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Bergamini, Barozzi, Trifone – La matematica del triennio © Zanichelli 2019-2020

Circonferenza

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Equazione della circonferenza

La distanza fra i punti della circonferenze e il centro è il raggio.

DEFINIZIONE
Assegnato nel piano un punto C, detto centro, si
chiama circonferenza la curva piana luogo
geometrico dei punti equidistanti da C:
= costante.

Un generico punto P(x; y) appartiene alla
circonferenza di raggio r e centro C(𝛂; 𝛃)
se e solo se: = r → 2 = r2.

L’equazione cercata è .
Svolgendo i calcoli l’equazione diventa:

Multiple Choice

come si calcola il raggio?

• Raggio = Diametro / 2 o Raggio = √(Area/π)
• Raggio = 2π x Area
• Raggio = Diametro x 2
• Raggio = Area / 2

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Dall’equazione al grafico

Data l’equazione di una circonferenza nella forma
x2 + y2 + ax + by + c = 0,

il centro C ha coordinate ,

il raggio r è

L’equazione x2 + y2 + ax + by + c = 0 rappresenta una circonferenza
solo se r è un numero reale, cioè è rispettata la condizione di realtà:

Se r = 0 la circonferenza è degenere e si riduce al solo punto C.

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Casi particolari

Consideriamo alcuni casi particolari dell’equazione
x2 + y2 + ax + by + c = 0.

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La posizione è determinata dal numero di
soluzioni del sistema formato dalle equazioni
della circonferenza e della retta:

Posizione di retta e circonferenza

La posizione di una retta rispetto a una circonferenza dipende dalla
distanza d del centro della circonferenza dalla retta.

Applicando il metodo di sostituzione, otteniamo un’equazione di
secondo grado detta equazione risolvente di determinante 𝚫. Si ha:

●se 𝚫 > 0, la retta è secante;

●se 𝚫 = 0, la retta è tangente;

●se 𝚫 < 0, la retta è esterna.

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Rette tangenti a una circonferenza

Dati un punto P(x0; y0) e una circonferenza x2 + y2 + ax + by + c = 0,
determiniamo le equazioni delle rette per P tangenti alla circonferenza.

Si pone 𝚫 = 0 nell’equazione di secondo grado
ottenuta per sostituzione dal sistema
tra il fascio di rette per P e la circonferenza:

In alternativa, si pone la distanza tra centro C e una generica retta
passante per P, di equazione y − y0 = m(x − x0) uguale al raggio r.

Con entrambi i metodi si trovano i valori di m.
Le rette tangenti si ottengono sostituendo m in y − y0 = m(x − x0).

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Rette tangenti a una circonferenza

Se il punto P(x0; y0) appartiene alla circonferenza,
possiamo applicare anche i seguenti metodi.

La tangente è la perpendicolare in P alla retta PC.
Si determina il centro della circonferenza e si
calcola il coefficiente angolare m di PC.

La tangente ha equazione

In alternativa, si ottiene l’equazione della tangente con la formula di
sdoppiamento:

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Posizione di due circonferenze

Per determinare gli eventuali punti di intersezione, occorre risolvere il
sistema formato dalle equazioni delle due circonferenze:

.

Se a ≠ a’ o b ≠ b’, sottraendo membro a membro si ottiene l’equazione
dell’asse radicale delle due circonferenze:
(a − a’)x + (b − b’)y + (c − c’) = 0.

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Asse radicale

L’asse radicale è perpendicolare alla retta
passante per i centri delle due circonferenze.

Per determinare i punti di intersezione fra due
circonferenze si pone a sistema l’asse radicale
con una delle circonferenze.

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Fasci di circonferenze

Per k = −1, otteniamo, quando esiste,
l’equazione della retta asse radicale del fascio.

Se le circonferenze non sono concentriche, i
centri delle circonferenze del fascio si
dispongono su una retta, l’asse centrale.

DEFINIZIONE
Date due circonferenze 𝒞 e 𝒞 ’, rispettivamente di equazioni
x2 + y2 + ax + by + c = 0 e x2 + y2 + a’x + b’y + c’ = 0,
si chiama fascio di circonferenze definito da 𝒞 e 𝒞 ’ l’insieme
costituito dalla circonferenza 𝒞 ’ e da tutte le circonferenze
rappresentate dall’equazione:
x2 + y2 + ax + by + c + k(x2 + y2 + a’x + b’y + c’) = 0, con k∈ .
𝒞 e 𝒞 ’ si dicono generatrici del fascio.

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ESERCIZIO
Equazione della circonferenza

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ESERCIZIO
Rette tangenti a una circonferenza