RUANG DAN TITIK SAMPEL

RUANG DAN

TITIK SAMPEL

PRINSIP-PRINSIP MENGHITUNG TITIK SAMPEL

RUANG SAMPEL

• Ruang Sampel (Sample Space): Ruang sampel adalah himpunan semua

kemungkinan hasil yang dapat terjadi dari suatu percobaan acak. Setiap
elemen dalam ruang sampel disebut titik sampel. Ruang sampel biasanya
dilambangkan dengan simbol S dan elemen-elemennya (titik sampel)
dilambangkan dengan s1,s2,…,sn.

• Contoh sederhana: Jika kita melempar sebuah koin, ruang sampelnya

adalah S={Kepala,Ekor}

TITIK SAMPEL

• Titik sampel (Sample point) adalah setiap hasil individu yang mungkin

terjadi dari suatu percobaan.

• Dalam contoh melempar koin di atas, titik sampel adalah "Kepala" dan

"Ekor".

• Jadi titik sampel merupakan setiap individu dalam ruang sampel.

Prinsip Perkalian

• Jika suatu percobaan terdiri dari beberapa

tahap yang independen, maka jumlah titik
sampel adalah hasil kali dari jumlah pilihan di
setiap tahap.

Contoh:
• Misalkan kita melempar dua dadu. Setiap dadu

memiliki 6 sisi. Maka ruang sampelnya adalah
semua pasangan (1,1), (1,2), ..., (6,6). Jumlah
titik sampel adalah 6×6=366

Prinsip Permutasi

• Permutasi adalah pengurutan elemen-

elemen dari suatu himpunan di mana
urutan diperhatikan.

Contoh:
• Misalkan kita memiliki 3 bola berwarna merah (R),

biru (B), dan hijau (H). Jika kita ingin mengurutkan
ketiga bola ini, berapa banyak cara yang mungkin?
Kita menggunakan rumus permutasi:

•
P(n)=n!

•
Untuk 3 bola, jumlah permutasi adalah:

•
P(3)=3!=3×2×1=6

•
Maka, ada 6 titik sampel: (R,B,H), (R,H,B), (B,R,H),
(B,H,R), (H,R,B), (H,B,R).

Prinsip Kombinasi

Kombinasi adalah
pemilihan elemen-elemen
dari suatu himpunan di
mana urutan tidak
diperhatikan.

Contoh:
• Misalkan kita memiliki 5 siswa dan ingin memilih 3 siswa

untuk suatu tugas. Berapa banyak cara yang mungkin?

•
Kita menggunakan rumus kombinasi:

•
𝐶 𝑛, 𝑟 =

𝑛!

𝑟! 𝑛−𝑟 !

•
Di sini, n=5 dan r=3:

•
𝐶 5,3 =

5!

3! 5−3 !=

5.4.3.2.1
3.2.1.2.1=

120
12= 10

•
Jadi, ada 10 cara atau titik sampel.

Kesimpulan

Penghitungan titik sampel dapat dilakukan menggunakan prinsip perkalian,
permutasi, dan kombinasi tergantung pada kondisi percobaannya apakah:
1. Memperhatikan urutan atau tidak,
2. Tahapan pemilihan/penentuan.

Contoh Soal

1. Dalam sebuah perlombaan lari, ada 5 peserta yang akan berlomba. Berapa banyak cara

untuk menentukan urutan juara 1, 2, dan 3?

2. Berapa banyak cara untuk mengatur 4 buku yang berbeda di dalam sebuah rak?
3. Berapa banyak cara untuk menyusun huruf-huruf dari kata "KELAS" agar semua huruf

digunakan?

4. Dari 8 siswa, berapa banyak cara memilih 3 siswa untuk mengikuti lomba?
5. Dari sebuah set kartu yang terdiri dari 10 kartu, berapa banyak cara memilih 4 kartu?
6. Berapa banyak cara memilih 5 siswa dari 12 siswa untuk menjadi anggota tim?

