Transformasi Geometri (Refleksi)

Modul Matematika Umum Kelas XI KD 3.5

@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN

23

KEGIATAN PEMBELAJARAN 2

REFLEKSI (PENCERMINAN)

A.Tujuan Pembelajaran

Anak-anak setelah kegiatan pembelajaran 2 ini kalian diharapkan dapat
1.Memahami pengertian refleksi (pencerminan)

2.Memahami sifat-sifat refleksi

3.Menentukan refleksi terhadap sumbu X

4.Menentukan refleksi terhadap sumbu Y

5.Menentukan refleksi terhadap titik O(0, 0)

6.Menentukan refleksi terhadap garis 𝑦 = 𝑥

7.Menentukan refleksi terhadap garis 𝑦 = −𝑥

8.Menentukan refleksi terhadap garis 𝑥 = ℎ

9.Menentukan refleksi terhadap garis 𝑦 = 𝑘

B.Uraian Materi

Pengertian dan Sifat-sifat Refleksi (Pencerminan)
Bercermin merupakan kegiatan yang sering kita lakukan dalam kehidupan sehari-hari.
Tetapi pernahkan kita berpikir bagaimana bentuk bayangan yang dihasilkan pada cermin?
Bagaimana jarak bayangan yang dihasilkan terhadap cermin? untuk menjawab
pertanyaan tersebut, yuk kita simak ilustrasi 1 dan ilustrasi 2

Gambar 5. Bola dihadapan cermin dengan jarak 30 cm

Sumber : Koleksi Pribadi

Terdapat sebuah bola yang diletakkan dihadapan cermin dengan jarak 30 cm.
Bagaimana hasil refleksi bola terhadap cermin? Bagaimana jarak bayangan bola
terhadap cermin ?

Ilustrasi 1

Modul Matematika Umum Kelas XI KD 3.5

@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN

24

Seperti telihat pada Gambar 5 hasil bayangan bola terhadap cermin berupa bola. Jika kita
misalkan bola sebagai titik A dan bayangan bola sebagai A’, maka jarak titik A ke cermin
sama dengan jarak titik A’ ke cermin yaitu 30 cm. Selain itu, jika titik A dan titik A’ kita
hubungkan maka garis AA’ akan tegak lurus dengan cermin dan menghasilkan titik yang
sama dengan jarak yang sama.

Gambar 6. Rani berdiri dihadapan cermin

Sumber : Koleksi Pribadi

Anak-anakku, jika kita lihat pada cermin hasil bayangan Rani berupa sosok Rani dengan
tinggi yang sama dan jarak bayangan Rani terhadap cermin sama dengan jarak Rani
terhadap cermin yaitu 50 cm. Jika kita misalkan tinggi Rani sebagai garis ℎ maka hasil
refleksi berupa garis ℎ′. Jika ujung-ujung garis ℎ dan garis ℎ′ dihubungkan maka akan
menghasilkan garis yang sejajar.

Berdasarkan ilustrasi 1 dan ilustrasi 2, kita dapat memahami konsep refleksi secara
umum dan sifat-sifatnya.

Rani berdiri di depan cermin dengan jarak 50 cm dan tinggi Rani adalah 160 cm.
Bagaimana hasil refleksi Rani terhadap cermin? Bagaimana jarak bayangan Rani
terhadap cermin ?

Ilustrasi 2

Modul Matematika Umum Kelas XI KD 3.5

@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN

25

Jenis-Jenis Refleksi

1.Refleksi terhadap sumbu 𝒙

Anak-anakku, kita akan menemukan konsep pencerminan terhadap sumbu 𝑥 dengan
mengamati pencerminan segitiga ABC pada gambar 7. Bagaimana bayangan segitiga ABC
setelah dicerminkan terhadap sumbu X?

Gambar 7. Segitiga ABC direfleksikan terhadap sumbu 𝑥

Sumber : http://panduangeogebra.blogspot.com/

Pada gambar 7, kita dapat melihat bahwa segitiga A’B’C’ merupakan hasil bayangan
segitiga ABC setelah dicermikan terhadap sumbu 𝑥 pada koordinat cartesius. Agar mudah
memahami perubahan koordinat setiap titik pada segitiga, kita dapat melihat pada tabel 2
berikut.

Refleksi (pencerminan) adalah suatu transformasi yang memindahkan tiap
titik pada bidang dengan menggunakan sifat bayangan oleh suatu cermin.
Refleksi disimbolkan dengan 𝑀𝑎 dengan 𝑎 merupakan sumbu cermin.

Sifat-sifat Refleksi:

1.Jarak dari titik asal ke cermin sama dengan jarak cermin ke titik bayangan

2.Garis yang menghubungkan titik asal dengan titik bayangan tegak lurus
terhadap cermin

3.Garis-garis yang terbentuk antara titik-titik asal dengan titik-titik
bayangan akan saling sejajar

Modul Matematika Umum Kelas XI KD 3.5

@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN

26

Titik 𝐴(𝑥, 𝑦) dicerminkan terhadap sumbu 𝑥 menghasilkan bayangan
𝐴′(𝑥′, 𝑦′) ditulis dengan

(𝑥′
𝑦′) = (1

0

0−1) (𝑥

𝑦)

Tabel 2. Koordinat pencerminan titik

pada segitiga terhadap sumbu 𝑥

Titik
Koordinat
Bayangan

A (2, 4)

A’(2, -4)

B (5, 6)

B’(5, -6)

C (3, 9)

C’(3, -9)

Berdasarkan pengamatan pada gambar 7 dan tabel 2, secara umum diperoleh

Anak-anakku, mari kita mencari matriks pencerminan terhadap sumbu 𝑥

Kita misalkan matriks transformasinya adalah 𝑀 = (𝑎𝑏

𝑐𝑑) sehingga

𝐴(𝑥, 𝑦) →

𝑀𝑥 𝐴′(𝑥, −𝑦)

( 𝑥
−𝑦) = (𝑎

𝑏

𝑐𝑑) (𝑥

𝑦)

( 𝑥
−9) = (𝑎𝑥 + 𝑏𝑦

𝑐𝑥 + 𝑑𝑦)

Dengan kesamaan dua matriks diperoleh:
𝑥 = 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 agar ruas kiri dan kanan bernilai sama maka 𝑎 = 1 dan 𝑏 = 0
Cek :
Substitusi 𝑎 = 1 dan 𝑏 = 0 ke persamaan 𝑥 = 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦

𝑥 = 1 ∙ 𝑥 + 0 ∙ 𝑦
𝑥 = 𝑥

−𝑦 = 𝑐𝑥 + 𝑑𝑦 agar rus kiri dan kanan bernilai sama maka 𝑐 = 0 dan 𝑑 = −1
Cek :
Substitusi 𝑐 = 0 dan 𝑑 = −1 ke persamaan −𝑦 = 𝑐𝑥 + 𝑑𝑦

−𝑦 = 0 ∙ 𝑥 + (−1) ∙ 𝑦
−𝑦 = −𝑦

Berdasarkan uraian di atas diperoleh matriks pencerminan terhadap sumbu 𝑥 adalah

(10

0−1)

Anak-anakku, untuk lebih memahami konsep pencerminan terhadap sumbu 𝑥 perhatikan
beberapa contoh soal berikut

𝑀𝑥

𝐴(𝑥, 𝑦)

𝐴′(𝑥′, 𝑦′)

Jika titik 𝐴(𝑥, 𝑦) dicerminkan terhadap sumbu 𝑥, maka akan menghasilkan bayangan
𝐴′(𝑥, −𝑦)

Modul Matematika Umum Kelas XI KD 3.5

@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN

27

Pembahasan:

(x′
y′) = (1

0

0−1) (2

5) →

(x′
y′) = ( 2

−5)

Jadi bayangan titik B adalah 𝐵′(2, −5)

Pembahasan;
Misal titik 𝐴(𝑥, 𝑦) memenuhi persamaan 3𝑥 − 2𝑦 − 5 = 0 sehingga

(𝑥′
𝑦′) = (1

0

0−1) (𝑥

𝑦)

(𝑥′
𝑦′) = ( 𝑥

−𝑦)

Berdasarkan kesamaan dua matriks diperoleh

𝑥′= 𝑥 → 𝑥 = 𝑥′
𝑦′= −𝑦 → 𝑦 = −𝑦′

Substitusi 𝑥 = 𝑥′ dan 𝑦 = −𝑦′ ke persamaan garis 𝑙

3𝑥 − 2𝑦 − 5 = 0

3(𝑥′) − 2(−𝑦′) − 5 = 0

3𝑥′+ 2𝑦′− 5 = 0

Jadi, persamaan bayangan garis 𝑙 adalah 3𝑥 + 2𝑦 − 5 = 0

2.Refleksi terhadap sumbu 𝒚

Anak-anakku, untuk memahami konsep refleksi terhadap sumbu 𝑦 mari kita amati
pencerminan persegi PQRS. Bagaimana perubahan setiap titik P, Q, R, dan S pada persegi
PQRS setelah dicerminkan terhadap sumbu 𝑦?

𝑀𝑥

𝐵(2, 5)

𝐵′(𝑥′, 𝑦′)

𝑀𝑥

𝐴(𝑥, 𝑦)

𝐴′(𝑥′, 𝑦′)

Lakukan perkalian matriks

Jika titik 𝐵(2, 5) dicerminkan terhadap sumbu 𝑥 maka bayangan titik B adalah …

Contoh Soal 1:

Jika garis 𝑙: 3𝑥 − 2𝑦 − 5 = 0 dicerminkan terhadap sumbu 𝑥 maka hasil bayangan
garis 𝑙 adalah …

Contoh Soal 2

Modul Matematika Umum Kelas XI KD 3.5

@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN

28

Gambar 8. Persegi PQRS direfleksikan terhadap sumbu 𝑦

Sumber : http://panduangeogebra.blogspot.com/

Pada gambar di atas, kita dapat melihat bahwa persegi P’Q’R’S’ merupakan hasil bayangan
persegi PQRS setelah dicermikan terhadap sumbu 𝑦 pada koordinat cartesius. Agar
mudah memahami perubahan koordinat setiap titik pada persegi dapat dilihat pada tabel
3 berikut.

Tabel 3. Koordinat pencerminan titik

pada persegi terhadap sumbu 𝑦

Titik
Koordinat
Bayangan

P (2, 1)

P’(-2, 1)

Q (4, 1)

Q’(-4, 1)

R (4, 3)

C’(-4, 3)

S (2, 3)

S’(-2, 3)

Berdasarkan pengamatan pada gambar 8 dan tabel 3, secara umum diperoleh





Anak-anakku, mari kita mencari matriks pencerminan terhadap sumbu 𝑦

Kita misalkan matriks transformasinya adalah 𝑀 = (𝑎𝑏

𝑐𝑑) sehingga diperoleh

𝐴(𝑥, 𝑦) →

𝑀𝑦

𝐴′(−𝑥, 𝑦)

(−𝑥

𝑦 ) = (𝑎

𝑏

𝑐𝑑) (𝑥

𝑦)

(−𝑥

𝑦 ) = (𝑎𝑥 + 𝑏𝑦

𝑐𝑥 + 𝑑𝑦)

Jika titik 𝐴(𝑥, 𝑦) dicerminkan terhadap sumbu 𝑦, maka akan menghasilkan bayangan
𝐴′(−𝑥, 𝑦)

Modul Matematika Umum Kelas XI KD 3.5

@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN

29

Dengan kesamaan dua matriks diperoleh:
−𝑥 = 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 agar ruas kiri dan kanan bernilai sama maka 𝑎 = −1 dan 𝑏 = 0
Cek :
Substitusi 𝑎 = −1 dan 𝑏 = 0 ke persamaan −𝑥 = 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦

−𝑥 = (−1) ∙ 𝑥 + 0 ∙ 𝑦
−𝑥 = −𝑥

𝑦 = 𝑐𝑥 + 𝑑𝑦 agar rus kiri dan kanan bernilai sama maka 𝑐 = 0 dan 𝑑 = 1
Cek :
Substitusi 𝑐 = 0 dan 𝑑 = 1 ke persamaan 𝑦 = 𝑐𝑥 + 𝑑𝑦

𝑦 = 0 ∙ 𝑥 + 1 ∙ 𝑦
𝑦 = 𝑦

Berdasarkan uraian di atas diperoleh matriks pencerminan terhadap sumbu 𝑦 adalah

(−10

01)

Anak-anakku, untuk lebih memahami konsep refleksi terhadap sumbu 𝑦 perhatikan
beberapa contoh soal berikut

Pembahasan:

(x′
y′) = (−1

0

01) (−4

−3) →

(x′
y′) = ( 4

−3)

Jadi, bayangan titik A adalah 𝐴′(4, −3)

Pembahasan;
Misal titik 𝐴(𝑥, 𝑦) memenuhi persamaan 3𝑥 − 2𝑦 − 5 = 0 sehingga

𝑀𝑦

𝐴(𝑥, 𝑦)

𝐴′(𝑥′, 𝑦′)

𝑀𝑦

𝐴(−4, −3)

𝐴′(𝑥′, 𝑦′)

Jika titik 𝐴(−4, −3) dicerminkan terhadap sumbu 𝑦 maka bayangan titik 𝐴 adalah …

Contoh Soal 1:

Jika garis 𝑙: 3𝑥 − 2𝑦 − 5 = 0 dicerminkan terhadap sumbu 𝑦 maka hasil bayangan garis 𝑙
adalah …

Contoh Soal 2:

Titik 𝐴(𝑥, 𝑦) dicerminkan terhadap sumbu 𝑦 menghasilkan bayangan
𝐴′(𝑥′, 𝑦′) ditulis dengan

(𝑥′
𝑦′) = (−10

01) (𝑥

𝑦)

Lakukan perkalian matriks

Modul Matematika Umum Kelas XI KD 3.5

@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN

30

(x′
y′) = (−1

0

01) (x

y)

(x′
y′) = (−x

y )

Berdasarkan kesamaan dua matriks diperoleh

𝑥′= −𝑥 → 𝑥 = −𝑥′
𝑦′= 𝑦 → 𝑦 = 𝑦′

Substitusi 𝑥 = −𝑥′ dan 𝑦 = 𝑦′ ke persamaan garis 𝑙

3𝑥 − 2𝑦 − 5 = 0

3(−𝑥′) − 2(𝑦′) − 5 = 0

−3𝑥′− 2𝑦′− 5 = 0

3𝑥 + 2𝑦 + 5 = 0

Jadi, persamaan bayangan garis 𝑙 adalah 3𝑥 + 2𝑦 + 5 = 0

3.Refleksi terhadap titik asal O(0, 0)

Anak-anakku, untuk memahami konsep refleksi terhadap titik asal O(0, 0) mari kita amati
pencerminan segitiga ABC dan segitiga DEF. Bagaimana perubahan setiap titik A, B, C pada
segitiga ABC dan titik D, E, F pada segitiga DEF setelah dicerminkan terhadap titik asal
yaitu titik O(0, 0)?

Gambar 9. Segitiga ABC dan segitiga PQRS direfleksikan terhadap titik asal O(0, 0)

Sumber : e-modul Matematika kelas XI

Pada gambar 9, kita dapat melihat bahwa segitiga A’B’C’ merupakan bayangan dari
segitiga ABC setelah dicerminkan terhadap titik asal O(0,0). Segitiga D’E’F’ merupakan
hasil bayangan segitiga DEF setelah dicerminkan terhadap titik asal O(0,0). Anak-anak
untuk mudah memahami perubahan koordinat setiap titik yang terjadi pada segitiga ABC
dan segitiga DEF dapat dilihat pada tabel 4.

Modul Matematika Umum Kelas XI KD 3.5

@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN

31

Tabel 4. Koordinat pencerminan titik
pada segitiga terhadap titik asal O(0, 0)

Titik
Koordinat
Bayangan

A (8, 3)

A’(-8, -3)

B (14, 7)

B’(-14, -7)

C (12,11)

C’(-12, -11)

D (13, -4)

D’(-13, 4)

E (15, -12)

E’(-15, 12)

F (5, -13)

F’ (-5, 13)

Berdasarkan pengamatan pada gambar 9 dan tabel 4, secara umum diperoleh




Anak-anakku, mari kita mencari matriks pencerminan terhadap titik asal O(0, 0)

Kita misalkan matriks transformasinya adalah 𝑀 = (𝑎𝑏

𝑐𝑑) sehingga diperoleh

𝐴(𝑥, 𝑦)

→

𝑀𝑂(0,0)

𝐴′(−𝑥, 𝑦)

(−𝑥
−𝑦) = (𝑎

𝑏

𝑐𝑑) (𝑥

𝑦)

(−𝑥
−𝑦) = (𝑎𝑥 + 𝑏𝑦

𝑐𝑥 + 𝑑𝑦)

Dengan kesamaan dua matriks diperoleh:
−𝑥 = 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 agar ruas kiri dan kanan bernilai sama maka 𝑎 = −1 dan 𝑏 = 0
Cek :
Substitusi 𝑎 = −1 dan 𝑏 = 0 ke persamaan −𝑥 = 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦

−𝑥 = (−1) ∙ 𝑥 + 0 ∙ 𝑦
−𝑥 = −𝑥

−𝑦 = 𝑐𝑥 + 𝑑𝑦 agar rus kiri dan kanan bernilai sama maka 𝑐 = 0 dan 𝑑 = −1
Cek :
Substitusi 𝑐 = 0 dan 𝑑 = 1 ke persamaan 𝑦 = 𝑐𝑥 + 𝑑𝑦

−𝑦 = 0 ∙ 𝑥 + (−1) ∙ 𝑦
−𝑦 = −𝑦

Berdasarkan uraian di atas diperoleh matriks pencerminan terhadap titik asal O(0, 0)

adalah (−10

0−1)

Anak-anakku, untuk lebih memahami konsep refleksi terhadap titik asal O(0,0) perhatikan
beberapa contoh soal berikut

Jika titik 𝐴(𝑥, 𝑦) dicerminkan terhadap titik asal O(0, 0), maka akan menghasilkan
bayangan 𝐴′(−𝑥, −𝑦)

Titik 𝐴(𝑥, 𝑦) dicerminkan terhadap titik asal O(0,0) menghasilkan bayangan
𝐴′(𝑥′, 𝑦′) ditulis dengan

(𝑥′
𝑦′) = (−1

0

0−1) (𝑥

𝑦)

Modul Matematika Umum Kelas XI KD 3.5

@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN

32

Pembahasan:

(x′
y′) = (−1

0

0−1) (−4

−3)

(x′
y′) = (4

3)

Jadi, bayangan titik A adalah 𝐴′(4, 3)

Pembahasan:
Misal titik 𝐴(𝑥, 𝑦) memenuhi persamaan 3𝑥 − 2𝑦 − 5 = 0 sehingga

(𝑥′
𝑦′) = (−1

0

0−1) (𝑥

𝑦)

(𝑥′
𝑦′) = (−𝑥

−𝑦)

Berdasarkan kesamaan dua matriks diperoleh

𝑥′= −𝑥 → 𝑥 = −𝑥′
𝑦′= −𝑦 → 𝑦 = −𝑦′

Substitusi 𝑥 = −𝑥′ dan 𝑦 = −𝑦′ ke persamaan garis 𝑙

3𝑥 − 2𝑦 − 5 = 0

3(−𝑥′) − 2(−𝑦′) − 5 = 0

−3𝑥′+ 2𝑦′− 5 = 0

Jadi persamaan bayangan garis 𝑙 adalah −3𝑥′+ 2𝑦′− 5 = 0

4.Refleksi terhadap garis 𝒚 = 𝒙

Anak-anakku, untuk memahami konsep refleksi terhadap garis 𝑦 = 𝑥 mari kita amati
pencerminan segitiga ABC. Bagaimana perubahan setiap titik A, B, C pada segitiga ABC
setelah dicerminkan terhadap garis 𝑦 = 𝑥?

