Search Header Logo
RUANG DAN TITIK SAMPEL

RUANG DAN TITIK SAMPEL

Assessment

Presentation

β€’

Education

β€’

University

β€’

Practice Problem

β€’

Hard

Created by

Zakfikam Suparto

Used 5+ times

FREE Resource

20 Slides β€’ 0 Questions

1

media

RUANG DAN

TITIK SAMPEL

PRINSIP-PRINSIP MENGHITUNG TITIK SAMPEL

2

media

RUANG SAMPEL

β€’ Ruang Sampel (Sample Space): Ruang sampel adalah himpunan semua

kemungkinan hasil yang dapat terjadi dari suatu percobaan acak. Setiap
elemen dalam ruang sampel disebut titik sampel. Ruang sampel biasanya
dilambangkan dengan simbol S dan elemen-elemennya (titik sampel)
dilambangkan dengan s1,s2,…,sn.

β€’ Contoh sederhana: Jika kita melempar sebuah koin, ruang sampelnya

adalah S={Kepala,Ekor}

3

media

TITIK SAMPEL

β€’ Titik sampel (Sample point) adalah setiap hasil individu yang mungkin

terjadi dari suatu percobaan.

β€’ Dalam contoh melempar koin di atas, titik sampel adalah "Kepala" dan

"Ekor".

β€’ Jadi titik sampel merupakan setiap individu dalam ruang sampel.

4

media

Prinsip Perkalian

β€’ Jika suatu percobaan terdiri dari beberapa

tahap yang independen, maka jumlah titik
sampel adalah hasil kali dari jumlah pilihan di
setiap tahap.

Contoh:
β€’ Misalkan kita melempar dua dadu. Setiap dadu

memiliki 6 sisi. Maka ruang sampelnya adalah
semua pasangan (1,1), (1,2), ..., (6,6). Jumlah
titik sampel adalah 6Γ—6=366

5

media

Prinsip Permutasi

β€’ Permutasi adalah pengurutan elemen-

elemen dari suatu himpunan di mana
urutan diperhatikan.

Contoh:
β€’ Misalkan kita memiliki 3 bola berwarna merah (R),

biru (B), dan hijau (H). Jika kita ingin mengurutkan
ketiga bola ini, berapa banyak cara yang mungkin?
Kita menggunakan rumus permutasi:

β€’
P(n)=n!

β€’
Untuk 3 bola, jumlah permutasi adalah:

β€’
P(3)=3!=3Γ—2Γ—1=6

β€’
Maka, ada 6 titik sampel: (R,B,H), (R,H,B), (B,R,H),
(B,H,R), (H,R,B), (H,B,R).

6

media

Prinsip Kombinasi

Kombinasi adalah
pemilihan elemen-elemen
dari suatu himpunan di
mana urutan tidak
diperhatikan.

Contoh:
β€’ Misalkan kita memiliki 5 siswa dan ingin memilih 3 siswa

untuk suatu tugas. Berapa banyak cara yang mungkin?

β€’
Kita menggunakan rumus kombinasi:

β€’
𝐢 𝑛, π‘Ÿ =

𝑛!

π‘Ÿ! π‘›βˆ’π‘Ÿ !

β€’
Di sini, n=5 dan r=3:

β€’
𝐢 5,3 =

5!

3! 5βˆ’3 !=

5.4.3.2.1
3.2.1.2.1=

120
12= 10

β€’
Jadi, ada 10 cara atau titik sampel.

7

media

Kesimpulan

Penghitungan titik sampel dapat dilakukan menggunakan prinsip perkalian,
permutasi, dan kombinasi tergantung pada kondisi percobaannya apakah:
1. Memperhatikan urutan atau tidak,
2. Tahapan pemilihan/penentuan.

8

media

Contoh Soal

1. Dalam sebuah perlombaan lari, ada 5 peserta yang akan berlomba. Berapa banyak cara

untuk menentukan urutan juara 1, 2, dan 3?

2. Berapa banyak cara untuk mengatur 4 buku yang berbeda di dalam sebuah rak?
3. Berapa banyak cara untuk menyusun huruf-huruf dari kata "KELAS" agar semua huruf

digunakan?

4. Dari 8 siswa, berapa banyak cara memilih 3 siswa untuk mengikuti lomba?
5. Dari sebuah set kartu yang terdiri dari 10 kartu, berapa banyak cara memilih 4 kartu?
6. Berapa banyak cara memilih 5 siswa dari 12 siswa untuk menjadi anggota tim?

