ALJABAR OSN MATEMATIKA

ALJABAR

Word Cloud

Apa harapanmu mengikuti kegiatan KSR 2024

ALJABAR

Bagaimana menggunakan sifat aljabar?

—ANONYM

“Matematika adalah tempat untuk kamu yang menyukai
tantangan. Ketika kamu kesulitan, kamu engga berhenti.
Kamu justru lebih berusaha untuk mempelajarinya lagi.”

a dan b adalah variabel yang memenuhi persamaan

a²+ b²= 5 ….(1)

Ditanya

ab = 3 ….(2)

a + b

Jika a=2 dan b=1, maka memenuhi persamaan (1) tapi tidak
memenuhi persamaan (2)
Jika a=1 dan b=3, maka memenuhi persamaan (2) tapi tidak
memenuhi persamaan (1)

Tujuan kita adalah mencari a dan b yang memenuhi kedua
persamaan itu, lalu menghitung nilai a+b. Namun akan sulit
jika mencari nilai a dan b nya terlebih dahulu

a dan b adalah variabel yang memenuhi persamaan

a²+ b² = 5 ….(1)

Ditanya

ab = 3 ….(2)

a + b

Ambil persamaan (1)

Tambahkan 2ab di kedua ruas

Faktorkan ruas kiri

Subtitusi nilai ab = 3

a²+ b²= 5

a²+ b²+ 2ab = 5 + 2ab

(a + b)²= 5 + 2ab

(a + b)²= 11

Sifat Aljabar

x²+ y²– 2xy = (x – y)²

x³+ y³+ 3xy(x + y) = (x + y)³

x²– y²= (x – y)(x + y)

x⁴+ 4y⁴= (x²+ 2y²)²– (2xy)²= (x²+ 2y²– 2xy)(x²+ 2y²+ 2xy)

x³– y³= (x – y)(x²+ xy + y²)

x4– y4= (x – y)(x³+ x² y + xy²+ y³)

x²+ y²+ z²+ 2(xy + xz + yz) = (x + y + z)²

Multiple Choice

Diketahui nilai a² = 3b + 7 dan b² = 3a + 7 jika $$a\ne b$$ maka nilai a²+ b²= 14

• Salah

• Benar

a2= 3b + 7 ….(1)

Ditanya

b2= 3a + 7 ….(2)

a²+ b²

Kurangi pers. (1) oleh pers. (2)

a²– b²= 3b – 3a

(a – b)(a + b) = -3(a – b)

(a – b)(a + b) + 3(a – b) = 0

(a – b)(a + b + 3) = 0

Karena a – b ≠ 0 maka a + b + 3 = 0

Diperoleh a + b = -3

a²= 3b + 7 ….(1)

Ditanya

b²= 3a + 7 ….(2)

a²+ b²

Jumlahkan pers. (1) oleh pers. (2)

a²+ b²= 3b + 3a + 14

a²+ b²= 3(a + b) + 14

Karena a + b = -3, diperoleh

a²+ b²= 5

Strategi

Biasanya kalau ketemu soal aljabar, hal yang dilakuin itu eksplorasi

dulu. Bisa nyederhanain, faktorin, samain penyebut, pakai pemisalan,

kalikan persamaan, jumlahkan persamaan, eliminasi, subtitusi, atau

lainnya. Nanti dari eksplorasi itu ada petunjuk baru yang bisa didapet.