𝑀𝑂(0,0)

𝐴(𝑥, 𝑦)

𝐴′(𝑥′, 𝑦′)

𝑀𝑂(0,0)

𝐴(−4, −3)

𝐴′(𝑥′, 𝑦′)

Jika titik 𝐴(−4, −3) dicerminkan terhadap titik asal O(0, 0) maka bayangan titik 𝐴
adalah …

Contoh Soal 1:

Jika garis 𝑙: 3𝑥 − 2𝑦 − 5 = 0 dicerminkan terhadap titik asal O(0, 0) maka hasil
bayangan garis 𝑙 adalah …

Contoh Soal 2:

Modul Matematika Umum Kelas XI KD 3.5

@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN

33

Gambar 10. Segitiga ABC direfleksikan terhadap garis 𝑦 = 𝑥

Sumber : e-modul Matematika kelas XI

Pada gambar 10, kita dapat melihat bahwa segitiga A’B’C’ merupakan bayangan dari
segitiga ABC setelah dicerminkan terhadap garis 𝑦 = 𝑥. Anak-anak, untuk mudah
memahami peurbahan koordinat setiap titik A, B dan C yang terjadi pada segitiga ABC
dapat dilihat pada tabel 5.

Tabel 5. Koordinat pencerminan titik

pada segitiga terhadap garis 𝑦 = 𝑥

Titik
Koordinat
Bayangan

A (-6, -2)

A’(-2, -6)

B (0, 10)

B’(10, 0)

C (-9,7)

C’(7, -9)

Berdasarkan pengamatan pada gambar 10 dan tabel 5, secara umum diperoleh




Anak-anakku, mari kita mencari matriks pencerminan terhadap garis 𝑦 = 𝑥

Kita misalkan matriks transformasinya adalah 𝑀 = (𝑎𝑏

𝑐𝑑) sehingga diperoleh

𝐴(𝑥, 𝑦) →

𝑀𝑦=𝑥

𝐴′(𝑦, 𝑥)

(𝑦
𝑥) = (𝑎

𝑏

𝑐𝑑) (𝑥

𝑦)

(𝑦
𝑥) = (𝑎𝑥 + 𝑏𝑦

𝑐𝑥 + 𝑑𝑦)

Dengan kesamaan dua matriks diperoleh:

Jika titik 𝐴(𝑥, 𝑦) dicerminkan terhadap garis 𝑦 = 𝑥, maka akan menghasilkan bayangan
𝐴′(𝑦, 𝑥)

Modul Matematika Umum Kelas XI KD 3.5

@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN

34

𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 agar ruas kiri dan kanan bernilai sama maka 𝑎 = 0 dan 𝑏 = 1
Cek :
Substitusi 𝑎 = 0 dan 𝑏 = 1 ke persamaan 𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦

𝑦 = 0 ∙ 𝑥 + 1 ∙ 𝑦
𝑦 = 𝑦

𝑥 = 𝑐𝑥 + 𝑑𝑦 agar rus kiri dan kanan bernilai sama maka 𝑐 = 1 dan 𝑑 = 0
Cek :
Substitusi 𝑐 = 1 dan 𝑑 = 0 ke persamaan 𝑥 = 𝑐𝑥 + 𝑑𝑦

𝑥 = 1 ∙ 𝑥 + 0 ∙ 𝑦
𝑥 = 𝑥

Berdasarkan uraian di atas diperoleh matriks pencerminan terhadap garis 𝑦 = 𝑥 adalah

(01

10)

Anak-anakku, untuk lebih memahami konsep refleksi terhadap garis 𝑦 = −𝑥 perhatikan
beberapa contoh soal berikut







Pembahasan:

(𝑥′
𝑦′) = (0

1

10) (−5

4 )

(𝑥′
𝑦′) = ( 4

−5)

Jadi, bayangan titik P adalah 𝑃′(4, −5)

Pembahasan:
Misal titik 𝐴(𝑥, 𝑦) memenuhi persamaan 3𝑥 − 2𝑦 − 5 = 0 sehingga

𝑀𝑦=𝑥

𝐴(𝑥, 𝑦)

𝐴′(𝑥′, 𝑦′)

𝑀𝑦=𝑥

𝑃(−5, 4)

𝑃′(𝑥′, 𝑦′)

Jika titik 𝑃(−5, 4) dicerminkan terhadap garis 𝑦 = 𝑥 maka bayangan titik 𝑃 adalah …

Contoh Soal 1:

Jika garis 𝑙: 3𝑥 − 2𝑦 − 5 = 0 dicerminkan terhadap garis 𝑦 = 𝑥maka hasil bayangan
garis 𝑙 adalah …

Contoh Soal 2:

Titik 𝐴(𝑥, 𝑦) dicerminkan terhadap garis 𝑦 = 𝑥 menghasilkan bayangan
𝐴′(𝑥′, 𝑦′) ditulis dengan

(𝑥′
𝑦′) = (0

1

10) (𝑥

𝑦)

Modul Matematika Umum Kelas XI KD 3.5

@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN

35

(𝑥′
𝑦′) = (0

1

10) (𝑥

𝑦)

(𝑥′
𝑦′) = (𝑦

𝑥)

Berdasarkan kesamaan dua matriks diperoleh

𝑥′= 𝑦 → 𝑦 = 𝑥′
𝑦′= 𝑥 → 𝑥 = 𝑦′

Substitusi 𝑥 = 𝑦′ dan𝑦 = 𝑥′ ke persamaan garis 𝑙

3𝑥 − 2𝑦 − 5 = 0

3(𝑦′) − 2(𝑥′) − 5 = 0

3𝑦′− 2𝑥′− 5 = 0

−2𝑥′+ 3𝑦′− 5 = 0

−2𝑥 + 3𝑦 − 5 = 0

Jadi persamaan bayangan garis 𝑙 adalah −2𝑥 + 3𝑦 − 5 = 0

5.Refleksi terhadap garis 𝒚 = −𝒙

Anak-anakku, untuk memahami konsep refleksi terhadap garis 𝑦 = −𝑥 mari kita amati
pencerminan segitiga ABC pada gambar 11. Bagaimana perubahan setiap titik A, B, C pada
segitiga ABC setelah dicerminkan terhadap garis 𝑦 = −𝑥?

Gambar 11. Segitiga ABC direfleksikan terhadap garis 𝑦 = 𝑥

Sumber : e-modul Matematika kelas XI

Pada gambar 11, kita dapat melihat bahwa segitiga A’B’C’ merupakan bayangan dari
segitiga ABC setelah dicerminkan terhadap garis 𝑦 = −𝑥. Anak-anak, untuk mudah
memahami perubahan koordinat setiap titik A, B dan C yang terjadi pada segitiga ABC
dapat dilihat pada tabel 6.

Modul Matematika Umum Kelas XI KD 3.5

@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN

36

Tabel 6. Koordinat pencerminan titik
pada segitiga terhadap garis 𝑦 = −𝑥

Titik
Koordinat
Bayangan

A (-5,9)

A’(5, -9)

B (7,3)

B’(-3, -7)

C (4,12)

C’(-12, -4)

Berdasarkan pengamatan pada gambar 11 dan tabel 6, secara umum diperoleh




Anak-anakku, mari kita mencari matriks pencerminan terhadap garis 𝑦 = −𝑥

Kita misalkan matriks transformasinya adalah 𝑀 = (𝑎𝑏

𝑐𝑑) sehingga diperoleh

𝐴(𝑥, 𝑦)

→

𝑀𝑦=−𝑥

𝐴′(𝑦, 𝑥)

(−𝑦
−𝑥) = (𝑎

𝑏

𝑐𝑑) (𝑥

𝑦)

(−𝑦
−𝑥) = (𝑎𝑥 + 𝑏𝑦

𝑐𝑥 + 𝑑𝑦)

Dengan kesamaan dua matriks diperoleh:
−𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 agar ruas kiri dan kanan bernilai sama maka 𝑎 = 0 dan 𝑏 = −1
Cek :
Substitusi 𝑎 = 0 dan 𝑏 = −1 ke persamaan −𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦

−𝑦 = 0 ∙ 𝑥 + (−1) ∙ 𝑦
−𝑦 = −𝑦

−𝑥 = 𝑐𝑥 + 𝑑𝑦 agar rus kiri dan kanan bernilai sama maka 𝑐 = −1 dan 𝑑 = 0
Cek :
Substitusi 𝑐 = −1 dan 𝑑 = 0 ke persamaan −𝑥 = 𝑐𝑥 + 𝑑𝑦

−𝑥 = (−1) ∙ 𝑥 + 0 ∙ 𝑦
−𝑥 = −𝑥

Berdasarkan uraian di atas diperoleh matriks pencerminan terhadap garis 𝑦 = −𝑥 adalah

( 0−1

−1
0 )

Anak-anakku, untuk lebih memahami konsep refleksi terhadap garis 𝑦 = −𝑥 perhatikan
beberapa contoh soal berikut

Jika titik 𝐴(𝑥, 𝑦) dicerminkan terhadap garis 𝑦 = −𝑥, maka akan menghasilkan
bayangan 𝐴′(−𝑦, −𝑥)

Titik 𝐴(𝑥, 𝑦) dicerminkan terhadap garis 𝑦 = −𝑥 menghasilkan bayangan
𝐴′(𝑥′, 𝑦′) ditulis dengan

(𝑥′
𝑦′) = ( 0

−1

−10) (𝑥

𝑦)

Modul Matematika Umum Kelas XI KD 3.5

@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN

37

Pembahasan:

(𝑥′
𝑦′) = ( 0

−1

−1
0 ) (−5

4 )

(𝑥′
𝑦′) = (−4

5 )

Jadi, bayangan titik P adalah 𝑃′(−4, 5)

Pembahasan:
Misal titik 𝐴(𝑥, 𝑦) memenuhi persamaan 4𝑥 − 3𝑦 + 11 = 0 sehingga

(𝑥′
𝑦′) = ( 0

−1

−1
0 ) (𝑥

𝑦)

(𝑥′
𝑦′) = (−𝑦

−𝑥)

Berdasarkan kesamaan dua matriks diperoleh

𝑥′= −𝑦 → 𝑦 = −𝑥′
𝑦′= −𝑥 → 𝑥 = −𝑦′

Substitusi 𝑥 = −𝑦′dan𝑦 = −𝑥′ ke persamaan garis 𝑙

4𝑥 − 3𝑦 + 11 = 0

4(−𝑦′) − 3(−𝑥′) + 11 = 0

−4𝑦′+ 3𝑥′+ 11 = 0

3𝑥′− 4𝑦′+ 11 = 0

3𝑥 − 4𝑦 + 11 = 0

Jadi persamaan bayangan garis 𝑔 adalah 3𝑥 − 4𝑦 + 11 = 0


6.Refleksi terhadap garis 𝒙 = 𝒉

Anak-anakku, untuk memahami konsep refleksi terhadap garis 𝑥 = ℎ mari kita amati
pencerminan segi empat XWYZpada gambar 12. Bagaimana perubahan setiap titik X, W, Y,
dan Z pada segi empat XWYZ setelah dicerminkan terhadap garis 𝑥 = ℎ?

𝑀𝑦=−𝑥

𝐴(𝑥, 𝑦)

𝐴′(𝑥′, 𝑦′)

𝑀𝑦=−𝑥

𝑃(−5, 4)

𝑃′(𝑥′, 𝑦′)

Jika titik 𝑃(−5, 4) dicerminkan terhadap garis 𝑦 = −𝑥 maka bayangan titik 𝑃 adalah
…

Contoh Soal 1:

Jika garis 𝑔: 4𝑥 − 3𝑦 + 11 = 0 dicerminkan terhadap garis 𝑦 = −𝑥maka hasil
bayangan garis 𝑙 adalah …

Contoh Soal 2:

Modul Matematika Umum Kelas XI KD 3.5

@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN

38

Gambar 12. Segi empat XWYZ direfleksikan terhadap garis 𝑥 = ℎ

Sumber : http://panduangeogebra.blogspot.com/

Pada gambar 12, kita dapat melihat bahwa segiempat X’W’Y’Z’ merupakan hasil
pencerminan dari segiempat XWYZ setelah direfleksikan terhadap garis 𝑥 = ℎ. Anak-anak,
untuk mudah memahami perubahan koordinat setiap titik X, Y, W dan Z yang terjadi pada
segiempat XWYZ dapat dilihat pada tabel 7.

Tabel 7. Koordinat pencerminan titik
pada segi empat terhadap garis 𝑥 = ℎ

Titik
Koordinat
Bayangan

X (2, 1)

X’(-6, 1)

Y (4,4)

Y’(-8, 4)

W (4, 3)

W’(-8, 3)

Z (2, 4)

Z’(-6, 4)

Berdasarkan pengamatan pada gambar 12 dan tabel 7, terlihat perubahan titik terjadi
pada koordinat 𝑥 sedangkan untuk koordinat 𝑦 tetap, sehingga secara umum diperoleh

Titik 𝐴(𝑥, 𝑦) dicerminkan terhadap garis 𝑥 = ℎ menghasilkan bayangan
𝐴′(𝑥′, 𝑦′) ditulis dengan

(𝑥′
𝑦′) = (−1

0

01) (𝑥

𝑦) + (2ℎ

0 )

Jika titik 𝐴(𝑥, 𝑦) dicerminkan terhadap garis 𝑥 = ℎ, maka akan menghasilkan bayangan
𝐴′(2ℎ − 𝑥, 𝑦)

Modul Matematika Umum Kelas XI KD 3.5

@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN

39

Anak-anakku, untuk lebih memahami konsep refleksi terhadap garis 𝑥 = ℎ perhatikan
beberapa contoh soal berikut







Pembahasan:

(𝑥′
𝑦′) = (−1

0

01) (𝑥

𝑦) + (2ℎ

0 )

(𝑥′

𝑦′) = (−1

0

01) (5

2) + (2 ∙ 2

0 )

(𝑥′

𝑦′) = (−5

2 ) + (4

0)

(𝑥′
𝑦′) = (−5 + 4

2 + 0 )

(𝑥′
𝑦′) = (−1

2 )

Jadi, bayangan titik P adalah 𝑃′(−1, 2)

Pembahasan:
Misal titik 𝐴(𝑥, 𝑦) memenuhi persamaan 𝑦 = 𝑥2+ 3𝑥 − 5 sehingga

(𝑥′
𝑦′) = (−1

0

01) (𝑥

𝑦) + (2ℎ

0 )

(𝑥′

𝑦′) = (−1

0

01) (𝑥

𝑦) + (2 ∙ 2

0 )

(𝑥′

𝑦′) = (−𝑥

𝑦 ) + (4

0)

(𝑥′
𝑦′) = (−𝑥 + 4

𝑦
)

Berdasarkan kesamaan dua matriks diperoleh

𝑥′= −𝑥 + 4 → 𝑥 = 4 − 𝑥′

𝑦′= 𝑦 → 𝑦 = 𝑦′

Substitusi 𝑥 = 4 − 𝑥′dan 𝑦 = 𝑦′ ke persamaan kurva 𝑦 = 𝑥2+ 3𝑥 − 5

𝑦′= (4 − 𝑥′)2+ 3(4 − 𝑥′) − 5
𝑦′= (4 − 𝑥′)(4 − 𝑥′) + 3(4 − 𝑥′) − 5
𝑦′= 16 − 4𝑥′− 4𝑥′+ 𝑥′2+ 12 − 3𝑥′− 5
𝑦′= 𝑥′2− 4𝑥′− 4𝑥′− 3𝑥′+ 16 + 12 − 5
𝑦′= 𝑥′2− 11𝑥′+ 23

Jika kurva 𝑦 = 𝑥2+ 3𝑥 − 5 dicerminkan terhadap garis 𝑥 = 2 maka hasil bayangan
kurva adalah …

Contoh Soal 2:

𝑀𝑥=2

𝐴(𝑥, 𝑦)

𝐴′(𝑥′, 𝑦′)

𝑀𝑥=2

𝑃(5, 2)

𝑃′(𝑥′, 𝑦′)

Jika titik 𝑃(5, 2) dicerminkan terhadap garis 𝑥 = 2 maka bayangan titik 𝑃 adalah …

Contoh Soal 1:

Modul Matematika Umum Kelas XI KD 3.5

@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN

40

𝑦 = 𝑥2− 11𝑥 + 23

Jadi persamaan bayangan garis 𝑔 adalah 𝑦 = 𝑥2− 11𝑥 + 23

7.Refleksi terhadap garis 𝒚 = 𝒌

Anak-anakku, untuk memahami konsep refleksi terhadap garis 𝑦 = 𝑘 mari kita amati
pencerminan segitiga PQR pada gambar 13. Bagaimana perubahan setiap titik P, Q, dan R
pada segitiga PQR setelah dicerminkan terhadap garis 𝑦 = 𝑘?

Gambar 13. Segitigs PQR direfleksikan terhadap garis 𝑦 = 𝑘

Sumber : http://panduangeogebra.blogspot.com/

Pada gambar 13, kita dapat melihat bahwa segitiga P’Q’R’ merupakan hasil pencerminan
dari segitiga PQR setelah direfleksikan terhadap garis 𝑦 = 𝑘. Anak-anak, untuk mudah
memahami perubahan koordinat setiap titik P, Q dan R yang terjadi pada segitiga PQR
dapat dilihat pada tabel 8.

Tabel 8. Koordinat pencerminan titik

pada segitiga terhadap garis 𝑦 = 𝑘

Titik
Koordinat
Bayangan

P (-2, 3)

P’(-2, -1)

Q (0, 5)

Q’(0, -3)

R (-2, 7)

R’(-2, 5)

Berdasarkan pengamatan pada gambar 13 dan tabel 8, terlihat perubahan titik terjadi
pada koordinat 𝑥 sedangkan untuk koordinat 𝑦 tetap, sehingga secara umum diperoleh

Jika titik 𝐴(𝑥, 𝑦) dicerminkan terhadap garis 𝑦 = 𝑘, maka akan menghasilkan bayangan
𝐴′(𝑥, 2𝑘 − 𝑦)

Modul Matematika Umum Kelas XI KD 3.5

@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN

41

Anak-anakku, untuk lebih memahami konsep refleksi terhadap garis 𝑦 = 𝑘 perhatikan
beberapa contoh soal berikut







Pembahasan:

(𝑥′
𝑦′) = (1

0

0−1) (𝑥

𝑦) + ( 0

2𝑘)

(𝑥′

𝑦′) = (1

0

0−1) (5

2) + ( 0

2 ∙ 2)

(𝑥′

𝑦′) = ( 5

−2) + (0

4)

(𝑥′
𝑦′) = ( 5 + 0

−2 + 4)

(𝑥′
𝑦′) = (5

2)

Jadi, bayangan titik P adalah 𝑃′(5, 2)

Pembahasan:
Misal titik 𝐴(𝑥, 𝑦) memenuhi persamaan 𝑦 = 𝑥2+ 3𝑥 − 5 sehingga

(𝑥′
𝑦′) = (1

0

0−1) (𝑥

𝑦) + ( 0

2𝑘)

(𝑥′

𝑦′) = (1

0

0−1) (𝑥

𝑦) + ( 0

2 ∙ 2)

(𝑥′

𝑦′) = ( 𝑥

−𝑦) + (0

4)

Titik 𝐴(𝑥, 𝑦) dicerminkan terhadap garis 𝑦 = 𝑘 menghasilkan bayangan
𝐴′(𝑥′, 𝑦′) ditulis dengan

(𝑥′
𝑦′) = (1

0

0−1) (𝑥

𝑦) + ( 0

2𝑘)

𝑀𝑦=2

𝐴(𝑥, 𝑦)

𝐴′(𝑥′, 𝑦′)

𝑀𝑦=2

𝑃(5, 2)

𝑃′(𝑥′, 𝑦′)

Jika titik 𝑃(5, 2) dicerminkan terhadap garis 𝑦 = 2 maka bayangan titik 𝑃 adalah …

Contoh Soal 1:

Jika kurva 𝑦 = 𝑥2+ 3𝑥 − 5 dicerminkan terhadap garis 𝑦 = 2 maka hasil bayangan
kurva adalah …

Contoh Soal 2:

Modul Matematika Umum Kelas XI KD 3.5

@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN

42

(𝑥′
𝑦′) = (
𝑥

−𝑦 + 4)

Berdasarkan kesamaan dua matriks diperoleh

𝑥′= 𝑥 → 𝑥 = 𝑥′

𝑦′= −𝑦 + 4 → 𝑦 = 4 − 𝑦′

Substitusi 𝑥 = 𝑥′dan 𝑦 = 4 − 𝑦′ ke persamaan kurva 𝑦 = 𝑥2+ 3𝑥 − 5

(4 − 𝑦′) = (𝑥′)2+ 3(𝑥′) − 5

−𝑦′= 𝑥′2+ 3𝑥′− 5 − 4
−𝑦′= 𝑥′2+ 3𝑥′− 9

𝑦′= −𝑥′2+ 3𝑥′− 9
𝑦 = −𝑥2+ 3𝑥 − 9

Jadi persamaan bayangan garis 𝑔 adalah 𝑦 = −𝑥2+ 3𝑥 − 9

C.Rangkuman

1.Refleksi (pencerminan) adalah suatu transformasi yang memindahkan tiap titik

pada bidang dengan menggunakan sifat bayangan oleh suatu cermin. Refleksi
disimbolkan dengan 𝑀𝑎 dengan 𝑎 merupakan sumbu cermin.

