒙) = −𝟏, dengan syarat 𝒇(𝒙), 𝒈(𝒙)sama-sama bernilai genap atau ganjil

𝑥 − 2 = −1
𝑥 = 1
𝑓(1) = 3.12+ 5.1 + 1 = 9 (ganjil)
𝑔(1) = 12− 2.1 − 2 = −3 (ganjil)

4)𝒉(𝒙) = 𝟎, dengan syarat 𝒇(𝒙), 𝒈(𝒙) > 𝟎

𝑥 − 2 = 0
𝑥 = 2
𝑓(2) = 3.22+ 5.2 + 1 = 23 , 𝑓(𝑥) > 0
𝑔(2) = 22− 2.2 − 2 = −2 , 𝑔(𝑥) < 0
Berarti 𝑥 = 2 bukan termasuk penyelesaiannya.

Maka HP = {−𝟑, −

𝟏

𝟐, 𝟑, 𝟏}

e.Bentuk 𝒇(𝒙)𝒉(𝒙)= 𝒈(𝒙)𝒉(𝒙)

Jika 𝒇(𝒙)𝒉(𝒙)= 𝒈(𝒙)𝒉(𝒙), maka ada dua kemungkinan penyelesaiannya yaitu
1)𝒇(𝒙) = 𝒈(𝒙)
2)𝒉(𝒙) = 𝟎, dengan syarat 𝒇(𝒙), 𝒈(𝒙) ≠ 𝟎

Contoh 8.
Tentukanlah himpunan penyelesaian dari (6𝑥 − 5)𝑥+7= (3𝑥 + 1)𝑥+7

Jawab :
1)𝒇(𝒙) = 𝒈(𝒙)

6𝑥 − 5 = 3𝑥 + 1
3𝑥 = 6
𝑥 = 2

2)𝒉(𝒙) = 𝟎, dengan syarat 𝒇(𝒙), 𝒈(𝒙) ≠ 𝟎
𝑥 + 7 = 0
𝑥 = −7
𝑓(−7) = 6. (−7) − 5 = −47, 𝑓(𝑥) ≠ 0
𝑔(−7) = 3. (−7) + 1 = −20, 𝑔(𝑥) ≠ 0

Maka HP = {𝟐, −𝟕}

7| E k s p o n e n s i a l d a n L o g a r i t m a

f.Bentuk 𝑨(𝒂𝒇(𝒙))

𝟐 + 𝑩(𝒂𝒇(𝒙)) + 𝑪 = 𝟎

Penyelesaiannya diperoleh dari penyelesaian persamaan kuadrat dengan memisalkan
𝒂𝒇(𝒙)= 𝒑, sehingga didapati 𝑨𝒑𝟐+ 𝑩𝒑 + 𝑪 = 𝟎

Contoh 9.
Tentukanlah himpunan penyelesaian dari 4𝑥+1+ 11. 2𝑥− 3 = 0

Jawab :

4𝑥+1+ 11. 2𝑥− 3 = 0
4. 22𝑥+ 11. 2𝑥− 3 = 0
𝑀𝑖𝑠𝑎𝑙𝑘𝑎𝑛 2𝑥= 𝑝, 𝑚𝑎𝑘𝑎
4. 𝑝2+ 11. 𝑝 − 3 = 0
(4𝑝 − 1)(𝑝 + 3) = 0

𝑝 = 1

4 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝑝 = −3

Akibatnya 2𝑥=

1

4 𝑑𝑎𝑛 2𝑥 ≠ −3

Sehingga diperoleh 𝑥 = −2
Jadi HP = {-2}

Latihan 2.

Tentukanlah himpunan penyelesaian dari persamaan berikut ini

1.52√(

1

25)

2𝑥+6

6
=

1

25

2.√32𝑥+1= 9𝑥−2

3.4𝑥2+5𝑥−6= 9𝑥2+5𝑥−6
4.(𝑥 − 1)2𝑥−9= (𝑥2− 2𝑥 + 1)3𝑥+1

5.(𝑥2− 4)3𝑥+5= (√10𝑥 − 13)

6𝑥+10

6.3𝑥+1+ 9𝑥+1= 12

5.Pertidaksamaan Eksponensial

Langkah penyelesaian dari suatu pertidaksamaan itu merupakan lanjutan dari

persamaannya, yakni setelah didapatkan nilai x maka disubtitusi dan diuji digaris
bilangannya, atau bisa ditulis :

a.Anggap pertidaksamaan itu sebagai suatu persamaan, sehingga kita bisa
menggunakan penyelesaian dari bentuk-bentuk umum persamaan eksponensial
untuk memperoleh nilai x nya.

b.Tuliskanlah nilai x itu ke dalam garis bilangan, lalu ujikan daerah penyelesaiannya.

8| E k s p o n e n s i a l d a n L o g a r i t m a

Contoh 10.

Tentukanlah himpunan penyelesaian dari √(

1

125)

5𝑥+4

3

> (

1

25)

−3

dengan 𝑥 ∈ 𝑍

Jawab :

√(

1

125)

3𝑥+4

3

> (

1

25)

−3

dengan 𝑥 ∈ 𝑍

Langkah penyelesaian
1.Anggap pertidaksamaan itu suatu persamaan

√( 1

125)

5𝑥+4

3

= ( 1

25)

−3

(1
5)

5𝑥+4

= (1

5)

−6

5𝑥 + 4 = −6
5𝑥 = −10
𝑥 = −2

2.Buat garis bilangan lalu ujikan daerahnya

+ + + + + - - - - - - -

-2 0 x
Misal x = 0

(

1

5)

5.0+4

> (

1

5)

−6

(

1

5)

4

> (

1

5)

−6

(salah)

Jadi HP = {𝒙 |𝒙 < −𝟐, 𝒙 ∈ 𝒁}

Latihan 3.

Tentukanlah himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan berikut ini

1.52(

1

√254
)

2𝑥+6

<

1

25

2.√812𝑥+1≤ 9𝑥−2

3.4𝑥2−𝑥−6≥ 9𝑥2−𝑥−6
4.(√𝑥 − 1

3

)2𝑥−9> (𝑥2− 2𝑥 + 1)3𝑥+1

5.(𝑥2− 4)3𝑥+5< (√10𝑥 − 13)

6𝑥+10

6.3.92𝑥−1− 5. 32𝑥+ 54 > 0