Lalu petunjuk itu diolah, dan dapet hasilnya…

Multiple Choice

Diketahui x, y bilangan real dimana x + y + xy = 8 dan (x+y).xy = 15 maka nilai $$x^2+y^2$$ adalah

• -1

• 0

• 19

• 23

x + y + xy = 8

Ditanya

(x + y)xy = 15

x²+ y²

Misal x + y = p dan xy = q, maka

persamaannya menjadi

p + q = 8 ….(1)

pq = 15 ….(2)

Akibatnya

x²+ y²= (x + y)²– 2xy

x²+ y²= (p)²– 2(q)

Dari pers (1) diperoleh q = 8 – p

Subtitusi ke pers. (2)

p(8 – p) = 15

8p – p²= 15

p²– 8p + 15 = 0

(p – 3)(p – 5) = 0

p – 3 = 0 atau p – 5 = 0

p = 3 atau p = 5

x + y + xy = 8

Ditanya

(x + y)xy = 15

x²+ y²

Misal x + y = p dan xy = q, maka

persamaannya menjadi

p + q = 8 ….(1)

pq = 15 ….(2)

Akibatnya

x²+ y²= (x + y)²– 2xy

x²+ y²= (p)²– 2(q)

Jika p = 3 maka q = 5, akibatnya

x²+ y²= (3)²– 2(5) = -1

Tidak memenuhi

Jika p = 5 maka q = 3, akibatnya

x²+ y²= (5)²– 2(3) = 19

Memenuhi

ALJABAR : TIGA VARIABEL

Teorema Vieta

Pada polinomial 𝑎𝑥3+ 𝑏𝑥2+ 𝑐𝑥 + 𝑑 = 0 dimana 𝑥1, 𝑥2, 𝑥3 adalah akar-akarnya, berlaku

𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 = − 𝑏

𝑎

𝑥1𝑥2 + 𝑥1𝑥3 + 𝑥2𝑥3 = 𝑐

𝑎

𝑥1𝑥2𝑥3 = −𝑑

𝑎

Soal No.4a

Jika 𝑘, 𝑙, 𝑚 adalah akar dari polinomial 𝑦3− 9𝑦2+ 32𝑦 − 36 = 0. Tentukan nilai dari

1
𝑘+ 1

𝑙+ 1

𝑚

Penyelesaian:

Dengan teorema vieta diperoleh bahwa

𝑘 + 𝑙 + 𝑚 = 9,

𝑘𝑙 + 𝑘𝑚 + 𝑙𝑚 = 32,

𝑘𝑙𝑚 = 36

Akibatnya,

1
𝑘 + 1

𝑙 + 1

𝑚 = 𝑙𝑚 + 𝑘𝑚 + 𝑘𝑙

𝑘𝑙𝑚
= 32

36 = 8

9

KETAKSAMAAN

DASAR

Bagaimana mencari nilai maksimum atau minimum?

Terima

kasih

Multiple Choice

Diketahui a dan b adalah bilangan real positif dimana a + 4b = 12, nilai maksimum dari ab² adalah

• 15

• 16

• 18

• 20

a dan b real positif

dimana a + 4b = 12

Jika a = 8 dan b = 1

Maka ab²= 8

Jika a = 4 dan b = 2

Maka ab²= 16

Jika a = 2 dan b = 5/2

Maka ab²= 25/2

Apakah mungkin ada a dan b yang

membuat ab² lebih besar dari 16?

AM (Aritmatic Mean) dan GM (Geometric Mean)

Misal diberikan data 3, 5, 4, 5, maka

•AM dari data itu adalah

AM = (3 + 5 + 4 + 5)/4

= (17)/4 = 4,25

•GM dari data itu adalah

GM = 4√(3×5×4×5)

=4√(300) ≈ 4,16

Jika setiap data yang diberikan

bernilai positif maka pasti

AM ≥ GM

Nilai AM akan sama dengan GM

ketika semua data memiliki nilai

yang sama

a dan b real positif

dimana a + 4b = 12

Pilih tiga data yaitu a, 2b, 2b, Maka

AM = (a + 4b)/3

GM = 3√(4ab²)

Karena nilai AM ≥ GM maka

(a + 4b)/3 ≥ 3√(4ab²)

Karena nilai a + 4b =12 maka

4 ≥ 3√(4ab²)

Kedua ruas pangkatkan tiga

64 ≥ (4ab²)

Kedua ruas bagi dengan 4

16 ≥ ab²

Diperoleh nilai maksimum ab²

adalah 16, dicapai ketika a=2b=2b.