2.Sifat-sifat Refleksi:

1.Jarak dari titik asal ke cermin sama dengan jarak cermin ke titik bayangan
2.Garis yang menghubungkan titik asal dengan titik bayangan tegak lurus terhadap

cermin

3.Garis-garis yang terbentuk antara titik-titik asal dengan titik-titik bayangan akan

saling sejajar

3.Jenis-jenis refleksi

Misalkan koordinat titik asal A(𝑥, 𝑦) akan direfleksikan tehadap sumbu X, sumbu Y,
titik asal O (0,0), garis 𝑦 = 𝑥, garis 𝑦 = −𝑥, garis 𝑥 = ℎ, garis 𝑦 = 𝑘, dan garis 𝑦 =
𝑥 tan 𝛼 akan menghasilkan bayangan sebagai berikut

efleksi

Titik Bayangan
Persamaan Matriks

Transformasi

Sumbu X

𝐴′(𝑥, −𝑦)
(𝑥′
𝑦′) = (1

0

0−1) (𝑥

𝑦)

Sumbu Y

𝐴′(−𝑥, 𝑦)
(𝑥′
𝑦′) = (−1

0

01) (𝑥

𝑦)

Titik asal O (0,0)

𝐴′(−𝑥, −𝑦)
(𝑥′
𝑦′) = (−1

0

0−1) (𝑥

𝑦)

Garis 𝑦 = 𝑥

𝐴′(𝑦, 𝑥)
(𝑥′
𝑦′) = (0

1

10) (𝑥

𝑦)

Garis 𝑦 = −𝑥

𝐴′(−𝑦, −𝑥)
(𝑥′
𝑦′) = ( 0

−1

−1
0 ) (𝑥

𝑦)

Garis 𝑥 = ℎ

𝐴′(2ℎ − 𝑥, 𝑦)
(𝑥′
𝑦′) = (−1

0

01) (𝑥

𝑦) + (2ℎ

0 )

Garis 𝑦 = 𝑘

𝐴′(𝑥, 2𝑘 − 𝑦)
(𝑥′
𝑦′) = (1

0

0−1) (𝑥

𝑦) + ( 0

2𝑘)

Modul Matematika Umum Kelas XI KD 3.5

@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN

43

D.Latihan Soal

Anak- anak, untuk mengukur kemampuan pemahaman konsep kalian terhadap translasi
kerjakan soal latihan berikut:

Soal Essay
1.Titik 𝐴(3, −5) dicerminkan terhadap titik asal (0, 0). Koordinat bayangan titik A
adalah …

2.Titik 𝑃(5, − 4) dicerminkan terhadap garis 𝑦 = 𝑥. Koordinat bayangan titik 𝑃 adalah
…

3.Titik 𝑄(−3, 7) dicerminkan terhadap garis 𝑦 = −𝑥. Koordinat bayangan titik 𝑄 adalah
…

4.Titik 𝑆(4, 7) dicerminkan terhadap garis 𝑦 = 2. Koordinat bayangan titik 𝑆 adalah …

5.Tentukan koordinat titik asal pada titik 𝐵′(5, 2) setelah direfleksi terhadap garis 𝑥 =
3

6.Tentukan bayangan bangun segitiga ABC dengan 𝐴(1, 2), 𝐵(3, −2) dan 𝐶(4,1) akan
direfleksikan oleh 𝑀𝑦

7.Jika garis 2𝑦 − 3𝑥 + 6 = 0 direfleksikan terhadap sumbu 𝑥, maka persamaan
bayangan garis adalah …

8.Jika garis 𝑥 − 2𝑦 − 3 = 0 dicerminkan terhadap sumbu Y, maka persamaan
bayangannya adalah …

9.Parabola 𝑦 = 𝑥2− 3𝑥 + 2 dicerminkan terhadap sumbu y. Tentukan persamaan
bayangan parabola

10.Lingkaran

𝑥2+ 𝑦2− 3𝑥 + 5𝑦 − 3 = 0dicerminkan

terhadap

garis

𝑦 = −𝑥.

Persamaan bayangan lingkaran adalah …

Modul Matematika Umum Kelas XI KD 3.5

@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN

44

Pembahasan :

No

Pembahasan Soal Uraian

Skor

1. 1.Titik 𝐴(3, −5)dicerminkan terhadap titik asal (0, 0)

(𝑥′
𝑦′) = (−1

0

0−1) ( 3

−5) →

(𝑥′
𝑦′) = (−3

5 )

Jadi bayangan titik A adalah 𝐴′(−3, 5)

5


5

2. Titik 𝑃(5, − 4) dicerminkan terhadap garis 𝑦 = 𝑥

(𝑥′
𝑦′) = (0

1

10) ( 5

−4)

(𝑥′
𝑦′) = (−4

5 )

Jadi, bayangan titik P adalah 𝑃′(−4, 5)

5


5

3. 2.Titik 𝑄(−3, 7) dicerminkan terhadap garis 𝑦 = −𝑥

Pembahasan:

(𝑥′
𝑦′) = ( 0

−1

−1
0 ) (−3

7 )

(𝑥′
𝑦′) = (−7

3 )

Jadi, bayangan titik Q adalah 𝑄′(−7, 3)

5


5

4. 3.Titik 𝑆(4, 7) dicerminkan terhadap garis 𝑦 = 2

(𝑥′
𝑦′) = (1

0

0−1) (𝑥

𝑦) + ( 0

2𝑘)

(𝑥′

𝑦′) = (1

0

0−1) (4

7) + ( 0

2 ∙ 2)

(𝑥′

𝑦′) = ( 4

−7) + (0

4)

(𝑥′
𝑦′) = ( 4 + 0

−7 + 4)

(𝑥′
𝑦′) = ( 4

−3)

Jadi, bayangan titik S adalah 𝑆′(4, −3)

2

3


5

5. 4.Titik 𝐵(𝑥, 𝑦) direfleksikan terhadap garis 𝑥 = 2 menghasilkan bayangan

titik 𝐵′(5, 2)

𝑀(0,0)

𝐴(3, −5)

𝐴′(𝑥′, 𝑦′)

Lakukan perkalian matriks

𝑀𝑦=𝑥

𝑃(5, − 4)

𝑃′(𝑥′, 𝑦′)

𝑀𝑦=−𝑥

𝑄(−3, 7)

𝑃′(𝑥′, 𝑦′)

𝑀𝑦=2

𝑆(5, 2)

𝑆′(𝑥′, 𝑦′)

Modul Matematika Umum Kelas XI KD 3.5

@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN

45

Dengan menggunakan konsep refleksi pada garis 𝑥 = 2 diperoleh

(𝑥′
𝑦′) = (−1

0

01) (𝑥

𝑦) + (2ℎ

0 )

(5
2) = (−1

0

01) (𝑥

𝑦) + (2 ∙ 2

0 )

(5
2) = (−𝑥

𝑦 ) + (4

0)

(5
2) = (−𝑥 + 4

𝑦 + 0 )

(5
2) = (−𝑥 + 4

𝑦
)

Dengan kesamaan dua matriks diperoleh
5 = −𝑥 + 4 dan 𝑦 = 2
𝑥 = 4 − 5
𝑥 = −1
Jadi, Koordinat titik asal B adalah (−1, 2)

2

3



3




2

6. 5.Diketahui segitiga ABC dengan 𝐴(1, 2), 𝐵(3, −2) dan 𝐶(4,1) akan

direfleksikan oleh 𝑀𝑦
Kita gunakan konsep refleksi oleh 𝑀𝑦 sebagai berikut

Selanjutnya, koordinat titik A, B, dan C pada segitiga kita tuliskan dalam
bentuk sebuah matriks. Karena terdapat 3 titik sehingga matriks yang
akan dibuat berordo 2 × 3 dengan ketentuan sebagai berikut :
1.Baris pertama matrik diisi oleh komponen 𝑥
2.Baris kedua matriks diisi oleh komponen 𝑦
3.Kolom pertama diisi koordinat titik A
4.Kolom kedua diisi koordinat titik B
5.Kolom ketiga diisi koordinat titik C

Sehingga matriks yang terbentuk adalah (134

2−21). Matriks berikut

akan dikalikan dengan bentuk matriks untuk refleksi 𝑀𝑦 seperti berikut
ini

(𝑥′
𝑦′) = (−1

0

01) (1

34

2−21)

(x′
y′) = (−1

−3−4

2−2
1 )

Jadi,

bayangan

titik

𝐴, B, dan

C berturut-turut

adalah

𝐴′(−1, 2), 𝐵′(−3, −2) dan 𝐶′(−4, 1)

2




3









5

7 6.Garis 2𝑦 − 3𝑥 + 6 = 0 direfleksikan terhadap sumbu 𝑥

Misal titik 𝐴(𝑥, 𝑦) memenuhi persamaan 2𝑦 − 3𝑥 + 6 = 0 sehingga

𝑀𝑥

𝐴(𝑥, 𝑦)

𝐴′(𝑥′, 𝑦′)

𝑀𝑦

𝐴(1, 2)

𝐴′(𝑥′, 𝑦′)

𝑀𝑦

𝐶(4, 1)

𝐶′(𝑥′, 𝑦′)

𝑀𝑦

𝐵(3, − 2)

𝐵′(𝑥′, 𝑦′)

𝑀𝑥=2

𝐵(𝑥, 𝑦)

𝐵′(5, 2)

Modul Matematika Umum Kelas XI KD 3.5

@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN

46

(x′
y′) = (1

0

0−1) (x

y)

(x′
y′) = ( x

−y)

Berdasarkan kesamaan dua matriks diperoleh

𝑥′= 𝑥 → 𝑥 = 𝑥′
𝑦′= −𝑦 → 𝑦 = −𝑦′

Substitusi 𝑥 = 𝑥′ dan 𝑦 = −𝑦′ ke persamaan garis 2𝑦 − 3𝑥 + 6 = 0
2(−𝑦′) − 3(𝑥′) + 6 = 0
−2𝑦′− 3𝑥′+ 6 = 0
−3𝑥′− 2𝑦′+ 6 = 0 kalikan dengan −1 sehingga tanda menjadi berubah
3𝑥′+ 2𝑦′− 6 = 0
3𝑥′+ 2𝑦′− 6 = 0
3𝑥 + 2𝑦 − 6 = 0
Jadi, persamaan bayangan garis 𝑙 adalah 3𝑥 + 2𝑦 − 6 = 0

3



2



5

8 7.Garis 𝑥 − 2𝑦 − 3 = 0 dicerminkan terhadap sumbu 𝑦

Misal titik 𝐴(𝑥, 𝑦) memenuhi persamaan 𝑥 − 2𝑦 − 3 = 0 sehingga

(𝑥′
𝑦′) = (−1

0

01) (𝑥

𝑦)

(𝑥′
𝑦′) = (−𝑥

𝑦 )

Berdasarkan kesamaan dua matriks diperoleh
𝑥′= −𝑥 → 𝑥 = −𝑥′
𝑦′= 𝑦 → 𝑦 = 𝑦′
Substitusi 𝑥 = −𝑥′ dan 𝑦 = 𝑦′ ke persamaan garis 𝑥 − 2𝑦 − 3 = 0

−𝑥′− 2(𝑦′) − 3 = 0
−𝑥′− 2𝑦′− 3 = 0

Kalikan persamaan −𝑥′− 2𝑦′− 3 = 0 dengan −1 sehingga diperoleh

𝑥′+ 2𝑦′+ 3 = 0
𝑥 + 2𝑦 + 3 = 0

Jadi, persamaan bayangan garis 𝑥 − 2𝑦 − 3 = 0 adalah 𝑥 + 2𝑦 + 3 = 0

3




2


5

9 Parabola 𝑦 = 𝑥2− 3𝑥 + 2 dicerminkan terhadap sumbu y
Misal titik 𝐴(𝑥, 𝑦) memenuhi persamaan parabola 𝑦 = 𝑥2− 3𝑥 + 2
sehingga

(𝑥′
𝑦′) = (−1

0

01) (𝑥

𝑦)

(𝑥′
𝑦′) = (−𝑥

𝑦 )

Berdasarkan kesamaan dua matriks diperoleh
𝑥′= −𝑥 → 𝑥 = −𝑥′
𝑦′= 𝑦 → 𝑦 = 𝑦′
Substitusi 𝑥 = −𝑥′ dan 𝑦 = 𝑦′ ke persamaan parabola 𝑦 = 𝑥2− 3𝑥 + 2

𝑦′= (−𝑥′)2− 3(−𝑥′) + 2
𝑦′= 𝑥′2+ 3𝑥′+ 2

3



2


5

𝑀𝑦

𝐴(𝑥, 𝑦)

𝐴′(𝑥′, 𝑦′)

𝑀𝑦

𝐴(𝑥, 𝑦)

𝐴′(𝑥′, 𝑦′)

Modul Matematika Umum Kelas XI KD 3.5

@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN

47

𝑦 = 𝑥2+ 3𝑥 + 2

Jadi, persamaan bayangan parabola 𝑦 = 𝑥2− 3𝑥 + 2 adalah 𝑦 = 𝑥2+
3𝑥 + 2

10 Lingkaran 𝑥2+ 𝑦2− 3𝑥 + 5𝑦 − 3 = 0 dicerminkan terhadap garis 𝑦 =
−𝑥
Misal titik 𝐴(𝑥, 𝑦) memenuhi persamaan lingkaran 𝑥2+ 𝑦2− 3𝑥 + 5𝑦 −
3 = 0 sehingga

(𝑥′
𝑦′) = ( 0

−1

−1
0 ) (𝑥

𝑦)

(𝑥′
𝑦′) = (−𝑦

−𝑥)

Berdasarkan kesamaan dua matriks diperoleh

𝑥′= −𝑦 → 𝑦 = −𝑥′
𝑦′= −𝑥 → 𝑥 = −𝑦′

Substitusi 𝒙 = −𝒚′dan 𝒚 = −𝒙′ ke persamaan lingkaran 𝑥2+ 𝑦2− 3𝑥 +
5𝑦 − 3 = 0

(−𝑦′)

2 + (−𝑥′)

2 − 3(−𝑦′) + 5(−𝑥′) − 3 = 0

𝑦′2+ 𝑥′2+ 3𝑦 − 5𝑥′− 3 = 0
𝑥′2+ 𝑦′2− 5𝑥′+ 3𝑦′− 3 = 0
𝑥2+ 𝑦2− 5𝑥 + 3𝑦 − 3 = 0

Jadi persamaan bayangan lingkaran 𝑥2+ 𝑦2− 3𝑥 + 5𝑦 − 3 = 0 adalah
𝑥2+ 𝑦2− 5𝑥 + 3𝑦 − 3 = 0

3



2




5

Skor Total

100

Untuk mengetahui tingkat penguasaan kalian, cocokkan jawaban kalian dengan kunci
jawaban. Hitung jawaban benar kalian, kemudian gunakan rumus di bawah ini untuk
mengetahui tingkat penguasaan kalian terhadap materi kegiatan pembelajaran ini.

Kriteria
90% – 100% = baik sekali
80% – 89% = baik
70% – 79% = cukup
< 70% = kurang

Jika tingkat penguasaan kalian cukup atau kurang, maka kalian harus mengulang kembali
seluruh pembelajaran.

Rumus Tingkat penguasaan=

𝐽𝑢𝑚𝑙𝑎ℎ 𝑠𝑘𝑜𝑟

𝐽𝑢𝑚𝑙𝑎ℎ 𝑠𝑘𝑜𝑟 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙𝑥 100%

𝑀𝑦=−𝑥

𝐴(𝑥, 𝑦)

𝐴′(𝑥′, 𝑦′)

Modul Matematika Umum Kelas XI KD 3.5

@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN

48

E.Penilaian Diri

Anak-anak, isilah pertanyaan pada tabel di bawah ini sesuai dengan yang kalian ketahui,
berilah penilaian secara jujur, objektif, dan penuh tanggung jawab dengan memberi tanda
centang pada kolom pilihan.

No.

Kemampuan Diri

Ya

Tidak

1. Apakah kalian memahami pengertian dari refleksi?

2. Apakah kalian memahami sifat-sifat refleksi ?

3. Apakah kalian dapat menentukan refleksi terhadap sumbu X dari

suatu titik?

4. Apakah kalian dapat menentukan refleksi terhadap sumbu Y dari

suatu titik?

5. Apakah kalian dapat menentukan refleksi terhadap garis 𝑦 = 𝑥 dari

suatu titik?

6. Apakah kalian dapat menentukan refleksi terhadap garis 𝑦 = −𝑥

dari suatu titik?

7. Apakah kalian dapat menentukan refleksi terhadap titik O(0,0) dari

suatu titik?

8. Apakah kalian dapat menentukan refleksi terhadap garis 𝑥 = 𝑎 dari

suatu titik?

9. Apakah kalian dapat menentukan refleksi terhadap garis 𝑦 = 𝑏 dari

suatu titik?

10. Apakah kalian dapat menentukan refleksi terhadap sumbu X dari

suatu kurva?

11. Apakah kalian dapat menentukan refleksi terhadap sumbu Y dari

suatu kurva?

12. Apakah kalian dapat menentukan refleksi terhadap garis 𝑦 = 𝑥 dari

suatu kurva?

13. Apakah kalian dapat menentukan refleksi terhadap garis 𝑦 = −𝑥

dari suatu kurva?

14. Apakah kalian dapat menentukan refleksi terhadap titik O(0,0) dari

suatu kurva?

15. Apakah kalian dapat menentukan refleksi terhadap garis 𝑥 = 𝑎 dari

suatu kurva?

16. Apakah kalian dapat menentukan refleksi terhadap garis 𝑦 = 𝑏 dari

suatu kurva?

Catatan:
Bila ada jawaban "Tidak", maka segera lakukan review pembelajaran,
Bila semua jawaban "Ya", maka kalian dapat melanjutkan ke pembelajaran berikutnya.

Modul Matematika Umum Kelas XI KD 3.5

@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN

49

KEGIATAN PEMBELAJARAN 3

ROTASI (PERPUTARAN)

A.Tujuan Pembelajaran

Anak-anak setelah kegiatan pembelajaran 3 ini kalian diharapkan dapat :
1.Memahami tentang pengertian rotasi.
2.Menentukan rotasi titik terhadap pusat (0, 0)
3.Menentukan rotasi kurva terhadap pusat (0, 0)
4.Menentukan rotasi titik terhadap pusat (𝑎, 𝑏)
5.Menentukan rotasi kurva terhadap pusat (𝑎, 𝑏)

B.Uraian Materi

Pengertian Rotasi

Pada kegiatan pembelajaran 3 ini kita akan membahas gerak berputar atau dalam
transformasi geometri disebut rotasi. Komedi putar, gangsing, kipas angin, dan jarum jam
merupakan beberapa contoh objek yang bergerak dengan berputar. Gambar 14
menunjukkan anak-anak yang sedang bermain gangsing. Ketika bermain, gangsing dapat
diputar serah jarum jam ataupun berlawanan arah jarum jam dengan pusat tertentu.
Dalam matematika proses memutar gangsing termasuk dalam rotasi.