9

media

Penyelesaian soal 1

β€’
Dalam sebuah perlombaan lari, ada 5 peserta yang akan berlomba. Berapa banyak cara untuk menentukan
urutan juara 1, 2, dan 3?

β€’
Penyelesaian: Untuk menentukan urutan 3 pemenang dari 5 peserta, kita gunakan rumus permutasi:

β€’
𝑃 𝑛, π‘Ÿ =
𝑛!

π‘›βˆ’π‘Ÿ !

β€’
Di sini n=5 dan r= 3:

β€’
𝑃 5,3 =
5!

5βˆ’3 != 5.4.3.2.1

2.1
=120

2= 60

β€’
Jadi, ada 60 cara untuk menentukan urutan juara 1, 2, dan 3.

10

media

Penyelesaian soal 2

β€’ Berapa banyak cara untuk mengatur 4 buku yang berbeda di dalam sebuah

rak?

β€’ Penyelesaian: Untuk mengatur 4 buku dalam sebuah rak, kita dapat

menggunakan rumus permutasi sederhana karena kita ingin mengatur
semua elemen (buku) tersebut:

β€’ 𝑃 4 = 4! = 4.3.2.1 = 24
β€’ Jadi, ada 24 cara untuk mengatur 4 buku di rak.

11

media

Penyelesaian soal 3

β€’ Berapa banyak cara untuk menyusun huruf-huruf dari kata "KELAS" agar

semua huruf digunakan?

β€’ Penyelesaian: Huruf-huruf dalam kata "KELAS" semuanya unik, jadi kita

menggunakan rumus permutasi untuk menyusun semua huruf tersebut:

β€’ 𝑃 5 = 5! = 5.4.3.2.1 = 120
β€’ Jadi, ada 120 cara untuk menyusun huruf-huruf dari kata "KELAS".

12

media

Penyelesaian soal 4

β€’ Dari 8 siswa, berapa banyak cara memilih 3 siswa untuk mengikuti lomba?
β€’ Penyelesaian: Di sini kita tidak memperhatikan urutan, sehingga kita menggunakan

kombinasi:

β€’ 𝐢 𝑛, π‘Ÿ =

𝑛!

π‘Ÿ! π‘›βˆ’π‘Ÿ !

β€’ Dengan n = 8 dan r = 3:
β€’ 𝐢 8,3 =

8!

3! 8βˆ’3 !=

8.7.6.5.4.3.2.1

3.2.1 5.4.3.2.1 !=

8.7.6
3.2.1=

336
6= 56

β€’ Jadi, ada 56 cara untuk memilih 3 siswa dari 8 siswa.

13

media

Penyelesaian soal 5

β€’ Dari sebuah set kartu yang terdiri dari 10 kartu, berapa banyak cara memilih

4 kartu?

β€’ Penyelesaian: Kita menggunakan kombinasi karena urutan kartu tidak

diperhatikan:

β€’ 𝐢 10,4 =

10!

4! 10βˆ’4 !=

10.9.8.7
4.3.2.1=

5040

24= 210

β€’ Jadi, ada 210 cara untuk memilih 4 kartu dari 10 kartu.

14

media

Penyelesaian soal 6

β€’ Berapa banyak cara memilih 5 siswa dari 12 siswa untuk menjadi anggota

tim?

β€’ Penyelesaian: Kita juga menggunakan kombinasi karena urutan tidak

penting:

β€’ 𝐢 12,5 =

12!

5! 12βˆ’5 !=

12.11.10.9.8

5.4.3.2.1
=

95040

120= 792

β€’ Jadi, ada 792 cara untuk memilih 5 siswa dari 12 siswa.

15

media

Penyelesaian soal 7

Dalam sebuah klub, terdapat 7 anggota pria dan 5
anggota wanita. Klub tersebut ingin membentuk
sebuah tim yang terdiri dari 5 orang dengan syarat 3
pria dan 2 wanita. Berapa banyak cara untuk
memilih tim tersebut dan mengatur posisi ketua dan
wakil ketua?
β€’
Penyelesaian:

β€’
𝐢 𝑛, π‘Ÿ =
𝑛!

π‘Ÿ! π‘›βˆ’π‘Ÿ !

1.
Pilih 3 pria dari 7 anggota pria:

𝐢 7,3 =
7!