Penyelesaian soal 1

•
Dalam sebuah perlombaan lari, ada 5 peserta yang akan berlomba. Berapa banyak cara untuk menentukan
urutan juara 1, 2, dan 3?

•
Penyelesaian: Untuk menentukan urutan 3 pemenang dari 5 peserta, kita gunakan rumus permutasi:

•
𝑃 𝑛, 𝑟 =
𝑛!

𝑛−𝑟 !

•
Di sini n=5 dan r= 3:

•
𝑃 5,3 =
5!

5−3 != 5.4.3.2.1

2.1
=120

2= 60

•
Jadi, ada 60 cara untuk menentukan urutan juara 1, 2, dan 3.

Penyelesaian soal 2

• Berapa banyak cara untuk mengatur 4 buku yang berbeda di dalam sebuah

rak?

• Penyelesaian: Untuk mengatur 4 buku dalam sebuah rak, kita dapat

menggunakan rumus permutasi sederhana karena kita ingin mengatur
semua elemen (buku) tersebut:

• 𝑃 4 = 4! = 4.3.2.1 = 24
• Jadi, ada 24 cara untuk mengatur 4 buku di rak.

Penyelesaian soal 3

• Berapa banyak cara untuk menyusun huruf-huruf dari kata "KELAS" agar

semua huruf digunakan?

• Penyelesaian: Huruf-huruf dalam kata "KELAS" semuanya unik, jadi kita

menggunakan rumus permutasi untuk menyusun semua huruf tersebut:

• 𝑃 5 = 5! = 5.4.3.2.1 = 120
• Jadi, ada 120 cara untuk menyusun huruf-huruf dari kata "KELAS".

Penyelesaian soal 4

• Dari 8 siswa, berapa banyak cara memilih 3 siswa untuk mengikuti lomba?
• Penyelesaian: Di sini kita tidak memperhatikan urutan, sehingga kita menggunakan

kombinasi:

• 𝐶 𝑛, 𝑟 =

𝑛!

𝑟! 𝑛−𝑟 !

• Dengan n = 8 dan r = 3:
• 𝐶 8,3 =

8!

3! 8−3 !=

8.7.6.5.4.3.2.1

3.2.1 5.4.3.2.1 !=

8.7.6
3.2.1=

336
6= 56

• Jadi, ada 56 cara untuk memilih 3 siswa dari 8 siswa.

Penyelesaian soal 5

• Dari sebuah set kartu yang terdiri dari 10 kartu, berapa banyak cara memilih

4 kartu?

• Penyelesaian: Kita menggunakan kombinasi karena urutan kartu tidak

diperhatikan:

• 𝐶 10,4 =

10!

4! 10−4 !=

10.9.8.7
4.3.2.1=

5040

24= 210

• Jadi, ada 210 cara untuk memilih 4 kartu dari 10 kartu.

Penyelesaian soal 6

• Berapa banyak cara memilih 5 siswa dari 12 siswa untuk menjadi anggota

tim?

• Penyelesaian: Kita juga menggunakan kombinasi karena urutan tidak

penting:

• 𝐶 12,5 =

12!

5! 12−5 !=

12.11.10.9.8

5.4.3.2.1
=

95040

120= 792

• Jadi, ada 792 cara untuk memilih 5 siswa dari 12 siswa.

Penyelesaian soal 7

Dalam sebuah klub, terdapat 7 anggota pria dan 5
anggota wanita. Klub tersebut ingin membentuk
sebuah tim yang terdiri dari 5 orang dengan syarat 3
pria dan 2 wanita. Berapa banyak cara untuk
memilih tim tersebut dan mengatur posisi ketua dan
wakil ketua?
•
Penyelesaian:

•
𝐶 𝑛, 𝑟 =
𝑛!

𝑟! 𝑛−𝑟 !