Yaitu a = 4 dan b =2

Soal 2

Diketahui a, b, dan c adalah bilangan real

positif. Buktikan bahwa

a²+ b²+ c²≥ ab + ac + bc

Multiple Choice

Diketahui a, b, dan c adalah bilangan real positif maka berlaku

a²+ b²+ c²≥ ab + ac + bc

• Benar

• Salah

a,b,c real positif. Buktikan bahwa

⟶ a²+ b²+ c²≥ ab + ac + bc

Pilih dua data yaitu a²dan b²

Maka dengan AM-GM diperoleh

(a²+ b²)/2 ≥ √(a²b²)

Disederhanakan menjadi

a²+ b²≥ 2ab ….(1)

Pilih dua data yaitu a²dan c²

Maka dengan AM-GM diperoleh

(a²+ c²)/2 ≥ √(a²c²)

Disederhanakan menjadi

a²+ c²≥ 2ac ….(2)

a²+ b²≥ 2ab ….(1)

a²+ c²≥ 2ac ….(2)

Pilih dua data yaitu b² dan c²

Maka dengan AM-GM diperoleh

(b²+ c²)/2 ≥ √(b²c²)

Disederhanakan menjadi

b²+ c²≥ 2bc ….(3)

Jumlahkan (1), (2), dan (3) maka

diperoleh

2a²+ 2b²+ 2c²≥ 2ab + 2ac + 2bc

Akibatnya

a²+ b²+ c²≥ ab + ac + bc

(a + 4/a)(b + 5/b) = √320

Tentukan nilai ab

Pilih dua data yaitu a dan 4/a

Maka dengan AM-GM diperoleh

(a + 4/a)/2 ≥ √(4)

Disederhanakan menjadi

(a + 4/a) ≥ 4 ….(1)

Pilih dua data yaitu b dan 5/b

Maka dengan AM-GM diperoleh

(b + 5/b)/2 ≥ √(5)

Disederhanakan menjadi

(b + 5/b) ≥ 2√(5) ….(2)

(a + 4/a)(b + 5/b) = √320

Tentukan nilai ab

Dengan AM-GM diperoleh

(a + 4/a) ≥ 4 ….(1)

(b + 5/b) ≥ 2√(5) ….(2)

Kalikan persamaan (1) dan (2)

maka diperoleh

(a + 4/a)(b + 5/b) ≥ √(320)

Ruas kiri akan sama dengan ruas

kanan ketika a = 4/a dan b = 5/b

Akibatnya

a² = 4 ⟶ a = 2

b²= 5

Maka ab² = 2.5 =10

—PROCLUS

“Dimana ada bilangan, disana ada keindahan.”

BARISAN
DAN DERET

Bagaimana menjumlahkan bilangan berpola?

Soal 1

Jumlah n suku pertama barisan aritmatika dirumuskan dengan Sn = 2n²+ 4n. Tentukan suku ke-7 dari barisan tersebut

Sn = 2n2+ 4n

u7 = … ?

S7 menyatakan jumlah u1 hingga u7

S6 menyatakan jumlah u1 hingga u6

Akibatnya u7 sama dengan S7 – S6

S7 = 2(7)2+ 4(7) = 126

S6 = 2(6)2+ 4(6) = 96

⟶ U7 = S7 – S6

= 126 – 96

= 30

Suatu pohon dapat melahirkan dua buah pohon baru setiap

bulan apabila pohon tersebut telah beumur dua bulan.