Gambar 14 Anak-anak bermain gangsing

Sumber : https://lembagakebudayaanbetawi.org/gangsing-gasing/

Rotasi adalah transformasi yang memindahkan titik-titik dengan cara memutar titik-titik
tersebut sejauh 𝛼 terhadap suatu titik tertentu.
Rotasi pada bidang datar ditentukan oleh :
1.Titik pusat rotasi
2.Besar sudut rotasi
3.Arah sudut rotasi
Sudut rotasi merupakan sudut antara garis yang menghubungkan titik asal dan pusat
rotasi yang menghubungkan titik bayangan dan pusat rotasi.
Jika arah rotasi diputar searah jarum jam maka besar sudut rotasi negatif (−𝜶)
Jika arah rotasi diputar berlawanan jarum jam maka besar sudut rotasi poitif (𝜶)

Modul Matematika Umum Kelas XI KD 3.5

@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN

50

Rotasi dinotasikan dengan 𝑹(𝑷, 𝜶)dimana P merupakan pusat rotasi dan 𝛼 besar sudut
rotasi.

Rotasi terhadap titik pusat (𝟎, 𝟎)

Anak-anakku, untuk memahami bentuk rotasi pada titik pusat (0, 0), kita bisa amati
perpindahan titik A pada gambar 15.

Gambar 15 Rotasi titik A terhadap titik puat O(0, 0)

Sumber : Koleksi pribadi

Misalkan terdapat sebuah titik 𝐴(𝑥, 𝑦) akan dirotasikan sebesar 𝛼 dengan pusat (0, 0) dan
akan menghasilkan titik 𝐴′(𝑥′, 𝑦′) dan dapat dituliskan sebagai berikut.



Titik (𝑥, 𝑦) dirotasikan sebesar 𝛼 terhadap titik pusat (0, 0) menghasilkan bayangan titik
(𝑥′, 𝑦′) dengan aturan





Anak-anakku, untuk lebih memahami konsep rotasi terhadap titik pusat (0, 0) perhatikan
beberapa contoh soal berikut









Pembahasan :
Koordinat titik 𝐶(3, 1) akan dirotasikan 𝑅[𝑂(0,0),90°]

𝑅[𝑂(0,0),𝛼]

𝐴(𝑥, 𝑦)

𝐴′(𝑥′, 𝑦′)

(𝑥′
𝑦′) = (cos 𝛼

−sin𝛼

sin 𝛼
cos 𝛼 ) (𝑥

𝑦)

Tentukan bayangan titik 𝐶(3, 1) jika dirotasikan berlawanan arah jarum jam sebesar
90° dan berpusat (0, 0) !

Contoh Soal 1:

𝑅[𝑂(0,0),90°]

𝐶(3, 1)

𝐶′(𝑥′, 𝑦′)

Modul Matematika Umum Kelas XI KD 3.5

@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN

51

(𝑥′
𝑦′) = (cos 𝛼

−sin 𝛼

sin 𝛼
cos 𝛼 )(𝑥

𝑦)

(𝑥′
𝑦′) = (cos 90°

−sin 90°

sin 90°
cos 90° ) (3

1)

(𝑥′
𝑦′) = (0

−1

1
0 ) (3

1)

(𝑥′
𝑦′) = (−1

3 )

Jadi, hasil bayangan titik 𝐶 adalah 𝐶′(−1, 3)







Pembahasan :
Misalkan titik 𝐴(𝑥, 𝑦) memenuhi persamaan garis 3𝑥 − 4𝑦 + 12 = 0 sehingga

(𝑥′
𝑦′) = (cos 𝛼

−sin 𝛼

sin 𝛼
cos 𝛼 ) (𝑥

𝑦)

(𝑥′
𝑦′) = (cos 180°

−sin 180°

sin 180°
cos 180° ) (𝑥

𝑦)

(𝑥′
𝑦′) = (−1

0

0−1) (𝑥

𝑦)

(𝑥′
𝑦′) = (−𝑥

−𝑦)

Berdasarkan kesamaan dua matriks diperoleh

𝑥′= −𝑥 → 𝑥 = −𝑥′
𝑦′= −𝑦 → 𝑦 = −𝑦′

Substitusi 𝒙 = −𝒙′dan 𝒚 = −𝒚′ ke persamaan garis 3𝑥 − 4𝑦 + 12 = 0 diperoleh

3(−𝑥′) − 4(−𝑦′) + 12 = 0

−3𝑥′+ 4𝑦′+ 12 = 0

−3𝑥 + 4𝑦 + 12 = 0

Jadi, persamaan garis hasil rotasi adalah −3𝑥 + 4𝑦 + 12 = 0

Rotasi terhadap titik pusat (𝐚, 𝐛)

Anak-anakku, untuk memahami bentuk rotasi pada titik pusat (a, b), kita bisa amati
perpindahan titik A pada gambar 16.

Garis 3𝑥 − 4𝑦 + 12 = 0 dirotasikan sebesar 180° terhadap titik pusat (0, 0).
Persamaan garis hasil rotasi adalah …

Contoh Soal 2:

𝑅[𝑂(0,0),180°]

𝐴(𝑥, 𝑦)

𝐴′(𝑥′, 𝑦′)

Modul Matematika Umum Kelas XI KD 3.5

@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN

52

Gambar 16 Rotasi titik A terhadap titik puat O(a, b)

Sumber : Koleksi pribadi

Misalkan terdapat sebuah titik 𝐴(𝑥, 𝑦) akan dirotasikan sebesar 𝛼 dengan pusat (𝑎, 𝑏) dan
akan menghasilkan titik 𝐴′(𝑥′, 𝑦′) dan dapat dituliskan sebagai berikut.



Titik (𝑥, 𝑦) dirotasikan sebesar 𝛼 terhadap titik pusat (𝑎, 𝑏) menghasilkan bayangan titik
(𝑥′, 𝑦′) dengan aturan





Anak-anakku, untuk lebih memahami konsep rotasi terhadap titik pusat (a, b) perhatikan
beberapa contoh soal berikut









Pembahasan :
Koordinat titik 𝐶(3, 1) akan dirotasikan 𝑅[(2,4),90°]

(𝑥′
𝑦′) = (cos 𝛼

−sin 𝛼

sin 𝛼
cos 𝛼 ) (𝑥 − 𝑎

𝑦 − 𝑏) + (𝑎

𝑏)

(𝑥′
𝑦′) = (cos 90°

−sin 90°

sin 90°
cos 90° ) (3 − 2

1 − 4) + (2

4)

(𝑥′
𝑦′) = (0

−1

1
0 ) ( 1

−3) + (2

4)

𝑅[(𝑎,𝑏),𝛼]

𝐴(𝑥, 𝑦)

𝐴′(𝑥′, 𝑦′)

(𝑥′
𝑦′) = (cos 𝛼

−sin 𝛼

sin 𝛼
cos 𝛼 ) (𝑥 − 𝑎

𝑦 − 𝑏) + (𝑎

𝑏)

Tentukan bayangan titik 𝐶(3, 1) jika dirotasikan berlawanan arah jarum jam
sebesar 90° dan berpusat (2, 4) !

Contoh Soal 1:

𝑅[(2,4),90°]

𝐶(3, 1)

𝐶′(𝑥′, 𝑦′)

Modul Matematika Umum Kelas XI KD 3.5

@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN

53

(𝑥′
𝑦′) = (3

1) + (2

4)

(𝑥′

𝑦′) = (3 + 2

1 + 4)

(𝑥′
𝑦′) = (4

5)

Jadi, hasil bayangan titik 𝐶 adalah 𝐶′(4, 5)







Pembahasan :
Misalkan titik 𝐴(𝑥, 𝑦) memenuhi persamaan garis 3𝑥 − 4𝑦 + 12 = 0 sehingga

(𝑥′
𝑦′) = (cos 𝛼

−sin 𝛼

sin 𝛼
cos 𝛼 ) (𝑥 − 𝑎

𝑦 − 𝑏) + (𝑎

𝑏)

(𝑥′
𝑦′) = (cos 180°

−sin 180°

sin 180°
cos 180° ) (𝑥 − 1

𝑦 − 2) + (1

2)

(𝑥′
𝑦′) = (−1

0

0−1) (𝑥 − 1

𝑦 − 2) + (1

2)

(𝑥′
𝑦′) = (−1(𝑥 − 1)

−1(𝑦 − 2)) + (1

2)

(𝑥′
𝑦′) = (−𝑥 + 1

−𝑦 + 2) + (1

2)

(𝑥′

𝑦′) = (−𝑥 + 1 + 2

−𝑦 + 2 + 2)

(𝑥′
𝑦′) = (−𝑥 + 3

−𝑦 + 4)

Berdasarkan kesamaan dua matriks diperoleh

𝑥′= −𝑥 + 3 → 𝑥 = 3 − 𝑥′
𝑦′= −𝑦 + 4 → 𝑦 = 4 − 𝑦′

Substitusi 𝒙 = 𝟑 − 𝒙′dan 𝒚 = 𝟒 − 𝒚′ ke persamaan garis 3𝑥 − 4𝑦 + 12 = 0 diperoleh

3(3 − 𝑥′) − 4(4 − 𝑦′) + 12 = 0

9 − 3𝑥′− 16 + 4𝑦′+ 12 = 0

−3𝑥′ + 4𝑦′ + 9 − 16 + 12 = 0

−3𝑥′+ 4𝑦′+ 5 = 0

−3𝑥 + 4𝑦 + 5 = 0

Jadi, persamaan garis hasil rotasi adalah −3𝑥 + 4𝑦 + 5 = 0

𝑅[(1,2),180°]

𝐴(𝑥, 𝑦)

𝐴′(𝑥′, 𝑦′)

Garis 3𝑥 − 4𝑦 + 12 = 0 dirotasikan sebesar 180° terhadap titik pusat (1, 2).
Persamaan garis hasil rotasi adalah …

Contoh Soal 2:

Modul Matematika Umum Kelas XI KD 3.5

@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN

54

C.Rangkuman

1.Rotasi adalah transformasi yang memindahkan titik-titik dengan cara memutar titik-

titik tersebut sejauh 𝛼 terhadap suatu titik tertentu.

2.Rotasi pada bidang datar ditentukan oleh :

1.Titik pusat rotasi
2.Besar sudut rotasi
3.Arah sudut rotasi

a.Jika arah rotasi diputar searah jarum jam maka besar sudut rotasi negatif

(−𝜶)

b.Jika arah rotasi diputar berlawanan jarum jam maka besar sudut rotasi

poitif (𝜶)

3.Rotasi dinotasikan dengan 𝑹(𝑷, 𝜶)dimana P merupakan pusat rotasi dan 𝛼 besar

sudut rotasi.

4.Jenis-jenis rotasi berdasarkan titik pusat

Misalkan koordinat titik asal A(𝑥, 𝑦) akan dirotasikan dengan besar sudut 𝛼 terhadap
pusat (0, 0) dan pusat (𝑎, 𝑏)akan menghasilkan bayangan sebagai berikut

Titik Pusat

Persamaan Matriks Transformasi

(0, 0)
(𝑥′

𝑦′) = (cos 𝛼

−sin 𝛼

sin 𝛼
cos 𝛼 ) (𝑥

𝑦)

(𝑎, 𝑏)
(𝑥′

𝑦′) = (cos 𝛼

−sin 𝛼

sin 𝛼
cos 𝛼 ) (𝑥 − 𝑎

𝑦 − 𝑏) + (𝑎

𝑏)

D.Latihan Soal
Anak- anak, untuk mengukur kemampuan pemahaman konsep kalian terhadap rotasi
kerjakan soal latihan berikut:

Soal Essay:
1.Titik 𝐴(−2, 3) dirotasikan sebesar 90° terhadap titik pusat (0, 0). Hasil rotasi titik 𝐴

adalah …

2.Titik 𝐷(6 3) dirotasikan sebesar 270° terhadap titik pusat (2, 4). Hasil rotasi titik 𝐷

adalah …

3.Titik 𝐵 dirotasikan sebsar 90° terhadap titik pusat (2, 1) menghasilkan bayangan

𝐵′(−2, 4). Koordinat titik 𝐵 adalah …

4.Titik 𝐶 dirotasikan sebsar 180° terhadap titik pusat (2, 3) menghasilkan bayangan

𝐶′(4, −1). Koordinat titik 𝐶 adalah …

5.Bayangan titik (4, −5) oleh rotasi 𝑅[𝑃, 90°] adalah (10, 5). Titik pusat rotasi tersebut

adalah …

6.Diketahui segitiga 𝑃𝑄𝑅 dengan koordinat titik sudut 𝑃(3, 2), 𝑄(4, −1) dan 𝑅(5, 3).

Segitiga PQR diputar sebesar 180° terhadap titik pusat (0,0) diperoleh bayangan
segitiga P’Q’R’. Koordinat 𝑃′, 𝑄′ dan 𝑅′ berturut-turut adalah …

7.Diketahui segitiga 𝐴𝐵𝐶 dengan koordinat titik sudut 𝐴(−3, 2), 𝐵(2, 4) dan 𝐶(−1, −1).

Segitiga ABC diputar sebesar −𝜋 terhadap titik pusat (5,1) diperoleh bayangan
segitiga A’B’C’. Koordinat 𝐴′, 𝐵′ dan 𝐶′ berturut-turut adalah …

8.Persamaan garis 2𝑥 + 𝑦 + 3 = 0 dirotasikan dengan pusat (0, 0) sebesar 90°

berlawanan arah jarum jam. Tentukan persamaan bayangannya

9.Lingkaran 𝐿: 𝑥2+ 𝑦2= 9 dirotasikan sebesar 90° terhadap titik 𝑃(2, −1). Persamaan

lingkaran hasil rotasi tersebut adalah …

10.Bayangan garis 𝑔 oleh rotasi terhadap titik pusat 𝑃(−4, 1) sebesar

3

2𝜋 adalah 3𝑦 +

2𝑥 + 24 = 0. Persamaan garis 𝑔 adalah …

Modul Matematika Umum Kelas XI KD 3.5

@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN

55

Pembahasan:

No

Pembahasan

Skor

1.

Titik 𝐴(−2, 3) dirotasikan 𝑅[𝑂(0,0),90°]

(𝑥′
𝑦′) = (cos 𝛼

−sin 𝛼

sin 𝛼
cos 𝛼 ) (𝑥

𝑦)

(𝑥′
𝑦′) = (cos 90°

−sin 90°

sin 90°
cos 90° ) (−2

3 )

(𝑥′
𝑦′) = (0

−1

1
0 ) (−2

3 )

(𝑥′
𝑦′) = (−3

−2)

Jadi, hasil bayangan titik 𝐴 adalah 𝐴′(−3, −2)

5




5

2.

Titik 𝐷(6 3) dirotasikan 𝑅[(2,4),270°]

(𝑥′
𝑦′) = (cos 𝛼

−sin 𝛼

sin 𝛼
cos 𝛼 )(𝑥 − 𝑎

𝑦 − 𝑏) + (𝑎

𝑏)

(𝑥′
𝑦′) = (cos 270°

−sin 270°

sin 270°
cos 270° ) (6 − 2

3 − 4) + (2

4)

(𝑥′
𝑦′) = ( 0

1

−10) ( 4

−1) + (2

4)

(𝑥′
𝑦′) = (−1

−4) + (2

4)

(𝑥′

𝑦′) = (−1 + 2

−4 + 4)

(𝑥′
𝑦′) = (1

0)

Jadi, hasil bayangan titik 𝐷 adalah 𝐷′(1, 0)

2



3




5

3.

Titik 𝐵 dirotasikan sebsar 90° terhadap titik pusat (2, 1)
menghasilkan bayangan 𝐵′(−2, 4).

(𝑥′
𝑦′) = (cos 𝛼

−sin 𝛼

sin 𝛼
cos 𝛼 ) (𝑥 − 𝑎

𝑦 − 𝑏) + (𝑎

𝑏)

(−2

4 ) = (cos 90°

−sin 90°

sin 90°
cos 90° ) (𝑥 − 2

𝑦 − 1) + (2

1)

(−2

4 ) = (0

−1

1
0 ) (𝑥 − 2

𝑦 − 1) + (2

1)

(−2

4 ) = (−(𝑦 − 1)

𝑥 − 2
) + (2

1)

(−2

4 ) = (−𝑦 + 1

𝑥 − 2 ) + (2

1)

(−2

4 ) = (−𝑦 + 1 + 2

𝑥 − 2 + 1 )

2



3



3

𝑅[𝑂(0,0),90°]

𝐴(−2, 3)

𝐴′(𝑥′, 𝑦′)

𝑅[(2,4),270°]

𝐷(6, 3)

𝐷′(𝑥′, 𝑦′)

𝑅[(2,1),90°]

𝐵(𝑥, 𝑦)

𝐵′(−2, 4)

Modul Matematika Umum Kelas XI KD 3.5

@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN

56

(−2

4 ) = (−𝑦 + 3

𝑥 − 1 )

Dengan menggunakan kesamaan dua matriks diperoleh

−2 = −𝑦 + 3

𝑦 = 3 + 2
𝒚 = 𝟓
4 = 𝑥 − 1

4 + 1 = 𝑥

5 = 𝑥
𝒙 = 𝟓

Jadi, koordinat titik asal 𝐵 adalah (5, 5)

2

4.

Titik 𝐶 dirotasikan sebsar 180° terhadap titik pusat (2, 3)
menghasilkan bayangan 𝐶′(4, −1).

(𝑥′
𝑦′) = (cos 𝛼

−sin 𝛼

sin 𝛼
cos 𝛼 ) (𝑥 − 𝑎

𝑦 − 𝑏) + (𝑎

𝑏)

( 4
−1) = (cos 180°

−sin 180°

sin 180°
cos 180° ) (𝑥 − 2

𝑦 − 3) + (2

3)

( 4
−1) = (−1

0

0−1) (𝑥 − 2

𝑦 − 3) + (2

3)

( 4
−1) = (−(𝑥 − 2)

−(𝑦 − 3)) + (2

3)

( 4
−1) = (−𝑥 + 2

−𝑦 + 3) + (2

3)

( 4
−1) = (−𝑥 + 2 + 2

−𝑦 + 3 + 3)

( 4
−1) = (−𝑥 + 4

−𝑦 + 6)

Dengan menggunakan kesamaan dua matriks diperoleh

4 = −𝑥 + 4
𝑥 = 4 − 4

𝒙 = 𝟎

−1 = −𝑦 + 6
𝑦 = 6 + 1

𝒚 = 𝟕

Jadi, koordinat titik asal 𝐶 adalah (0, 7)

2



3





3








2

5.