3! 7 βˆ’ 3 ! = 7.6.5

3.2.1 = 336

6
= 35

2.
Pilih 2 wanita dari 5 anggota wanita:

𝐢 5,2 =

5!

2! 5βˆ’2 !=

5.4
2.1=

20
2= 10

3.
Mengatur posisi ketua dan wakil ketua dari 5
anggota terpilih:

𝑃 5,2 =
5!

5 βˆ’ 2 ! = 5.4

1 = 20

1 = 20

4.
Menghitung total cara:
β€’
Total cara untuk memilih dan mengatur tim:

β€’
π‘‡π‘œπ‘‘π‘Žπ‘™ = 𝐢 7,3 π‘₯𝐢 5,2 π‘₯ 𝑃 5,2 =
35 10

20 = 7000

β€’
Jadi, ada 7000 cara untuk memilih dan mengatur
tim tersebut.

16

media

Penyelesaian soal 8

β€’ Sebuah password terdiri dari 4 huruf diikuti

oleh 2 angka, di mana huruf-huruf tidak boleh
diulang tetapi angka-angka boleh diulang.
Berapa banyak password yang dapat
dibentuk?

β€’ Penyelesaian:
1.
Pilih 4 huruf dari 26 huruf tanpa
pengulangan:

Karena urutan penting, kita gunakkan permutasi:

𝑃 26,4 =
26!

26 βˆ’ 4 ! = 26.25.24.23 = 358800

2.
Pilih 2 angka dari 10 angka (dengan
pengulangan): setiap angka dapat dipilih
dengan 10 kemungkinan dan karena angka
boleh diulang, kita punya

10 π‘₯ 10 = 100

3. Menghitung total cara:

β€’
Total password yang dapat dibentuk:

β€’
π‘‡π‘œπ‘‘π‘Žπ‘™ = 358800 π‘₯ 100 = 35880000

β€’
Jadi, ada 35880000 password yang dapat
dibentuk.

17

media

Penyelesaian soal 9

β€’ Dalam sebuah teater, terdapat 10 kursi pada

baris depan. Berapa banyak cara untuk
mengatur 5 orang tertentu dalam kursi-kursi
tersebut jika 2 orang di antara mereka harus
duduk bersebelahan?

β€’ Langkah-Langkah Penyelesaian:
1.
Menganggap 2 orang yang harus duduk
bersebelahan sebagai satu unit: (dengan
demikiian, kita memiliki 4 orang + 1 unit
(total 5 unit) yang harus diatur.

Mengatur 5 unit:

𝑃 5 = 5! = 5.4.3.2.1 = 120

2. Mengatur 2 di dalam unit tersebut: 2 orang

dalam unit tersebut dapat diatur diantara
mereka sendiri:

𝑃 2 = 2! = 2.1 = 2

3. Menghitung total cara:

β€’
Total cara untuk mengatur 5 orang dengan 2
orang yang harus duduk bersebelahan:

β€’
π‘‡π‘œπ‘‘π‘Žπ‘™ = 120 π‘₯ 2 = 240

β€’
Jadi, ada 240 cara untuk mengatur 5 orang
tersebut dengan 2 orang yang harus duduk
bersebelahan.

18

media

Penyelesaian soal 10

Dari 12 orang yang terdiri dari 7 pria dan 5 wanita,
berapa banyak cara untuk memilih 5 orang sehingga
di dalam tim terdapat minimal 2 wanita?
β€’
Penyelesaian: Langkah-Langkah penyelesaian:

1.
Kasus 1: 2 wanita dan 3 pria:

𝐢 5,2 π‘₯ 𝐢 7,3 =
5!

2! 5 βˆ’ 2 ! π‘₯
7!

3! 7 βˆ’ 3 !

=5.4

2.1π‘₯ 7.6.5

3.2.1= 20

2π‘₯ 210

6
= 10 π‘₯ 35 = 350

2.
Kasus 2: 3 wanita dan 2 pria:

𝐢 5,3 π‘₯ 𝐢 7,2 =

5!

3! 5βˆ’3 !π‘₯

7!

2! 7βˆ’2 !=

5.4.3
3.2.1π‘₯

7.6
2.1=

60
6π‘₯

42
2= 10 π‘₯ 21 = 210

3.
Kasus 3: 4 Wanita dan 1 pria

𝐢 5,4 π‘₯ 𝐢 7,1 =
5!

4! 5 βˆ’ 4 ! π‘₯
7!