1.
Pilih 3 pria dari 7 anggota pria:

𝐶 7,3 =
7!

3! 7 − 3 ! = 7.6.5

3.2.1 = 336

6
= 35

2.
Pilih 2 wanita dari 5 anggota wanita:

𝐶 5,2 =

5!

2! 5−2 !=

5.4
2.1=

20
2= 10

3.
Mengatur posisi ketua dan wakil ketua dari 5
anggota terpilih:

𝑃 5,2 =
5!

5 − 2 ! = 5.4

1 = 20

1 = 20

4.
Menghitung total cara:
•
Total cara untuk memilih dan mengatur tim:

•
𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙 = 𝐶 7,3 𝑥𝐶 5,2 𝑥 𝑃 5,2 =
35 10

20 = 7000

•
Jadi, ada 7000 cara untuk memilih dan mengatur
tim tersebut.

Penyelesaian soal 8

• Sebuah password terdiri dari 4 huruf diikuti

oleh 2 angka, di mana huruf-huruf tidak boleh
diulang tetapi angka-angka boleh diulang.
Berapa banyak password yang dapat
dibentuk?

• Penyelesaian:
1.
Pilih 4 huruf dari 26 huruf tanpa
pengulangan:

Karena urutan penting, kita gunakkan permutasi:

𝑃 26,4 =
26!

26 − 4 ! = 26.25.24.23 = 358800

2.
Pilih 2 angka dari 10 angka (dengan
pengulangan): setiap angka dapat dipilih
dengan 10 kemungkinan dan karena angka
boleh diulang, kita punya

10 𝑥 10 = 100

3. Menghitung total cara:

•
Total password yang dapat dibentuk:

•
𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙 = 358800 𝑥 100 = 35880000

•
Jadi, ada 35880000 password yang dapat
dibentuk.

Penyelesaian soal 9

• Dalam sebuah teater, terdapat 10 kursi pada

baris depan. Berapa banyak cara untuk
mengatur 5 orang tertentu dalam kursi-kursi
tersebut jika 2 orang di antara mereka harus
duduk bersebelahan?

• Langkah-Langkah Penyelesaian:
1.
Menganggap 2 orang yang harus duduk
bersebelahan sebagai satu unit: (dengan
demikiian, kita memiliki 4 orang + 1 unit
(total 5 unit) yang harus diatur.

Mengatur 5 unit:

𝑃 5 = 5! = 5.4.3.2.1 = 120

2. Mengatur 2 di dalam unit tersebut: 2 orang

dalam unit tersebut dapat diatur diantara
mereka sendiri:

𝑃 2 = 2! = 2.1 = 2

3. Menghitung total cara:

•
Total cara untuk mengatur 5 orang dengan 2
orang yang harus duduk bersebelahan:

•
𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙 = 120 𝑥 2 = 240

•
Jadi, ada 240 cara untuk mengatur 5 orang
tersebut dengan 2 orang yang harus duduk
bersebelahan.

Penyelesaian soal 10

Dari 12 orang yang terdiri dari 7 pria dan 5 wanita,
berapa banyak cara untuk memilih 5 orang sehingga
di dalam tim terdapat minimal 2 wanita?
•
Penyelesaian: Langkah-Langkah penyelesaian:

1.
Kasus 1: 2 wanita dan 3 pria:

𝐶 5,2 𝑥 𝐶 7,3 =
5!

2! 5 − 2 ! 𝑥
7!

3! 7 − 3 !

=5.4

2.1𝑥 7.6.5

3.2.1= 20

2𝑥 210

6
= 10 𝑥 35 = 350

2.
Kasus 2: 3 wanita dan 2 pria:

𝐶 5,3 𝑥 𝐶 7,2 =

5!

3! 5−3 !𝑥

7!

2! 7−2 !=

5.4.3
3.2.1𝑥

7.6
2.1=

60
6𝑥

42
2= 10 𝑥 21 = 210

3.
Kasus 3: 4 Wanita dan 1 pria

𝐶 5,4 𝑥 𝐶 7,1 =
5!