Bayangan titik (4, −5) oleh rotasi 𝑅[𝑃, 90°] adalah (10, 5).
Ditanyakan titik pusat rotasi 𝑃(𝑎, 𝑏)

(𝑥′

𝑦′) = (cos 𝛼

−sin 𝛼

sin 𝛼
cos 𝛼 ) (𝑥 − 𝑎

𝑦 − 𝑏) + (𝑎

𝑏)

(10

5 ) = (cos 90°

−sin 90°

sin 90°
cos 90° ) ( 4 − 𝑎

−5 − 𝑏) + (𝑎

𝑏)

(10

5 ) = (0

−1

1
0 ) ( 4 − 𝑎

−5 − 𝑏) + (𝑎

𝑏)

(10

5 ) = (−(−5 − 𝑏)

4 − 𝑎
) + (𝑎

𝑏)

(10

5 ) = (5 + 𝑏

4 − 𝑎) + (𝑎

𝑏)

1



2

𝑅[(2,3),180°]

𝐶(𝑥, 𝑦)

𝐶′(4, −1)

𝑅[(𝑎,𝑏),90°]

(4, 5)

(10, 5)

Modul Matematika Umum Kelas XI KD 3.5

@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN

57

(10

5 ) = (5 + 𝑏 + 𝑎

4 − 𝑎 + 𝑏)

Berdasarkan kesamaan dua matriks diperoleh

10 = 5 + 𝑏 + 𝑎

10 − 5 = 𝑎 + 𝑏

5 = 𝑎 + 𝑏

𝒂 + 𝒃 = 𝟓
𝑎 + 𝑏 = 5 merupakan persamaan 1)

5 = 4 − 𝑎 + 𝑏

5 − 4 = −𝑎 + 𝑏

1 = −𝑎 + 𝑏

−𝒂 + 𝒃 = 𝟏
−𝑎 + 𝑏 = 1 merupakan persamaan 2)

Langkah selanjutnya eliminasi persamaan 1) dan persamaan 2) untuk mencari
nilai 𝑎 dan 𝑏

𝑎 + 𝑏 = 5

−𝑎 + 𝑏 = 1 +

2𝑏 = 6

𝑏 = 6

2

𝑏 = 3

Substitusi nilai 𝑏 = 3 ke persamaan 1) sehingga diperoleh
𝑎 + 𝑏 = 5
𝑎 + 3 = 5
𝑎 = 5 − 3
𝑎 = 2
Jadi, titik pusat rotasi adalah 𝑃(𝑎, 𝑏) = 𝑃(2, 3)

3












2











2

6. 1.Diketahui segitiga 𝑃𝑄𝑅 dengan koordinat titik sudut 𝑃(3, 2), 𝑄(4, −1) dan

𝑅(5, 3).
Segitiga PQR diputar sebesar 180° terhadap titik pusat (0,0)
Kita gunakan konsep rotasi terhadap pusat (0, 0) sebagai berikut

Selanjutnya, koordinat titik P, Q, dan R pada segitiga kita tuliskan dalam
bentuk sebuah matriks. Karena terdapat 3 titik sehingga matriks yang
akan dibuat berordo 2 × 3 dengan ketentuan sebagai berikut :
1.Baris pertama matrik diisi oleh komponen 𝑥
2.Baris kedua matriks diisi oleh komponen 𝑦
3.Kolom pertama diisi koordinat titik P
4.Kolom kedua diisi koordinat titik Q
5.Kolom ketiga diisi koordinat titik R

Sehingga matriks yang terbentuk adalah (𝑥𝑃𝑥𝑄𝑥𝑅

𝑦𝑃𝑦𝑄𝑦𝑅) = (3

45

2−13)

2







2





1

𝑅[𝑂,90°]

𝑃(3, 2)

𝑃′(𝑥′, 𝑦′)

𝑅[𝑂,90°]

𝑅(5, 3)

𝑅′(𝑥′, 𝑦′)

𝑅[𝑂,90°]

𝑄(4, −1)

𝑃′(𝑥′, 𝑦′)

Modul Matematika Umum Kelas XI KD 3.5

@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN

58

(𝑥′

𝑦′) = (cos 𝛼

−sin 𝛼

sin 𝛼
cos 𝛼 )(

𝑥𝑃𝑥𝑄𝑥𝑅

𝑦𝑃𝑦𝑄𝑦𝑅)

(𝑥′

𝑦′) = (cos 90°

−sin 90°

sin 90°
cos 90° ) (3

45

2−13)

(𝑥′
𝑦′) = (0

−1

1
0 ) (3

45

2−13)

(x′
y′) = (−2

1−3

32
5 )

Jadi, bayangan titik 𝑃, Q, dan R berturut-turut adalah 𝑃′(−2, 3), 𝑄′(1, 2)
dan 𝑅′(−3, 5)

2



3

7. 2.Diketahui segitiga 𝐴𝐵𝐶 dengan koordinat titik sudut 𝐴(−3, 2), 𝐵(2, 4) dan

𝐶(−1, −1). Segitiga ABC diputar sebesar −𝜋 terhadap titik pusat (5,1)
Kita gunakan konsep rotasi terhadap pusat (𝑎, 𝑏) pada masing-masing
titik sebagai berikut.
Titik 𝐴(−3, 2)

(𝑥′
𝑦′) = (cos 𝛼

−sin 𝛼

sin 𝛼
cos 𝛼 )(𝑥 − 𝑎

𝑦 − 𝑏) + (𝑎

𝑏)

(𝑥′
𝑦′) = (cos(−180°)

−sin(−180°)

sin(−180°)
cos(−180°) ) (−3 − 5

2 − 1 ) + (5

1)

(𝑥′
𝑦′) = (−1

0

0−1) (−8

1 ) + (5

1)

(𝑥′
𝑦′) = ( 8

−1) + (5

1)

(𝑥′

𝑦′) = ( 8 + 5

−1 + 1)

(𝑥′
𝑦′) = (13

0 )

Jadi, hasil bayangan titik 𝐴 adalah 𝐴′(13, 0)

Titik 𝐵(2, 4)

(𝑥′
𝑦′) = (cos 𝛼

−sin 𝛼

sin 𝛼
cos 𝛼 )(𝑥 − 𝑎

𝑦 − 𝑏) + (𝑎

𝑏)

(𝑥′
𝑦′) = (cos(−180°)

−sin(−180°)

sin(−180°)
cos(−180°) ) (2 − 5

4 − 1) + (5

1)

(𝑥′
𝑦′) = (−1

0

0−1) (−3

3 ) + (5

1)

(𝑥′
𝑦′) = ( 3

−3) + (5

1)

(𝑥′

𝑦′) = ( 3 + 5

−3 + 1)

(𝑥′
𝑦′) = ( 8

−2)

Jadi, hasil bayangan titik 𝐵 adalah 𝐵′(8, −2)

Titik 𝐶(−1, −1)

1








3


















3

𝑅[(5,1),−180]

𝐴(−3, 2)

𝐴′(𝑥′, 𝑦′)

𝑅[(5,1),−180]

𝐵(2, 4)

𝐵′(𝑥′, 𝑦′)

Modul Matematika Umum Kelas XI KD 3.5

@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN

59

(𝑥′
𝑦′) = (cos 𝛼

−sin 𝛼

sin 𝛼
cos 𝛼 )(𝑥 − 𝑎

𝑦 − 𝑏) + (𝑎

𝑏)

(𝑥′
𝑦′) = (cos(−180°)

−sin(−180°)

sin(−180°)
cos(−180°) ) (−1 − 5

−1 − 1) + (5

1)

(𝑥′
𝑦′) = (−1

0

0−1) (−6

−2) + (5

1)

(𝑥′
𝑦′) = (6

2) + (5

1)

(𝑥′

𝑦′) = (6 + 5

2 + 1)

(𝑥′
𝑦′) = (11

3 )

Jadi, hasil bayangan titik 𝐵 adalah 𝐵′(8, −2)

3

8. 3.Persamaan garis 2𝑥 + 𝑦 + 3 = 0 dirotasikan dengan 𝑅[𝑂,90°]

Misalkan titik 𝐴(𝑥, 𝑦) memenuhi persamaan garis 2𝑥 + 𝑦 + 3 = 0
sehingga

(𝑥′
𝑦′) = (cos 𝛼

−sin 𝛼

sin 𝛼
cos 𝛼 ) (𝑥

𝑦)

(𝑥′
𝑦′) = (cos 90°

−sin 90°

sin 90°
cos 90° ) (𝑥

𝑦)

(𝑥′
𝑦′) = (0

−1

1
0 ) (𝑥

𝑦)

(𝑥′
𝑦′) = (−𝑦

𝑥 )

Berdasarkan kesamaan dua matriks diperoleh

𝑥′= −𝑦 → 𝑦 = −𝑥′

𝑦′= 𝑥 → 𝑥 = 𝑦′

Substitusi 𝒚 = −𝒙′dan 𝒙 = 𝒚′ ke persamaan garis 2𝑥 + 𝑦 + 3 = 0
diperoleh

2(𝑦′) + (−𝑥′) + 3 = 0

2𝑦′− 𝑥′+ 3 = 0

2𝑦 − 𝑥 + 3 = 0

Jadi, persamaan garis hasil rotasi adalah 2𝑦 − 𝑥 + 3 = 0

2



3





2




3

9. 4.Lingkaran 𝐿: 𝑥2+ 𝑦2= 9 dirotasikan sebesar 90° terhadap titik 𝑃(2, −1)

Misalkan titik 𝐴(𝑥, 𝑦) memenuhi persamaan lingkaran 𝐿 ∶ 𝑥2+ 𝑦2= 9
sehingga diperoleh

(𝑥′
𝑦′) = (cos 𝛼

−sin 𝛼

sin 𝛼
cos 𝛼 ) (𝑥 − 𝑎

𝑦 − 𝑏) + (𝑎

𝑏)

(𝑥′
𝑦′) = (cos 90°

−sin 90°

sin 90°
cos 90° ) (
𝑥 − 2

𝑦 − (−1)) + ( 2

−1)

2

𝑅[(5,1),−180]

𝐶(−1, −1)

𝐶′(𝑥′, 𝑦′)

𝑅[𝑂(0,0),90°]

𝐴(𝑥, 𝑦)

𝐴′(𝑥′, 𝑦′)

𝑅[(2,−1)),90°]

𝐴(𝑥, 𝑦)

𝐴′(𝑥′, 𝑦′)

Modul Matematika Umum Kelas XI KD 3.5

@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN

60

(𝑥′
𝑦′) = (0

−1

1
0 ) (𝑥 − 2

𝑦 + 1) + ( 2

−1)

(𝑥′
𝑦′) = (−1(𝑦 + 1)

𝑥 − 2
) + ( 2

−1)

(𝑥′
𝑦′) = (−𝑦 − 1

𝑥 − 2 ) + ( 2

−1)

(𝑥′

𝑦′) = (−𝑦 − 1 + 2

𝑥 − 2 − 2 )

(𝑥′
𝑦′) = (−𝑦 + 1

𝑥 − 4 )

Berdasarkan kesamaan dua matriks diperoleh

𝑥′= −𝑦 + 1 → 𝑦 = 1 − 𝑥′
𝑦′= 𝑥 + 4 → 𝑥 = 𝑦′− 4

Substitusi 𝒙 = 𝒚′− 𝟒 dan 𝒚 = 𝟏 − 𝒙′ ke persamaan lingkaran 𝐿 ∶ 𝑥2+
𝑦2= 9 diperoleh
𝑥2+ 𝑦2= 9

(𝑦′− 4)2+ (1 − 𝑥′)2= 9
(1 − 𝑥′)2+ (𝑦′− 4)2= 9

Ingat :(1 − 𝑥′)2= (𝑥2− 1) = 𝑥2− 2𝑥 + 1

(𝑥′− 1)2+ (𝑦′− 4)2= 9
(𝑥 − 1)2+ (𝑦 − 4)2= 0

Jadi, persamaan lingkaran hasil rotasi adalah (𝑥 − 1)2+ (𝑦 − 4)2= 0

3






2






3

10. 5.Bayangan garis 𝑔 oleh rotasi terhadap titik pusat 𝑃(−4, 1) sebesar 3

2𝜋

adalah 3𝑦 + 2𝑥 + 24 = 0. Persamaan garis 𝑔 adalah …
Misalkan titik 𝐴′(𝑥′, 𝑦′) memenuhi persamaan 𝑔′: 3𝑦′ + 2𝑥′ + 24 = 0

(𝑥′
𝑦′) = (cos 𝛼

−sin 𝛼

sin 𝛼
cos 𝛼 ) (𝑥 − 𝑎

𝑦 − 𝑏) + (𝑎

𝑏)

(𝑥′
𝑦′) = (

cos (3

2𝜋)−sin (3

2 𝜋)

sin (3

2𝜋)cos (3

2 𝜋)

)(𝑥 − (−4)

𝑦 − 1 ) + (−4

1 )

Ingat : 𝝅 = 𝟏𝟖𝟎°

(𝑥′

𝑦′) = (cos 270°

−sin 270°

sin 270°
cos 270° ) (𝑥 + 4

𝑦 − 1) + (−4

1 )

(𝑥′
𝑦′) = ( 0

1

−10) (𝑥 + 4

𝑦 − 1) + (−4

1 )

(𝑥′
𝑦′) = ( 𝑦 + 1

−(𝑥 + 4)) + (−4

1 )

(𝑥′
𝑦′) = ( 𝑦 + 1

−𝑥 − 4) + (−4

1 )

(𝑥′
𝑦′) = (𝑦 + 1 + (−4)

−𝑥 − 4 + 1 )

(𝑥′
𝑦′) = ( 𝑦 + 1 − 4

−𝑥 − 4 + 1)

2










3

𝑅[(−4,1)),3

2𝜋]

𝐴(𝑥, 𝑦)

𝐴′(𝑥′, 𝑦′)

Modul Matematika Umum Kelas XI KD 3.5

@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN

61

(𝑥′
𝑦′) = ( 𝑦 − 3

−𝑥 − 3)

Dengan kesamaan dua matriks diperoleh

𝑥′= 𝑦 − 3

𝑦′= −𝑥 − 3 →

Substitusi 𝑥′= 𝑦 − 3 dan 𝑦′= −𝑥 − 3 ke persamaan 𝑔′: 3𝑦′ + 2𝑥′ + 24 =
0 diperoleh

3𝑦′+ 2𝑥′+ 24 = 0

3(−𝑥 − 3) + 2(𝑦 − 3) + 24 = 0

−3𝑥 − 9 + 2𝑦 − 6 + 24 = 0
−3𝑥 + 2𝑦 − 9 − 6 + 24 = 0

−3𝑥 + 2𝑦 + 9 = 0

Jadi, persamaan garis 𝑔 adalah −3𝑥 + 2𝑦 + 9 = 0

2







3

Skor Total

100

Untuk mengetahui tingkat penguasaan kalian, cocokkan jawaban kalian dengan kunci
jawaban. Hitung jawaban benar kalian, kemudian gunakan rumus di bawah ini untuk
mengetahui tingkat penguasaan kalian terhadap materi kegiatan pembelajaran ini.

Kriteria
90% – 100% = baik sekali
80% – 89% = baik
70% – 79% = cukup
< 70% = kurang

Jika tingkat penguasaan kalian cukup atau kurang, maka kalian harus mengulang kembali
seluruh pembelajaran.

Rumus Tingkat penguasaan=

𝐽𝑢𝑚𝑙𝑎ℎ 𝑠𝑘𝑜𝑟

𝐽𝑢𝑚𝑙𝑎ℎ 𝑠𝑘𝑜𝑟 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙𝑥 100%

Modul Matematika Umum Kelas XI KD 3.5

@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN

62

E.Penilaian Diri

Anak-anak isilah pertanyaan pada tabel di bawah ini sesuai dengan yang kalian ketahui,
berilah penilaian secara jujur, objektif, dan penuh tanggung jawab dengan memberi tanda
centang pada kolom pilihan.

No.

Kemampuan Diri

Ya

Tidak

1. Apakah kalian memahami pengertian rotasi?

2. Apakah kalian dapat menentukan rotasi titik terhadap pusat (0, 0)?

3. Apakah kalian dapat menentukan rotasi kurva terhadap pusat

(0, 0)?

4. Apakah kalian dapat menentukan rotasi titik terhadap pusat (𝑎, 𝑏)?

5. Apakah kalian dapat menentukan rotasi kurva terhadap pusat

(𝑎, 𝑏)?

Catatan:
Bila ada jawaban "Tidak", maka segera lakukan review pembelajaran,
Bila semua jawaban "Ya", maka kalian dapat melanjutkan ke pembelajaran berikutnya.

Modul Matematika Umum Kelas XI KD 3.5

@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN

63

KEGIATAN PEMBELAJARAN 4

DILATASI

A.Tujuan Pembelajaran

Anak-anak setelah kegiatan pembelajaran 4 ini kalian diharapkan dapat :
1.Memahami pengertian dilatasi
2.Menentukan dilatasi titik pada pusat (0, 0)
3.Menentukan dilatasi kurva pada pusat (0, 0)
4.Menentukan dilatasi titik pada pusat (𝑎, 𝑏)
5.Menentukan dilatasi kurva pada pusat (𝑎, 𝑏)

B.Uraian Materi

Pengertian Dilatasi
Pernahkan kalian mencetak foto atau pasfoto? Bisaanya ketika mencetak pasfoto kita
diminta menyebutkan ukuran seperti 2 × 3, 3 × 4 ataupun 4 × 6. Mencetak pasfoto dalam
berbagai ukuran yaitu memperbesar atau memperkecil merupakan salah satu contoh
dilatasi dalam kehidupan sehari-hari. Anak-anakku, untuk lebih memahami apa itu
dilatasi, coba amati gambar 17 berikut. Apa yang dapat kalian ceritakan mengenai
transformasi segitiga ABC ? Bagaimana transformasi yang terjadi ?

Gambar 17 Dilatasi segitiga ABC pada pusat (0,0)

Sumber : Koleksi pribadi

Anak-anakku, jika kita amati segitiga ABC pada gambar 17, segitiga ABC akan semakin
besar dengan perkalian skala 3. Kemudian, jarak 𝑂𝐴′ adalah tiga kali jarak 𝑂𝐴, jarak 𝑂𝐵′
adalah tiga kali jarak 𝑂𝐵, jarak 𝑂𝐶′ adalah tiga kali jarak 𝑂𝐶. Tetapi ketika segitiga ABC
dikalikan dengan faktor skala −1 menghasilkan besar dan ukuran yang sama tetapi

Modul Matematika Umum Kelas XI KD 3.5

@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN

64

mempunyai arah yang berlawanan. Perhatikan juga jarak 𝑂𝐴′′ sama dengan jarak 𝑂𝐴,
jarak 𝑂𝐵′′ sama dengan jarak 𝑂𝐵, dan jarak 𝑂𝐶′′ sama dengan jarak 𝑂𝐶.
Berdasarkan uraian diatas, dapat disimpulkan :

Dilatasi terhadap Titik Pusat (𝟎, 𝟎)
Bentuk dilatasi terhadap titik pusat 𝑂(0, 0) dapat diamati pada gambar 18. Titik 𝐴(𝑥, 𝑦)
didilatasikan dengan faktor skala 𝑘 terhadap titik pusat 𝑂(0, 0) menghasilkan titik
𝐴′(𝑥′, 𝑦′).

Gambar 18 Dilatasi titik A pada pusat (0, 0)

Sumber : Koleksi pribadi

Dilatasi adalah transformasi yang mengubah jarak titik-titik dengan faktor pengali
tertentu terhadap suatu titik tertentu. Faktor pengali tertentu disebut faktor dilatasi
atau faktor skala dan titik tertentu disebut pusat dilatasi

Bangun yang diperbesar atau diperkecil (dilatasi) dengan skala 𝑘 dapat mengubah
ukuran atau tetap ukurannya tetapi tidak mengubah bentuk.

•Jika 𝑘 > 1 maka bangun akan diperbesar dan terletak searah terhadap sudat
dilatasi dengan bangun semula

•Jika 𝑘 = 1 maka bangun tidak mengalami perubahan ukuran dan letak

•Jika 0 < 𝑘 < 1 maka bangun akan diperkecil dan terletak searah terhadap
pusat dilatasi dengan bangun semula.

•Jika −1 < 𝑘 < 0 maka bangun akan diperkecil dan terletak berlawanan arah
terhadap pusat dilatasi dengan bangun semula

•Jika 𝑘 = −1 maka bangun tidak akan mengalami perubahan bentuk dan ukuran
dan terletak berlawanan arah terhadap pusat dilatasi dengan bangun semula.

•Jika 𝑘 < −1 maka bangun akan diperbesar dan terletak berlawanan arah
terhadap pusat dilatasi dengan bangun semula.

Modul Matematika Umum Kelas XI KD 3.5

@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN

65

Dilatasi titik 𝐴 pada gambar 18 dapat dituliskan sebagai berikut.



Titik (𝑥, 𝑦) didilatasikan dengan faktor skala 𝑘 terhadap titik pusat (0, 0) menghasilkan
bayangan titik (𝑥′, 𝑦′) dalam persamaan matriks dapat dituliskan sebagai berikut.