Pada bulan pertama terdapat 1 pohon

Pada bulan ke-2, terdapat 1 pohon

Pada bulan ke-3, terdapat 3 pohon

Misal an menyatakan banyak pohon pada bulan ke n maka

Pada bulan ke-4, terdapat a3 + 2∙a2 = 5 pohon

Pada bulan ke-5, terdapat a4 + 2∙a3 = 11 pohon

Soal 3

Diketahui an = 2an-1 + 3an-2 dimana a1 = 1 dan

a2 = 11. Tentukan nilai dari a5

an = 2an-1 + 3an-2

dimana a1 = 1 dan a2 = 11

Subtitusi n = 3, maka

a3 = 2a2 + 3a1

a3 = 2(11) + 3(1)

a3 = 25

Subtitusi n = 4, maka

a4 = 2a3 + 3a2

a4 = 2(25) + 3(11)

a4 = 83

Subtitusi n = 5, maka

a5 = 2a4 + 3a3

a5 = 2(83) + 3(25)

a5 = 241

Beberapa rumus Deret

1 + 2 + 3 + … + n = n(n+1)/2

12 + 22 + 32+ … + n2= n(n+1)(2n+1)/6

13 + 23 + 33+ … + n3= [n(n+1)/2]2

Catatan :

13 + 23 + 33= (1 + 2 + 3)2

13 + 23 + 33+ 43= (1 + 2 + 3 + 4)2

Soal 4

Tentukan nilai dari

1×2 + 2×3 + 3×4 + 4×5 + … + 9×10

Jumlah dari

1×2 + 2×3 + 3×4 + 4×5 + … + 9×10

Bentuk barisan di ubah menjadi

1×(1+1) + 2×(2+1) + 3×(3+1) + 4×(4+1) + … + 9×(9+1)

Disederhanakan menjadi

12 + 1 + 22 + 2 + 32+ 3 + … + 92+ 9

Diatur posisi menjadi

[12 + 22 + 32+ … + 92] + [1 + 2 + 3 + … + 9]

= [9(9+1)(18+1)/6] + [9(9+1)/2]

= 285 + 45 = 330

Latihan

1. Seekor kera jatuh kedalam sumur kering sedalam 4 meter. Setiap

kera memanjat, ketika naik sejauh 50 cm, kera itu meluncur turun

20 cm. berapa kali kera harus memanjat agar keluar dari sumur

2. Diketahui an = 3an-1 – n∙an-2 + 2 dimana a1 = 1 dan a2 = 1.

Tentukan nilai dari a5

3. Tentukan nilai dari

52 + 72 + 92+ … + 192

“Ketika kemampuan kamu tumbuh, artinya kamu

telah berusaha dengan baik.”

ALJABAR : TIGA VARIABEL

Sekarang soalnyamenjadi :

Diketahui 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 =

1
𝑥+

1
𝑦+

1
𝑧dan 𝑥𝑦𝑧 = 1. Buktikan bahwa 2 𝑥𝑦 + 𝑦𝑧 + 𝑥𝑧 = 2

1
𝑥𝑦+

1
𝑦𝑧+

1
𝑥𝑧

ALJABAR : TIGA VARIABEL

Ketaksamaan 𝑄𝑀 − 𝐴𝑀 − 𝐺𝑀 − 𝐻𝑀

Jika 𝑥, 𝑦, 𝑧 adalah bilangan real positif maka berlaku

𝑥2+ 𝑦2+ 𝑧2

3
≥ 𝑥 + 𝑦 + 𝑧

3
≥3𝑥𝑦𝑧 ≥
3

1
𝑥 + 1

𝑦 + 1

𝑧

Soal No.3

Jika 𝑥, 𝑦, 𝑧 bilangan real positif dengan 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 1. Buktikan bahwa

1
𝑥+

1
𝑦+

1
𝑧≥ 9

Penyelesaian:

Dengan 𝐴𝑀 − 𝐻𝑀 diperoleh

𝑥 + 𝑦 + 𝑧

3
≥
3

1
𝑥 + 1

𝑦 + 1

𝑧

Karena 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 1, maka

1
𝑥 + 1

𝑦 + 1

𝑧 ≥ 9

∴ 𝑇𝑒𝑟𝑏𝑢𝑘𝑡𝑖