1! 7 βˆ’ 1 ! = 5

1 π‘₯ 7

1

= 5 π‘₯ 7 = 35

4.
Kasus 4: 5 Wanita

𝐢 5,5 π‘₯ 𝐢 7,0 =
5!

5! 5 βˆ’ 5 ! π‘₯
7!

0! 7 βˆ’ 0 ! = 1 π‘₯ 1

= 1
3.
MenghitungTotal Cara:
β€’
Total cara untuk memilih yang terdiri dari minimal
2 wanita:

β€’
π‘‡π‘œπ‘‘π‘Žπ‘™ = 350 + 210 + 35 + 1 = 596

β€’
Jadi, ada 596 cara untuk memilih 5 orang dengan
minimal 2 wanita.

19

media

Penyelesaian soal 11

β€’
Dalam suatu kontes, terdapat 8 finalis. Berapa
banyak cara memilih 3 pemenang (tanpa urutan)
jika diketahui bahwa 2 finalis tertentu tidak boleh
terpilih bersama?

β€’
Penyelesaian:

1.
Total cara memilih 3 finalis dari 8:

𝐢 8,3 =
8!

3! 8 βˆ’ 3 ! = 8.7.6

3.2.1 = 336

6
= 56

2.
Cara memilih 3 finalis dimana 2 finalis tertentu
(misal A dan B) terpilih:

Jika A dan B terpilih, kita tinggal memilih 1 finalis dari 6
lainnya:

𝐢 6,1 =

6!

1! 6βˆ’1 !=

6
1= 6

3.
Menghitung jumlah cara yang valid:
β€’
Kita kurangi jumlah total dengan jumlah di mana
A dan B terpilih bersama:

β€’
π‘‰π‘Žπ‘™π‘–π‘‘ = 56 βˆ’ 6 = 50

β€’
Jadi, ada 50 cara untuk memilih 3 finalis di mana 2
finalis tertentu tidak terpilih bersama.

20

media

Penyelesaian soal 10

Terdapat 15 siswa yang terdiri dari 9 siswa kelas A dan 6
siswa kelas B. Berapa banyak cara untuk membentuk tim
yang terdiri dari 5 siswa, dengan syarat tim tersebut harus
berisi minimal 2 siswa dari kelas B?
β€’
Penyelesaian: Langkah-Langkah penyelesaian:

1.

Kasus 1: 2 siswa kelas B dan 3 siswa kelas A:

𝐢 6,2 π‘₯ 𝐢 9,3 =
6!

2! 6 βˆ’ 2 ! π‘₯
9!

3! 9 βˆ’ 3 ! = 6.5

2.1 π‘₯ 9.8.7

3.2.1

= 30

2 π‘₯ 504

6
= 15 π‘₯ 84 = 1260

2.

Kasus 2: 3 siswa kelas B dan 2 siswa kelas A :

𝐢 6,3 π‘₯ 𝐢 9,2 =

6!

3! 6βˆ’3 !π‘₯

9!

2! 9βˆ’2 !=

6.5.4

3.2.1π‘₯

9.8

2.1=

120

6π‘₯

72

2=

20 π‘₯ 36 = 720

3.

Kasus 3: 4 siswa kelas B dan 1 siswa kelas A

𝐢 6,4 π‘₯ 𝐢 9,1 =
6!

4! 6 βˆ’ 4 ! π‘₯
9!

1! 9 βˆ’ 1 ! = 6.5

2.1 π‘₯ 9

1

= 15 π‘₯ 9 = 135

4.

Kasus 4: 5 siswa kelas B

𝐢 6,5 π‘₯ 𝐢 9,0 =
6!

5! 6 βˆ’ 5 ! π‘₯
9!

0! 9 βˆ’ 0 ! = 6

1 π‘₯ 9

9

= 6 π‘₯ 1 = 6

3.

Menghitung Total Cara:

Total cara untuk memilih yang memenuhi syarat:

β€’
π‘‡π‘œπ‘‘π‘Žπ‘™ = 1260 + 720 + 135 + 6 = 2121

β€’
Jadi, ada 2121 cara untuk membentuk tim yang
terdiri dari 5 siswa dengan minimal 2 siswa dari kelas
B.

media

RUANG DAN

TITIK SAMPEL

PRINSIP-PRINSIP MENGHITUNG TITIK SAMPEL

Show answer

Auto Play

Slide 1 / 20

SLIDE