Anak-anakku, untuk lebih memahami konsep dilatasi terhadap titik pusat 𝑂(0,0) yuk kita
simak contoh soal berikut








Pembahasan
Titik 𝐴(2, 4) akan didilatasikan oleh 𝐷[𝑂,3] dapat ditulis

(𝑥′
𝑦′) = (𝑘

0

0𝑘) (𝑥

𝑦)

(𝑥′
𝑦′) = (3

0

03) (2

4)

(𝑥′
𝑦′) = ( 6

12)

Jadi, bayangan titik 𝐴 setelah didilatasi oleh 𝐷[𝑂,3] adalah 𝐴′(6, 12)







Pembahasan
Misalkan titik 𝐴(𝑥, 𝑦) memenuhi persamaan garis 𝑔: 2𝑥 + 4𝑦 − 3 = 0

(𝑥′
𝑦′) = (𝑘

0

0𝑘) (𝑥

𝑦)

(𝑥′
𝑦′) = (−2

0

0−2) (𝑥

𝑦)

(𝑥′
𝑦′) = (−2𝑥

−2𝑦)

Berdasarkan kesamaan dua matriks diperoleh

𝑥′= −2𝑥 → 𝑥 = − 1

2 𝑥′

(𝑥′
𝑦′) = (𝑘

0

0𝑘) (𝑥

𝑦)

𝐷[𝑂,−2]

𝐴(𝑥, 𝑦)

𝐴′(𝑥′, 𝑦′)

𝐷[𝑂,𝑘]

𝐴(𝑥, 𝑦)

𝐴′(𝑥′, 𝑦′)

Tentukan bayangan titik 𝐴(2, 4) setelah didilatasikan terhadap pusat 𝑂(0,0) dan faktor
skala 3 !

Contoh Soal 1:

𝐷[𝑂,3]

𝐴(2, 4)

𝐴′(𝑥′, 𝑦′)

Garis 𝑔 ∶ 2𝑥 + 4𝑦 − 3 = 0 didilatasikan dengan faktor skala −2 terhadap titik pusat
(0, 0). Persamaan garis 𝑔 setelah didilatasi adalah …

Contoh Soal 2:

Modul Matematika Umum Kelas XI KD 3.5

@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN

66

𝑦′= −2𝑦′→ 𝑦 = − 1

2 𝑦′

Substitusi 𝑥 = −

1
2𝑥′ dan 𝑦 = −

1
2𝑦′ ke persamaan garis 𝑔: 2𝑥 + 4𝑦 − 3 = 0 sehingga

diperoleh

2𝑥 + 4𝑦 − 3 = 0

2 (− 1

2 𝑥′) + 4 (− 1

2 𝑦′) − 3 = 0

−𝑥′− 2𝑦′− 3 = 0

𝑥′+ 2𝑦′+ 3 = 0

𝑥 + 2𝑦 + 3 = 0

Jadi, persamaan garis 𝑔 setelah didilatasi adalah 𝑔′: 𝑥 + 2𝑦 + 3 = 0

Dilatasi terhadap Titik Pusat (𝒂, 𝒃)
Bentuk dilatasi terhadap titik pusat 𝑃(𝑎, 𝑏) dapat diamati pada gambar 19. Titik 𝐴(𝑥, 𝑦)
didilatasikan dengan faktor skala 𝑘 terhadap titik pusat 𝑃(𝑎, 𝑏)menghasilkan titik
𝐴′(𝑥′, 𝑦′).

Gambar 19 Dilatasi titik A pada pusat (𝑎, 𝑏)

Sumber : Koleksi pribadi

Dilatasi titik 𝐴 pada gambar 19 dapat dituliskan sebagai berikut.




Titik (𝑥, 𝑦) didilatasikan dengan faktor skala 𝑘 terhadap titik pusat (𝑎, 𝑏) menghasilkan
bayangan titik (𝑥′, 𝑦′) dalam persamaan matriks dapat dituliskan sebagai berikut.





Anak-anakku, untuk lebih memahami konsep dilatasi terhadap titik pusat 𝑃(𝑎, 𝑏) yuk kita
simak contoh soal berikut

(𝑥′
𝑦′) = (𝑘

0

0𝑘) (𝑥 − 𝑎

𝑦 − 𝑏) + (𝑎

𝑏)

𝐷[(𝑎,𝑏),𝑘]

𝐴(𝑥, 𝑦)

𝐴′(𝑥′, 𝑦′)

Modul Matematika Umum Kelas XI KD 3.5

@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN

67

Pembahasan:
Titik 𝐴(−5, 2) akan didilatasikan oleh 𝐷[(3,4),− 3] dapat ditulis

(𝑥′
𝑦′) = (𝑘

0

0𝑘) (𝑥 − 𝑎

𝑦 − 𝑏) + (𝑎

𝑏)

(𝑥′
𝑦′) = (−3

0

0−3) (−5 − 3

2 − 4 ) + (3

4)

(𝑥′

𝑦′) = (−3

0

0−3) (−8

−2) + (3

4)

(𝑥′
𝑦′) = (24

6 ) + (3

4)

(𝑥′

𝑦′) = (24 + 3

6 + 4 )

(𝑥′

𝑦′) = (27

10)

Jadi, bayangan titik 𝐴 setelah didilatasi oleh 𝐷[(3,4),− 3] adalah 𝐴′(27, 10)

Pembahasan
Misalkan titik 𝐴(𝑥, 𝑦) memenuhi persamaan garis 𝑔: 2𝑥 + 4𝑦 − 3 = 0

(𝑥′

𝑦′) = (𝑘

0

0𝑘) (𝑥 − 𝑎

𝑦 − 𝑏) + (𝑎

𝑏)

(𝑥′
𝑦′) = (−2

0

0−2) ( 𝑥 − 2

𝑦 − (−4)) + ( 2

−4)

(𝑥′
𝑦′) = (−2

0

0−2) (𝑥 − 2

𝑦 + 4) + ( 2

−4)

(𝑥′
𝑦′) = (−2(𝑥 − 2)

−2(𝑦 + 4)) + ( 2

−4)

(𝑥′
𝑦′) = (−2𝑥 + 4

−2𝑦 − 8) + ( 2

−4)

(𝑥′
𝑦′) = ( −2𝑥 + 4 + 2

−2𝑦 − 8 + (−4))

(𝑥′
𝑦′) = ( −2𝑥 + 6

−2𝑦 − 12)

Tentukan bayangan titik 𝐴(−5, 2) setelah didilatasikan terhadap pusat (3, 4) dan faktor
skala −3 !

Contoh Soal 1:

𝐷[(2,−4),−2]

𝐴(𝑥, 𝑦)

𝐴′(𝑥′, 𝑦′)

𝐷[(3,4),− 3]

𝐴(−5, 2)

𝐴′(𝑥′, 𝑦′)

Garis 𝑔 ∶ 2𝑥 + 4𝑦 − 3 = 0 didilatasikan dengan faktor skala −2 terhadap titik pusat
(2, −4). Persamaan garis 𝑔 setelah didilatasi adalah …

Contoh Soal 2:

Modul Matematika Umum Kelas XI KD 3.5

@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN

68

Berdasarkan kesamaan dua matriks diperoleh
𝑥′= −2𝑥 + 6
2𝑥 = 6 − 𝑥′

𝑥 = 6 − 𝑥′

2

𝑦′= −2𝑦 − 12
2𝑦 = −𝑦′− 12

𝑦 = −𝑦 − 12

2

Substitusi𝑥 =6−𝑥′

2 dan 𝑦 = −𝑦−12

2
ke persamaan garis 𝑔: 2𝑥 + 4𝑦 − 3 = 0 sehingga

diperoleh

2𝑥 + 4𝑦 − 3 = 0

2 (6 − 𝑥′

2
) + 4 (−𝑦 − 12

2
) − 3 = 0

6 − 𝑥′+ 2(−𝑦′− 12) − 3 = 0

6 − 𝑥′− 2𝑦′− 24 − 3 = 0

−𝑥′− 2𝑦′− 21 = 0

𝑥′+ 2𝑦′+ 21 = 0

𝑥 + 2𝑦 + 21 = 0

Jadi, persamaan garis 𝑔 setelah didilatasi adalah 𝑔′: 𝑥 + 2𝑦 + 21 = 0

C.Rangkuman

1.Dilatasi adalah transformasi yang mengubah jarak titik-titik dengan faktor pengali

tertentu terhadap suatu titik tertentu. Faktor pengali tertentu disebut faktor dilatasi
atau faktor skala dan titik tertentu disebut pusat ilatasi

2.Dilatasi dinotasikan dengan 𝑫(𝑷, 𝒌)dimana P merupakan pusat dilatasi dan 𝑘

merupakan faktor skala

3.Jenis-jenis dilatasi berdasarkan titik pusat

Misalkan koordinat titik asal A(𝑥, 𝑦) akan didilatasikan dengan faktor skala 𝑘
terhadap pusat (0, 0) dan pusat (𝑎, 𝑏)akan menghasilkan bayangan sebagai berikut

Titik Pusat

Persamaan Matriks Transformasi

(0, 0)
(𝑥′
𝑦′) = (𝑘

0

0𝑘) (𝑥

𝑦)

(𝑎, 𝑏)
(𝑥′
𝑦′) = (𝑘

0

0𝑘) (𝑥 − 𝑎

𝑦 − 𝑏) + (𝑎

𝑏)

D.Latihan Soal

Anak- anak untuk mengukur kemampuan pemahaman konsep kalian terhadap dilatasi
kerjakan soal latihan berikut:

Soal Essay:
1.Titik 𝐴(−2, −5) didilatasikan dengan faktor skala −2 terhadap titik pusat (0, 0). Hasil

dilatasi titik 𝐴 adalah …

2.Titik 𝐵 didilatasikan dengan faktor skala −2 terhadap titik pusat (0, 0) menghasilkan

titik 𝐵′(−4, 6). Koordinat titik 𝐵 adalah …

Modul Matematika Umum Kelas XI KD 3.5

@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN

69

3.Titik 𝐴(2, −3) didilatasikan dengan faktor skala 3 terhadap titik pusat (1, −2). Hasil

dilatasi titik 𝐴 adalah …

4.Bayangan titik 𝑄(2, −1) oleh dilatasi terhadap titik pusat (3, 4) dengan faktor skala

−3 adalah …

5.Titik 𝐷 didilatasikan dengan faktor skala 2 terhadap titik pusat (2, −3) menghasilkan

titik 𝐷′(3, 6). Koordinat titik 𝐷 adalah …

6.Titik 𝐶(−2, −1) didilatasikan dengan faktor skala 𝑘 terhadap titik pusat (0, −3)

menghasilkan titik 𝐶′(4, −7). Nilai 𝑘 yang memenuhi adalah …

7.Titik 𝑅(−4, −2) didilatasikan dengan faktor skala

1
3 dilanjutkan dengan dilatasi faktor

skala −2 terhadap titik pusat (−1, 1). Hasil dilatasi titik 𝑅 adalah …

8.Persamaan bayangan garis 4𝑥 − 𝑦 + 6 = 0 oleh dilatasi [𝑂, −2] adalah …
9.Garis 𝑔 ∶ 𝑥 + 2𝑦 − 4 = 0 didilatasikan dengan faktor skala 2 terhadap titik pusat

(0, 0). Hasil dilatasi garis 𝑔 adalah …

10.Lingkaran 𝐿 ∶ (𝑥 − 1)2+ (𝑦 + 1)2= 9 didilatasikan dengan faktor skala 1

3 terhadap

titik pusat (1, 2). Hasil dilatasi lingkran 𝐿 adalah …

Modul Matematika Umum Kelas XI KD 3.5

@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN

70

Pembahasan :

No.

Pembahasan

Skor

1. Titik 𝐴(−2, −5) didilatasikan oleh 𝐷[𝑂,−2]

(𝑥′

𝑦′) = (𝑘

0

0𝑘) (𝑥

𝑦)

(𝑥′
𝑦′) = (−2

0

0−2) (−2

−5)

(𝑥′
𝑦′) = ( 4

10)

Jadi, bayangan titik 𝐴 setelah didilatasi oleh 𝐷[𝑂,−2] adalah 𝐴′(4, 10)

5


5

2. Titik 𝐵 didilatasikan dengan faktor skala −2 terhadap titik pusat (0, 0)
menghasilkan titik 𝐵′(−4, 6)

(𝑥′
𝑦′) = (𝑘

0

0𝑘) (𝑥

𝑦)

(−4

6 ) = (−2

0

0−2) (𝑥

𝑦)

(−4

6 ) = (−2𝑥

−2𝑦)

Dengan kesamaan dua matriks diperoleh
−4 = −2𝑥
2𝑥 = 4

𝑥 = 4

2

𝑥 = 2

6 = −2𝑦

2𝑦 = −6

𝑦 = − 6

2

𝑦 = −3

Jadi, koordinat titik 𝐵 adalah 𝐵(2, −3)

2


3





5

3. Titik 𝐴(2, −3) didilatasikan dengan faktor skala 3 terhadap titik pusat
(1, −2)

(𝑥′

𝑦′) = (𝑘

0

0𝑘) (𝑥 − 𝑎

𝑦 − 𝑏) + (𝑎

𝑏)

(𝑥′
𝑦′) = (3

0

03) (
2 − 1

−3 − (−2)) + ( 1

−2)

(𝑥′
𝑦′) = (3

0

03) ( 2 − 1

−3 + 2) + ( 1

−2)

(𝑥′
𝑦′) = (3

0

03) ( 2

−1) + ( 1

−2)

(𝑥′
𝑦′) = ( 6

−3) + ( 1

−2)

(𝑥′
𝑦′) = (
6 + 1

−3 + (−2))

(𝑥′
𝑦′) = ( 7

−5)

Jadi, koordinat titik 𝐴 setelah didilatasi oleh 𝐷[(1,−2),3] adalah 𝐴′(7, −5)

5





5

4. Bayangan titik 𝑄(2, −1) oleh dilatasi terhadap titik pusat (3, 4) dengan
faktor skala −3 adalah …

(𝑥′

𝑦′) = (𝑘

0

0𝑘) (𝑥 − 𝑎

𝑦 − 𝑏) + (𝑎

𝑏)

(𝑥′
𝑦′) = (−3

0

0−3) ( 2 − 3

−1 − 4) + (3

4)

5

Modul Matematika Umum Kelas XI KD 3.5

@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN

71

(𝑥′
𝑦′) = (−3

0

0−3) (−1

−5) + (3

4)

(𝑥′
𝑦′) = ( 3

15) + (3

4)

(𝑥′
𝑦′) = ( 3 + 3

15 + 4)

(𝑥′
𝑦′) = ( 6

19)

Jadi, koordinat titik 𝑄 setelah didilatasi oleh 𝐷[(3,4),− 3] adalah 𝑄′(6, 19)

5

5. Titik 𝐷 didilatasikan dengan faktor skala 2 terhadap titik pusat (2, −3)
menghasilkan titik 𝐷′(3, 6)

(𝑥′

𝑦′) = (𝑘

0

0𝑘) (𝑥 − 𝑎

𝑦 − 𝑏) + (𝑎

𝑏)

(3
6) = (2

0

02) ( 𝑥 − 2

𝑦 − (−3)) + ( 2

−3)

(3
6) = (2

0

02) (𝑥 − 2

𝑦 + 3) + ( 2

−3)

(3
6) = (2(𝑥 − 2)

2(𝑦 + 3)) + ( 2

−3)

(3
6) = (2𝑥 − 4

2𝑦 + 6) + ( 2

−3)

(3
6) = (2𝑥 − 4 + 2

2𝑦 + 6 − 3)

(3
6) = (2𝑥 − 2

2𝑦 + 3)

Dengan kesamaan dua matriks diperoleh

3 = 2𝑥 − 2

3 + 2 = 2𝑥

5 = 2𝑥

2𝑥 = 5

𝑥 = 5

2

6 = 2𝑦 + 3

6 − 3 = 2𝑦

3 = 2𝑦

2𝑦 = 3

𝑦 = 3

2

Jadi, koordinat titik 𝐷 adalah (5

2, 3

2)

3





5









2

6. Titik 𝐶(−2, −1) didilatasikan dengan faktor skala 𝑘 terhadap titik pusat
(0, −3) menghasilkan titik 𝐶′(4, −7). Nilai 𝑘 yang memenuhi adalah …

(𝑥′

𝑦′) = (𝑘

0

0𝑘) (𝑥 − 𝑎

𝑦 − 𝑏) + (𝑎

𝑏)

( 4
−7) = (𝑘

0

0𝑘) ( −2 − 0

−1 − (−3)) + ( 0

−3)

( 4
−7) = (𝑘

0

0𝑘) (
−2

−1 + 3) + ( 0

−3)

( 4
−7) = (𝑘

0

0𝑘) (−2

2 ) + ( 0

−3)

( 4
−7) = (−2𝑘

2𝑘 ) + ( 0

−3)

( 4
−7) − ( 0

−3) = (−2𝑘

2𝑘 )

(
4 − 0

−7 − (−3)) = (−2𝑘

2𝑘 )

( 4 − 0
−7 + 3) = (−2𝑘

2𝑘 )

3





5

Modul Matematika Umum Kelas XI KD 3.5

@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN

72

( 4
−4) = (−2𝑘

2𝑘 )

Dengan kesamaan dua matriks diperoleh 4 = −2𝑘 atau −4 = 2𝑘 kita
gunakan salah satu untuk menentukan nilai 𝑘

4 = −2𝑘

−2𝑘 = 4

−𝑘 = 4

2

−𝑘 = 2

𝑘 = −2

Jadi, nilai k yang memenuhi Dilatasi adalah 𝑘 = −2

2

7. Titik 𝑅(−4, −2) didilatasikan dengan faktor skala

1

3 dilanjutkan dengan

dilatasi faktor skala −2 terhadap titik pusat (−1, 1). Hasil dilatasi titik 𝑅
adalah …

Karena dilatasi dilakukan 2 kali yaitu 𝑘1 =

1
3 dan 𝑘2 = −2, maka faktor

skala bisa dikalikan sebagai berikut :

𝑘1 ∙ 𝑘2 = 1

3 ∙ (−2)

= − 2

3

Selanjutnya kita mencari bayangan titik R dengan konsep dilatasi pada
umumnya, yaitu:

(𝑥′

𝑦′) = (𝑘

0

0𝑘) (𝑥 − 𝑎

𝑦 − 𝑏) + (𝑎

𝑏)

(𝑥′

𝑦′) = (

− 2

3
0

0
− 2

3

) (−4 − (−1)

−2 − 1 ) + (−1

1 )

(𝑥′

𝑦′) = (

− 2

3
0

0
− 2

3

) (−4 + 1

−2 − 1) + (−1

1 )

(𝑥′

𝑦′) = (

− 2

3
0

0
− 2

3

) (−3

−3) + (−1

1 )

(𝑥′

𝑦′) = (

(− 2

3) ∙ −3

(− 2

3) ∙ −3

) + (−1

1 )

(𝑥′

𝑦′) = (2

2) + (−1

1 )

(𝑥′

𝑦′) = (2 + (−1)

2 + 1 )

(𝑥′

𝑦′) = (1

3)

3




2

5

Modul Matematika Umum Kelas XI KD 3.5

@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN

73

Jadi, koordinat titik R setelah didilatasi oleh 𝐷[(−1,1),1

3] dilanjutkan oleh

𝐷[(−1,1),−2] adalah 𝑅′′(1, 3)

8. Persamaan bayangan garis 4𝑥 − 𝑦 + 6 = 0 oleh dilatasi [𝑂, −2] adalah …
Misalkan titik 𝐴(𝑥, 𝑦) memenuhi persamaan garis 4𝑥 − 𝑦 + 6 = 0

(𝑥′
𝑦′) = (𝑘

0

0𝑘) (𝑥

𝑦)

(𝑥′
𝑦′) = (−2

0

0−2) (𝑥

𝑦)

(𝑥′
𝑦′) = (−2𝑥

−2𝑦)