4! 5 − 4 ! 𝑥
7!

1! 7 − 1 ! = 5

1 𝑥 7

1

= 5 𝑥 7 = 35

4.
Kasus 4: 5 Wanita

𝐶 5,5 𝑥 𝐶 7,0 =
5!

5! 5 − 5 ! 𝑥
7!

0! 7 − 0 ! = 1 𝑥 1

= 1
3.
MenghitungTotal Cara:
•
Total cara untuk memilih yang terdiri dari minimal
2 wanita:

•
𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙 = 350 + 210 + 35 + 1 = 596

•
Jadi, ada 596 cara untuk memilih 5 orang dengan
minimal 2 wanita.

Penyelesaian soal 11

•
Dalam suatu kontes, terdapat 8 finalis. Berapa
banyak cara memilih 3 pemenang (tanpa urutan)
jika diketahui bahwa 2 finalis tertentu tidak boleh
terpilih bersama?

•
Penyelesaian:

1.
Total cara memilih 3 finalis dari 8:

𝐶 8,3 =
8!

3! 8 − 3 ! = 8.7.6

3.2.1 = 336

6
= 56

2.
Cara memilih 3 finalis dimana 2 finalis tertentu
(misal A dan B) terpilih:

Jika A dan B terpilih, kita tinggal memilih 1 finalis dari 6
lainnya:

𝐶 6,1 =

6!

1! 6−1 !=

6
1= 6

3.
Menghitung jumlah cara yang valid:
•
Kita kurangi jumlah total dengan jumlah di mana
A dan B terpilih bersama:

•
𝑉𝑎𝑙𝑖𝑑 = 56 − 6 = 50

•
Jadi, ada 50 cara untuk memilih 3 finalis di mana 2
finalis tertentu tidak terpilih bersama.

Penyelesaian soal 10

Terdapat 15 siswa yang terdiri dari 9 siswa kelas A dan 6
siswa kelas B. Berapa banyak cara untuk membentuk tim
yang terdiri dari 5 siswa, dengan syarat tim tersebut harus
berisi minimal 2 siswa dari kelas B?
•
Penyelesaian: Langkah-Langkah penyelesaian:

1.

Kasus 1: 2 siswa kelas B dan 3 siswa kelas A:

𝐶 6,2 𝑥 𝐶 9,3 =
6!

2! 6 − 2 ! 𝑥
9!

3! 9 − 3 ! = 6.5

2.1 𝑥 9.8.7

3.2.1

= 30

2 𝑥 504

6
= 15 𝑥 84 = 1260

2.

Kasus 2: 3 siswa kelas B dan 2 siswa kelas A :

𝐶 6,3 𝑥 𝐶 9,2 =

6!

3! 6−3 !𝑥

9!

2! 9−2 !=

6.5.4

3.2.1𝑥

9.8

2.1=

120

6𝑥

72

2=

20 𝑥 36 = 720

3.

Kasus 3: 4 siswa kelas B dan 1 siswa kelas A

𝐶 6,4 𝑥 𝐶 9,1 =
6!

4! 6 − 4 ! 𝑥
9!

1! 9 − 1 ! = 6.5

2.1 𝑥 9

1

= 15 𝑥 9 = 135

4.

Kasus 4: 5 siswa kelas B

𝐶 6,5 𝑥 𝐶 9,0 =
6!

5! 6 − 5 ! 𝑥
9!

0! 9 − 0 ! = 6

1 𝑥 9

9

= 6 𝑥 1 = 6

3.

Menghitung Total Cara:

Total cara untuk memilih yang memenuhi syarat:

•
𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙 = 1260 + 720 + 135 + 6 = 2121

•
Jadi, ada 2121 cara untuk membentuk tim yang
terdiri dari 5 siswa dengan minimal 2 siswa dari kelas
B.