Berdasarkan kesamaan dua matriks diperoleh

𝑥′= −2𝑥 → 𝑥 = − 1

2 𝑥′

𝑦′= −2𝑦′→ 𝑦 = − 1

2 𝑦′

Substitusi 𝑥 = −1

2𝑥′ dan 𝑦 = − 1

2𝑦′ ke persamaan garis 𝑔: 2𝑥 + 4𝑦 − 3 = 0

sehingga diperoleh

4𝑥 − 𝑦 + 6 = 0

4 (− 1

2 𝑥′) − (− 1

2 𝑦′) + 6 = 0

−2𝑥′+ 1

2 𝑦′ + 6 = 0

−2𝑥 + 1

2 𝑦 + 6 = 0

Kalikan persamaan −2𝑥 +1

2𝑦 + 6 = 0 dengan −2 sehingga diperoleh :

4𝑥 − 𝑦 − 12 = 0

Jadi, persamaan garis setelah didilatasi adalah 4𝑥 − 𝑦 − 12 = 0

5




2







3

9. Garis 𝑔 ∶ 𝑥 + 2𝑦 − 4 = 0 didilatasikan dengan faktor skala 2 terhadap titik
pusat (0, 0). Hasil dilatasi garis 𝑔 adalah …
Misalkan titik 𝐴(𝑥, 𝑦) memenuhi persamaan garis 𝑔 ∶ 𝑥 + 2𝑦 − 4 = 0

(𝑥′
𝑦′) = (𝑘

0

0𝑘) (𝑥

𝑦)

(𝑥′
𝑦′) = (2

0

02) (𝑥

𝑦)

(𝑥′
𝑦′) = (2𝑥

2𝑦)

Berdasarkan kesamaan dua matriks diperoleh

𝑥′= 2𝑥 → 𝑥 = 1

2 𝑥′

𝑦′= 2𝑦′→ 𝑦 = 1

2 𝑦′

Substitusi 𝑥 =

1
2𝑥′ dan 𝑦 =

1
2𝑦′ ke persamaan garis 𝑔: 𝑥 + 2𝑦 − 4 = 0

5





2

𝐷[𝑂,−2]

𝐴(𝑥, 𝑦)

𝐴′(𝑥′, 𝑦′)

𝐷[𝑂,2]

𝐴(𝑥, 𝑦)

𝐴′(𝑥′, 𝑦′)

Modul Matematika Umum Kelas XI KD 3.5

@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN

74

sehingga diperoleh

𝑥 + 2𝑦 − 4 = 0

(1
2 𝑥′) + 2 (1

2 𝑦′) − 4 = 0

1
2 𝑥′ + 𝑦′ − 4 = 0

1
2 𝑥 + 𝑦 − 4 = 0

Agar koefisen persamaan dalam bentuk bilangan bulat, kalikan persamaan
1
2𝑥 + 𝑦 − 4 = 0 dengan 2, sehingga diperoleh:

2 × (1

2 𝑥 + 𝑦 − 4) = 2 × 0

𝑥 + 2𝑦 − 8 = 0

Jadi, hasil dilatasi garis 𝑔 adalah 𝑔′: 𝑥 + 2𝑦 − 8 = 0

3

10. Lingkaran 𝐿 ∶ (𝑥 − 1)2+ (𝑦 + 1)2= 9 didilatasikan dengan faktor skala 1

3

terhadap titik pusat (1, 2). Hasil dilatasi lingkran 𝐿 adalah …
Misalkan titik 𝐴(𝑥, 𝑦) memenuhi persamaan lingkaran 𝐿 ∶ (𝑥 − 1)2+
(𝑦 + 1)2= 9

(𝑥′

𝑦′) = (𝑘

0

0𝑘) (𝑥 − 𝑎

𝑦 − 𝑏) + (𝑎

𝑏)

(𝑥′

𝑦′) = (

1
3
0

0
1
3

) (𝑥 − 1

𝑦 − 2) + (1

2)

(𝑥′

𝑦′) = (

1
3 (𝑥 − 1)

1
3 (𝑦 − 2)

) + (1

2)

(𝑥′

𝑦′) = (

1
3 (𝑥 − 1) + 1

1
3 (𝑦 − 2) + 2

)

Berdasarkan kesamaan dua matriks diperoleh

𝑥′= 1

3 (𝑥 − 1) + 1

𝑥′− 1 = 1

3 (𝑥 − 1)

3(𝑥′− 1) = 𝑥 − 1

3𝑥′− 3 = 𝑥 − 1

3𝑥′− 3 + 1 = 𝑥

3𝑥′− 2 = 𝑥

𝒙 = 𝟑𝒙′− 𝟐

𝑦′= 1

3 (𝑦 − 2) + 2

𝑦′− 2 = 1

3 (𝑦 − 2)

3(𝑦′− 2) = 𝑦 − 2

3𝑦′− 6 = 𝑦 − 2

3𝑦′− 6 + 2 = 𝑦

3𝑦′− 4 = 𝑦

𝒚 = 𝟑𝒚′− 𝟒

Selanjutnya, substitusi 𝑥 = 3𝑥′− 2 dan 𝑦 = 3𝑦′− 4 ke persamaan
lingkaran 𝐿 ∶ (𝑥 − 1)2+ (𝑦 + 1)2= 9 sehingga diperoleh :

(𝑥 − 1)2+ (𝑦 + 1)2= 9

5












3

𝐷ቂ(1,2),1

3ቃ

𝐴(𝑥, 𝑦)

𝐴′(𝑥′, 𝑦′)

Modul Matematika Umum Kelas XI KD 3.5

@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN

75

((3𝑥′− 2) − 1)

2 + ((3𝑦′ − 4) + 1)

2 = 9

(3𝑥′− 2 − 1)2+ (3𝑦′− 4 + 1)2= 9

(3𝑥′− 3)2+ (3𝑦′− 3)2= 9

(3(𝑥′− 1))

2 + (3(𝑦′ − 1))

2 = 9

9(𝑥′ − 1)2+ 9(𝑦′ − 1)2= 9
9(𝑥 − 1)2+ 9(𝑦 − 1)2= 9

Persamaan 9(𝑥 − 1)2+ 9(𝑦 − 1)2= 9 bisa disederhanakan dengan cara
membagi 9 ruas kiri dan kanan sehingga diperoleh :

(𝑥 − 1)2+ (𝑦 − 1)2= 1

Jadi, persamaan lingkaran setelah didilatasi oleh 𝐷[(1,2),1

3] adalah

(𝑥 − 1)2+ (𝑦 − 1)2= 1

2

Skor Total

100

Untuk mengetahui tingkat penguasaan kalian, cocokkan jawaban kalian dengan kunci
jawaban. Hitung jawaban benar kalian, kemudian gunakan rumus di bawah ini untuk
mengetahui tingkat penguasaan kalian terhadap materi kegiatan pembelajaran ini.

Kriteria
90% – 100% = baik sekali
80% – 89% = baik
70% – 79% = cukup
< 70% = kurang

Jika tingkat penguasaan kalian cukup atau kurang, maka kalian harus mengulang kembali
seluruh pembelajaran.

Rumus Tingkat penguasaan=

𝐽𝑢𝑚𝑙𝑎ℎ 𝑠𝑘𝑜𝑟

𝐽𝑢𝑚𝑙𝑎ℎ 𝑠𝑘𝑜𝑟 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙𝑥 100%

Modul Matematika Umum Kelas XI KD 3.5

@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN

76

E.Penilaian Diri

Anak-anak isilah pertanyaan pada tabel di bawah ini sesuai dengan yang kalian ketahui,
berilah penilaian secara jujur, objektif, dan penuh tanggung jawab dengan memberi tanda
centang pada kolom pilihan.

No.

Kemampuan Diri

Ya Tidak

1. Apakah kalian memahami pengertian dilatasi?

2. Apakah kalian dapat menentukan dilatasi titik terhadap pusat (0, 0) ?

3. Apakah kalian dapat menentukan dilatasi kurva terhadap pusat (0, 0) ?

4. Apakah kalian dapat menentukan dilatasi titik terhadap pusat (a, b) ?

5. Apakah kalian dapat menentukan dilatasi kurva terhadap pusat (a, b) ?

Catatan:
Bila ada jawaban "Tidak", maka segera lakukan review pembelajaran,
Bila semua jawaban "Ya", maka kalian dapat melanjutkan ke pembelajaran berikutny

Modul Matematika Umum Kelas XI KD 3.5

@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN

77

KEGIATAN PEMBELAJARAN 5

KOMPOSISI TRANSFORMASI

A.Tujuan Pembelajaran

Anak-anak setelah kegiatan pembelajaran 5 ini kalian diharapkan dapat :

1.Memahami pengertian komposisi transformasi
2.Menentukan komposisi transformasi pada titik
3.Menentukan komposisi transformasi pada kurva
4.Menentukan luas bayangan kurva setelah ditansformasi
5.Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan transformasi geometri

B.Uraian Materi

Komposisi Transformasi
Anak-anakku, pada kegiatan pembelajaran sebelumnya kita sudah mempelajari beberapa
macam transformasi geometri seperti translasi, refleksi, rotasi, dan dilatasi. Pernahkan
kalian berpikir bagaimanaa bayangan sebuah titik jika ditransformasikan lebih dari
sekali? Misalnya sebuah titik direfleksikan terhadap sumbu X kemudian dirotasikan
sejauh 90° berlawanan arah jarum jam. Untuk mencari bayangan titik tersebut kita bisa
menggunakan komposisi transformasi. Komposisi transformasi adalah transformasi
majemuk yang memuat lebih dari satu transformasi yang dilakukan secara berurutan.

Diketahui 𝑇1 merupakan transformasi yang memetakan titik 𝐴(𝑥, 𝑦) ke titik 𝐴′(𝑥′, 𝑦′) dan
𝑇2 merupakan transformasi yang memetakan titik 𝐴′(𝑥′, 𝑦′) ke titik 𝐴′′(𝑥′′, 𝑦′′).
Transformasi yang memetakan titik 𝐴(𝑥, 𝑦) ke titik 𝐴′′(𝑥′′, 𝑦′′) dapat ditulis sebagai
berikut




Bentuk 𝑇2 ∘ 𝑇1 disebut komposisi transformasi dan dibaca “𝑇2 komposisi 𝑇1” artinya
transformasi 𝑇1 dilanjutkan oleh transformasi 𝑇2 dan dapat dituliskan sebagai berikut.













Anak-anakku, untuk lebih memahami komposisi transformasi, yuk kita simak contoh soal
berikut.

𝑨(𝒙, 𝒚)

→

𝑻𝟐∘𝑻𝟏 𝑨′′(𝒙′′, 𝒚′′)

Komposisi transformasi bisa berupa komposisi translasi, komposisi refleksi,
komposisi rotasi, komposisi dilatasi, komposisi matriks tertentu atau komposisi
dari translasi, refleksi, rotasi, dilatasi dan matriks tertentu.

Catatan

𝑨(𝒙, 𝒚) →

𝑻𝟏 𝑨′(𝒙′, 𝒚′) →

𝑻𝟐 𝑨′′(𝒙′′, 𝒚′′)

Modul Matematika Umum Kelas XI KD 3.5

@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN

78

Pembahasan :
Transformasi geometri yang dialami segi empat ABCD adalah sebagai berikut

Bentuk matriks untuk Refleksi 𝑀𝑦=−𝑥 adalah 𝑇1 = ( 0−1

−1
0 )

Bentuk matriks untuk Rotasi 𝑅[𝑂,90°] adalah 𝑇2 = (cos 90°

− sin 90°

sin 90°
cos 90° ) = (0

−1

1
0 )

Langkah selanjutnya kita cari komposisi matriks transformasinya sebagai berikut

𝑇2 ∘ 𝑇1 = (0−1

1
0 ) ( 0

−1

−1
0 )

= (10

0−1)

Selanjutnya kita cari persamaan transformasinya sebagai berikut

(𝑥′
𝑦′) = (1

0

0−1) (𝑥

𝑦)

(𝑥′
𝑦′) = ( 𝑥

−𝑦)

Bayangan titik 𝐴(−1, 4)

(𝑥′
𝑦′) = (1

0

0−1) (−1

4 )

(𝑥′
𝑦′) = (−1

−4)

Jadi, bayangan titik 𝐴 adalah 𝐵′′(−1, −4)

Bayangan titik 𝐵(−4, 3)

(𝑥′
𝑦′) = (1

0

0−1) (−4

3 )

(𝑥′
𝑦′) = (−4

−3)

Jadi, bayangan titik 𝐵 adalah 𝐵′′(−4, −3)

Bayangan titik 𝐶(5, 0)

(𝑥′
𝑦′) = (1

0

0−1) (5

0)

(𝑥′
𝑦′) = (5

0)

Jadi, bayangan titik 𝐶 adalah 𝐶′′(5, 0)

Bayangan titik 𝐷(1, −1)

(𝑥′
𝑦′) = (1

0

0−1) ( 1

−1)

(𝑥′
𝑦′) = (1

1)

Jadi, bayangan titik 𝐷 adalah 𝐷′′(1, 1)

Dikeatahui segi empat ABCD dengan 𝐴(−1, 4), 𝐵(−4, 3), 𝐶(5, 0) dan 𝐷(1, −1).
Bayangan segi empat tersebut setelah dicerminkan terhadap garis 𝑦 = −𝑥, kemudian
diputar 90° dengan pusat 𝑂(0, 0) adalah …

Contoh Soal 1:

𝑀𝑦=−𝑥

(𝑥, 𝑦)

(𝑥′, 𝑦′)

(𝑥′′, 𝑦′′)

𝑅[𝑂,90°]

Persamaan bayangan garis 3𝑦 + 6𝑥 − 1 = 0 jika didilatasikan menggunakan faktor
skala 2 dengan titik pusat (0, 0) dilanjutkan rotasi sejauh 90° berlawanan arah jarum
jam dengan titik pusat 𝑂(0, 0) adalah …

Contoh Soal 2:

Modul Matematika Umum Kelas XI KD 3.5

@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN

79

Pembahasan :
Persamaan garis 𝑔 ∶ 3𝑦 + 6𝑥 − 1 = 0
𝑇1 adalah matriks transformasi dari dilatasi 𝐷[𝑂,2]

𝑇1 = (20

02)

𝑇2 adalah matriks transformasi untuk rotasi 𝑅[𝑂,90°]

𝑇2 = (cos 90°

− sin 90°

sin 90°
cos 90° )

= (0−1

1
0 )

Langkah selanjutnya kita cari komposisi matriks transformasinya sebagai berikut

𝑇2 ∘ 𝑇1 = (0−1

1
0 ) (20

02)

= (0−2

2
0 )

Selanjutnya kita cari persamaan transformasinya sebagai berikut

(𝑥′
𝑦′) = (0

−2

2
0 ) (𝑥

𝑦)

(𝑥′
𝑦′) = (−2𝑦

2𝑥 )

Dengan kesamaan dua matriks diperoleh

𝑥′= −2𝑦 → 𝑦 = − 1

2 𝑥′

𝑦′= 2𝑥 → 𝑥 = 1

2 𝑦′

Selanjutnya substitusi 𝑥 =1

2𝑦′ dan 𝑦 = − 1

2𝑥′ ke persamaan garis 3𝑦 + 6𝑥 − 1 = 0

diperoleh

3𝑦 + 6𝑥 − 1 = 0

3 (− 1

2 𝑥′) + 6 (1

2 𝑦′) − 1 = 0

− 3

2 𝑥′ + 3𝑦′ − 1 = 0 →

3𝑥′− 6𝑦′+ 2 = 0

3𝑥 − 6𝑦 + 2 = 0

Jadi, bayangan garis 𝑔 adalah 𝑔′∶ 3𝑥 − 6𝑦 + 2 = 0

Luas Daerah Bangun Hasil Transformasi

Misalkan matriks transformasi 𝐴 = (𝑎𝑏

𝑐𝑑) mentransformasikan bangun 𝐵 menjadi

bangun 𝐵′, maka





| det 𝐴 | merupakan nilai mutlak dari determinan matriks 𝐴 dan merupakan faktor
perbesaran luas



Untuk memahami konsep luas daerah bangun hasil transformasi, mari kita simak contoh
soal berikut.

𝑳𝒖𝒂𝒔 𝒃𝒂𝒏𝒈𝒖𝒏 𝑩′= |𝐝𝐞𝐭 𝑨| × 𝑳𝒖𝒂𝒔 𝒃𝒂𝒏𝒈𝒖𝒏 𝑩

det 𝐴 = 𝑎𝑑 − 𝑏𝑐

Kalikan persamaan dengan −2

Modul Matematika Umum Kelas XI KD 3.5

@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN

80

Pembahasan :
Untuk menentukan luas segitiga ABC, perhatikan gambar berikut.


















Pada gambar terlihat AB merupakan alas segitiga dengan panjang 𝐴𝐵 = 5 satuan dan BC
merupakan tinggi segitiga dengan panjang 𝐵𝐶 = 3 satuan sehingga luas segitiga ABC
adalah

𝐿𝑢𝑎𝑠 ∆𝐴𝐵𝐶 = 1

2 × 𝐴𝐵 × 𝐵𝐶

= 1

2 × 5 × 3

= 15

2

Selanjutnya kita cari determinan dari matriks transformasi yang bersesuaian yaitu

𝐴 = (42

1−3)

det 𝐴 = 𝑎𝑑 − 𝑏𝑐

= 4 ∙ (−3) − 2 ∙ 1
= −12 − 2
= −14

𝐿𝑢𝑎𝑠 𝑏𝑎𝑦𝑎𝑛𝑔𝑎𝑛 ∆𝐴𝐵𝐶 = |det 𝐴| × 𝐿𝑢𝑎𝑠 ∆𝐴𝐵𝐶

= |−14| × 15

2

= 14 × 15

2

= 105

Jadi, luas bayangan segitiga ABC adalah 105 satuan

Diketahui segitiga ABC dengan 𝐴(1, 0), 𝐵(6, 0) dan 𝐶(6, 3). Luas bayangan segitiga ABC

oleh transformasi yang bersesuaian dengan matriks (42

1−3) adalah …

Contoh Soal 1:

Modul Matematika Umum Kelas XI KD 3.5

@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN

81

C.Rangkuman

1.Komposisi transformasi bisa berupa komposisi translasi, komposisi refleksi,

komposisi rotasi, komposisi dilatasi, komposisi matriks tertentu atau komposisi dari
translasi, refleksi, rotasi, dilatasi dan matriks tertentu.

2.Komposisi transformasi 𝑇2 ∘ 𝑇1 artinya transformasi terhadap 𝑇1 dilanjutkan 𝑇2.

Bentuk 𝑇2 ∘ 𝑇1 bersesuaian dengan perkalian matriks

𝑇2 ∘ 𝑇1 = (ⅇ𝑓

𝑔ℎ) (𝑎

𝑏

𝑐𝑑)

3.Komposisi transformasi 𝑇1 ∘ 𝑇2 artinya transformasi terhadap 𝑇2 dilanjutkan 𝑇1.

Bentuk 𝑇1 ∘ 𝑇2 bersesuaian dengan perkalian matriks

𝑇1 ∘ 𝑇2 = (𝑎𝑏

𝑐𝑑) (ⅇ

𝑓

𝑔ℎ)

4.𝐿𝑢𝑎𝑠 𝑏𝑎𝑛𝑔𝑢𝑛 𝐵′= |det 𝐴| × 𝐿𝑢𝑎𝑠 𝑏𝑎𝑛𝑔𝑢𝑛 𝐵, dengan det 𝐴 = 𝑎𝑑 − 𝑏𝑐

D.Latihan Soal

Anak- anak, untuk mengukur kemampuan pemahaman konsep kalian terhadap komposisi
transformasi kerjakan soal latihan berikut:

Soal Essay:

1.Jika titik (3, 4) dirotasikan berlawanan arah jarum jam sejauh 45° dengan pusat titik

asal, kemudian hasilnya dicerminkan terhadap garis 𝑦 = 𝑥, maka koordinat
bayangannya adalah …

2.Bayangan garis 3𝑥 + 𝑦 = 4 oleh transformasi yang bersesuaian dengan matriks

( 01

−13) dilanjutkan oleh rotasi dengan pusat 𝑂(0,0) sejauh 270° adalah …

3.Persamaan bayangan garis 𝑦 = 𝑥 + 1 ditransformasikan oleh matriks (12

01),

dilanjutkan dengan pencerminan terhadap sumbu X adalah...

4.Persamaan bayangan parabola 𝑦 = 𝑥2− 3 ditransformasi oleh refleksi terhadap

sumbu X dilanjutkan oleh transformasi yang bersesuaian dengan matriks (21

11)

adalah...

5.Segitiga 𝐾𝐿𝑀 mempunyai koordinat 𝐾(−1, −2), 𝐿(4, −2), dan 𝑀(4, 0). Segitiga KLM

ditransformasikan terhadap matriks (−5−4

3
2 ). Luas segitiga hasil transformasi

adalah …

6.Diketahui dua buah rumah dengan letaknya masing-masing di 𝐴(8, 2) dan 𝐵(4, 5).

Sebuah tiang listrik akan dipasang sepanjang jalan pada sumbu 𝑌. Carilah letak tiang
listrik agar kawat yang digunakan untuk menghubungkan rumah 𝐴 dan 𝐵 adalah
minimum.

Modul Matematika Umum Kelas XI KD 3.5

@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN

82

Pembahasan:

No.

Pembahasan

Skor

1. Jika titik (3, 4) dirotasikan berlawanan arah jarum jam sejauh 45° dengan
pusat titik asal, kemudian hasilnya dicerminkan terhadap garis 𝑦 = 𝑥.
Misalkan :
𝑇1 merupakan matriks transformasi rotasi terhadap titik asal (0, 0) dengan
besar sudut 45°

𝑇1 = (cos 45°

− sin 45°

sin 45°
cos 45° )

𝑇1 = (

1
2 √2
− 1

2 √2

1
2 √2
1
2 √2

)

𝑇2 merupakan matriks transformasi refleksi terhadap garis 𝑦 = 𝑥

𝑇2 = (01

10)

Titik (3, 4) ditransformasikan oleh 𝑇1 dilanjutkan 𝑇2 diperoleh

(𝑥′

𝑦′) = 𝑇2 ∙ 𝑇1 ∙ (𝑥

𝑦)

(𝑥′

𝑦′) = (0

1

10) ∙ (

1
2 √2
− 1

2 √2

1
2 √2
1
2 √2

) ∙ (3

4)

(𝑥′

𝑦′) = (

1
2 √2
1
2 √2

1
2 √2
− 1

2 √2

) ∙ (3

4)

(𝑥′

𝑦′) = (

3
2 √2 + 4

2 √2

3
2 √2 − 4

2 √2

)

(𝑥′

𝑦′) = (

7
2 √2

− 1

2 √2

)

Jadi, koordinat bayangan adalah (

7√2

2, − √2

2)

2





2










6

2. 1.Bayangan garis 3𝑥 + 𝑦 = 4 oleh transformasi yang bersesuaian dengan

matriks ( 01

−13) dilanjutkan oleh rotasi dengan pusat 𝑂(0,0) sejauh 270°

Misalkan :

𝑇1 merupakan matrik transformasi ( 01

−13)

𝑇1 = ( 01

−13)

𝑇2 merupakan matriks transformasi rotasi terhadap pusat 𝑂(0, 0) dengan
besar sudut 𝛼 = 270°

𝑇2 = (cos 270°

− sin 270°

sin 270°
cos 270° )

𝑇2 = ( 01

−10)

2




2

Modul Matematika Umum Kelas XI KD 3.5

@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN

83

Garis 3𝑥 + 𝑦 = 4 ditransformasikan oleh 𝑇1 dilanjutkan 𝑇2 diperoleh

(𝑥′

𝑦′) = 𝑇2 ∙ 𝑇1 ∙ (𝑥

𝑦)

(𝑥′

𝑦′) = ( 0

1

−10) ∙ ( 0

1

−13) ∙ (𝑥

𝑦)

(𝑥′

𝑦′) = (−1

3

0−1) ∙ (𝑥

𝑦)

(𝑥′

𝑦′) = (−𝑥 + 3𝑦

−𝑦
)

Dengan kesamaan dua matriks diperoleh 𝑥′= −𝑥 + 3𝑦 dan 𝑦′= −𝑦
Dari persamaan 𝑦′= 𝑦 dapat kita ubah menjadi 𝑦 = −𝑦′
Selanjutnya persamaan 𝑦 = −𝑦′ kita substitusi ke persamaan 𝑥′= −𝑥 + 3𝑦
diperoleh
𝑥′= −𝑥 + 3(−𝑦′)
𝑥′= −𝑥 − 3𝑦′
𝑥 = −𝑥′− 3𝑦′
Substitusi 𝑥 = −𝑥′− 3𝑦′ dan 𝑦 = −𝑦′ ke persamaan 3𝑥 + 𝑦 = 4 diperoleh

3𝑥 + 𝑦 = 4

3(−𝑥′− 3𝑦′) + (−𝑦′) = 4

−3𝑥′− 9𝑦′− 𝑦′= 4
−3𝑥′− 10𝑦′− 4 = 0

3𝑥′+ 10𝑦′+ 4 = 0

3𝑥 + 10𝑦 + 4 = 0

Jadi, bayangan garis adalah 3𝑥 + 10𝑦 + 4 = 0

3













3

3. 2.Garis 𝑦 = 𝑥 + 1 ditransformasikan oleh matriks (12

01), dilanjutkan dengan

pencerminan terhadap sumbu X

3.

Misalkan :

𝑇1 merupakan matriks transormasi (12

01)

𝑇1 = (12

01)

𝑇2merupakan matriks transformasi pencerminan terhadap sumbu 𝑋

𝑇2 = (10

0−1)

Garis 𝑦 = 𝑥 + 1 ditransformasikan oleh 𝑇1 dilanjutkan 𝑇2 diperoleh

(𝑥′

𝑦′) = 𝑇2 ∙ 𝑇1 ∙ (𝑥

𝑦)

(𝑥′

𝑦′) = (1

0

0−1) ∙ (1

2

01) ∙ (𝑥

𝑦)

(𝑥′

𝑦′) = (1

2

0−1) ∙ (𝑥

𝑦)

(𝑥′

𝑦′) = (𝑥 + 2𝑦

−𝑦
)

Dengan kesamaan dua matriks diperoleh 𝑥′= 𝑥 + 2𝑦 dan 𝑦′= −𝑦
𝑦′= −𝑦 kita ubah menjadi 𝑦 = −𝑦′
Selanjutnya 𝑦 = −𝑦′ kita substitusi ke persamaan 𝑥′= 𝑥 + 2𝑦 diperoleh
𝑥′= 𝑥 + 2𝑦
𝑥′= 𝑥 + 2(−𝑦′)
𝑥′= 𝑥 − 2𝑦′
𝑥 = 𝑥′+ 2𝑦′

2


2






3

Modul Matematika Umum Kelas XI KD 3.5

@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN

84

Substitusi 𝑥 = 𝑥′+ 2𝑦′ dan 𝑦 = −𝑦′ ke persamaan 𝑦 = 𝑥 + 1 diperoleh

𝑦 = 𝑥 + 1

−𝑦′= (𝑥′+ 2𝑦′) + 1
−𝑦′= 𝑥′+ 2𝑦′+ 1

𝑥′+ 2𝑦′+ 1 = −𝑦′

𝑥′+ 2𝑦′+ 𝑦′+ 1 = 0

𝑥′+ 3𝑦′+ 1 = 0

𝑥 + 3𝑦 + 1 = 0

Jadi, bayangan garis adalah 𝑥 + 3𝑦 + 1 = 0

3

4. 4.Parabola 𝑦 = 𝑥2− 3 ditransformasi oleh refleksi terhadap sumbu X

dilanjutkan oleh transformasi yang bersesuaian dengan matriks (21

11)

Misalkan :
𝑇1 merupakan matriks transformasi refleksi terhadap sumbu X

𝑇1 = (10

0−1)

𝑇2 merupakan matriks transformasi (21

11)

𝑇2 = (21

11)

Parabola 𝑦 = 𝑥2− 3 ditransformasikan oleh 𝑇1 dilanjutkan 𝑇2 diperoleh

(𝑥′

𝑦′) = 𝑇2 ∙ 𝑇1 ∙ (𝑥

𝑦)

(𝑥′

𝑦′) = (2

1

11) ∙ (1

0

0−1) ∙ (𝑥

𝑦)

(𝑥′

𝑦′) = (2

−1

1−1) ∙ (𝑥

𝑦)

Selanjutnya gunakan persamaan matriks untuk mencari 𝑥 dan 𝑦

(𝑥′

𝑦′) = (2

−1

1−1) ∙ (𝑥

𝑦)

jika terdapat persamaan matriks bentuk 𝐴𝑋 = 𝐵 → 𝑥 = 𝐴−1𝐵

(𝑥
𝑦) = (2

−1

1−1)

−1

∙ (𝑥′

𝑦′) Invers matriks 𝐴−1 =1

det 𝐴∙ 𝐴𝑑𝑗 𝐴

(𝑥
𝑦) =
1

(2 ∙ (−1)) − ((−1) ∙ 1) ∙ (−1

1

−12) ∙ (𝑥′

𝑦′)

(𝑥
𝑦) =
1

−2 − (−1) ∙ (−1

1

−12) ∙ (𝑥′

𝑦′)

(𝑥
𝑦) =
1

−2 + 1 ∙ (−1

1

−12) ∙ (𝑥′

𝑦′)

(𝑥
𝑦) = 1

−1 ∙ (−1

1

−12) ∙ (𝑥′

𝑦′)

(𝑥
𝑦) = −1 ∙ (−1

1

−12) ∙ (𝑥′

𝑦′)

(𝑥
𝑦) = (1

−1

1−2) ∙ (𝑥′

𝑦′)

(𝑥
𝑦) = ( 𝑥′ − 𝑦′

𝑥′− 2𝑦′)

Dengan kesamaan dua matriks diperoleh
𝑥 = 𝑥′− 𝑦′
𝑦 = 𝑥′− 2𝑦′

2



2




2











2

Modul Matematika Umum Kelas XI KD 3.5

@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN

85

Substitusi 𝑥 = 𝑥′− 𝑦′ dan 𝑦 = 𝑥′− 2𝑦′ ke persamaan parabola 𝑦 = 𝑥2− 3

𝑦 = 𝑥2− 3

𝑥′− 2𝑦′= (𝑥′− 𝑦′)2− 3
𝑥′− 2𝑦′= (𝑥′− 𝑦′)(𝑥′− 𝑦′) − 3
𝑥′− 2𝑦′= 𝑥′2− 𝑥′𝑦′− 𝑥′𝑦′+ 𝑦′2− 3

𝑥′2− 2𝑥′𝑦′+ 𝑦2− 3 = 𝑥′− 2𝑦′

𝑥′2+ 𝑦′2− 2𝑥′𝑦′− 3 − 𝑥′+ 2𝑦′= 0
𝑥′2+ 𝑦′2− 2𝑥′𝑦′− 𝑥′+ 2𝑦′− 3 = 0

𝑥2+ 𝑦2− 2𝑥𝑦 − 𝑥 + 2𝑦 − 3 = 0

Jadi, bayangan parabola adalah 𝑥2+ 𝑦2− 2𝑥𝑦 − 𝑥 + 2𝑦 − 3 = 0

2

5. 5.Untuk menentukan luas segitiga KLM, perhatikan gambar berikut.

Pada gambar terlihat KL merupakan alas segitiga dengan panjang 𝐾𝐿 = 5
satuan dan LM merupakan tinggi segitiga dengan panjang 𝐿𝑀 = 2 satuan
sehingga luas segitiga KLM adalah

𝐿𝑢𝑎𝑠 ∆𝐾𝐿𝑀 = 1

2 × 𝐾𝐿 × 𝐿𝑀

= 1

2 × 5 × 2

= 5

Selanjutnya kita cari determinan dari matriks transformasi yang
bersesuaian yaitu

𝐴 = (−5−4

3
2 )

det 𝐴 = 𝑎𝑑 − 𝑏𝑐

= (−5) ∙ 2 − (−4) ∙ 3
= −10 + 12
= 2

𝐿𝑢𝑎𝑠 𝑏𝑎𝑦𝑎𝑛𝑔𝑎𝑛 ∆𝐾𝐿𝑀 = |det 𝐴| × 𝐿𝑢𝑎𝑠 ∆𝐾𝐿𝑀

= |2| × 15

2

= 2 × 5
= 10

Jadi, luas bayangan segitiga KLM adalah 10 satuan

2

















3








5

Modul Matematika Umum Kelas XI KD 3.5

@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN

86

6. 6.Diketahui dua buah rumah dengan letaknya masing-masing di 𝐴(8, 2) dan

𝐵(4, 5). Sebuah tiang listrik akan dipasang sepanjang jalan pada sumbu 𝑌.
Perhatikan gambar berikut.

7.

Misalnya letak tiang listrik itu di titik 𝐶.
Panjang kawat yang akan digunakan adalah 𝐴𝐶 + 𝐵𝐶.
Panjang kawat 𝐵𝐶 = 𝐵′𝐶, dengan B’(-4, 5) adalah hasil refleksi titik 𝐵(4, 5)
terhadap sumbu Y. Jadi panjang kawat yang digunakan adalah 𝐴𝐵′ yang
melalui titik C. Kawat ini akan minimum jika 𝐴𝐵′ merupakan garis lurus.
Selanjutnya kita cari persamaan garis AB’ dengan koordinat titik 𝐴(8, 2) dan
𝐵′(−4, 5) seperti berikut.

𝑦 − 𝑦1
𝑦2 − 𝑦1

= 𝑥 − 𝑥1

𝑥2 − 𝑥1

𝑦 − 2
5 − 2 = 𝑥 − 8

−4 − 8

𝑦 − 2

3
= 𝑥 − 8

−12

−12(𝑦 − 2) = 3(𝑥 − 8)
−12𝑦 + 24 = 3𝑥 − 24

3𝑥 − 24 = −12𝑦 + 24

3𝑥 + 12𝑦 − 24 − 24 = 0

3𝑥 + 12𝑦 − 48 = 0

Persamaan garis 𝐴𝐵′ adalah 3𝑥 + 12𝑦 − 48 = 0
Selanjutnya kita cari titik potong garis 𝐴𝐵 terhadap sumbu Y
Misalkan 𝑥 = 0 substitusi ke persamaan 3𝑥 + 12𝑦 − 48 = 0

3 ∙ 0 + 12𝑦 − 48 = 0

12𝑦 = 48

𝑦 = 48

12

𝑦 = 4

Koordinat titik 𝐶 adalah 𝐶(0, 4)
Dengan demikian letak tiang listrik agar kawat yang digunakan untuk
menghubungkan rumah A dan B minimum adalah 𝐶(0, 4)

2












2







3











3

Skor Total

60

Modul Matematika Umum Kelas XI KD 3.5

@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN

87

Untuk mengetahui tingkat penguasaan kalian, cocokkan jawaban kalian dengan kunci
jawaban. Hitung jawaban benar kalian, kemudian gunakan rumus di bawah ini untuk
mengetahui tingkat penguasaan kalian terhadap materi kegiatan pembelajaran ini.

Kriteria
90% – 100% = baik sekali
80% – 89% = baik
70% – 79% = cukup
< 70% = kurang

Jika tingkat penguasaan kalian cukup atau kurang, maka kalian harus mengulang kembali
seluruh pembelajaran.

E.Penilaian Diri
Anak-anak, isilah pertanyaan pada tabel di bawah ini sesuai dengan yang kalian ketahui,
berilah penilaian secara jujur, objektif, dan penuh tanggung jawab dengan memberi tanda
centang pada kolom pilihan.

No.

Kemampuan Diri

Ya

Tidak

1. Apakah kalian memahami pengertian komposisi transformasi ?

2. Apakah kalian dapat menentukan komposisi transformasi pada

titik?

3. Apakah kalian dapat menentukan komposisi transformasi pada

kurva?

4. Apakah kalian dapat menentukan luas bayangan kurva setelah

ditansformasi ?

5. Apakah kalian dapat menyelesaikan masalah yang berkaitan

dengan transformasi geometri?

Catatan:
Bila ada jawaban "Tidak", maka segera lakukan review pembelajaran,
Bila semua jawaban "Ya", maka kalian dapat melanjutkan ke pembelajaran berikutnya.

Rumus Tingkat penguasaan=

𝐽𝑢𝑚𝑙𝑎ℎ 𝑠𝑘𝑜𝑟

𝐽𝑢𝑚𝑙𝑎ℎ 𝑠𝑘𝑜𝑟 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙𝑥 100%

Modul Matematika Umum Kelas XI KD 3.5

@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN

88

EVALUASI

1.Bayangan titik (3, −7) oleh translasi 𝑇 = (4

2) adalah …

a.(5, −3)
b.(−1, −9)
c.(7, −5)
d.(1, 9)
e.(12, −14)

2.Diketahui koordinat titik 𝑃(4, −1) ditranslasikan oleh (2

𝑎) diperoleh bayangan

𝑃′(−2𝑎1 − 4). Nilai 𝑎 adalah …
a.−3
b.−1
c.0
d.2
e.3

3.Jika 𝑃′(2, −4) adalah bayangan titik 𝑃(3, 5) oleh translasi 𝑇, maka translasi 𝑇

adalah …

a.(−1

9 )

b.( 1

−9)

c.(1

9)

d.(5

1)

e.(−1

−9)

4.Jika garis 𝑦 = 𝑥 + 5 ditranslasikan oleh (2

3), maka persamaan bayangan adalah …

a.𝑦 = 2𝑥 + 8
b.𝑦 = 𝑥 + 10
c.𝑦 = 𝑥 + 6
d.𝑦 = 2𝑥 + 5
e.𝑦 = 𝑥 + 8

5.Garis 2x + 3y = 6 ditranslasikan dengan matriks (−3

2 ) dan dilanjutkan dengan

( 1
−1) bayangannya adalah …

a.3x + 2y + 5 = 0
b.3x + 2y – 5 = 0
c.2x – 3y + 5 = 0
d.2x + 3y – 5 = 0
e.2x + 3y + 5 = 0

Modul Matematika Umum Kelas XI KD 3.5

@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN

89

6.Titik M(-2,6) direfleksikan terhadap garis 𝑥 = 3 bayangan titik M adalah . . .

a.(4,6)

b.(-4,6)

c.(-8,6)
d.(6,6)
e.(8,6)

7.Bayangan titik P(a,b) setelah dicerminkan terhadap garis 𝑦 = -5 menjadi 𝑃′(6, −5)

Nilai b – a = . . . .
a.11

b.8

c.4
d.−4
e.−11

8.Jika jajargenjang ABCD dengan A(-3,5); B(4,1); dan C(6,8), dicerminkan terhadap

garis 𝑦 = −𝑥, bayangan titik D adalah . . . .
a.(1,-12)

b.(-12,1)

c.(12,-1)
d.(12,-5)
e.(-5,12)

9.Jika garis 𝑥 − 2𝑦 − 2 = 0 dicerminkan terhadap sumbu Y, maka persamaan

bayangan garis adalah …
a.𝑥 + 2𝑦 − 3 = 0
b.−𝑥 − 2𝑦 + 3 = 0
c.−𝑥 + 2𝑦 + 3 = 0
d.𝑥 − 2𝑦 − 3 = 0
e.−𝑥 − 2𝑦 − 3 = 0

10.Bayangan garis 𝑦 = 2𝑥 + 2 yang dicerminkan terhadap garis 𝑦 = 𝑥 adalah …

a.𝑦 = 𝑥 + 1
b.𝑦 = 𝑥 − 1

c.𝑦 =1

2𝑥 − 1

d.𝑦 =

1
2𝑥 + 1

e.𝑦 =1

2𝑥 − 1

2

11.Titik R(5,-3) dirotasikan oleh [О,180°]. Bayangan titik R adalah . . . .

a.(-5,3)

b.(3,-5)

c.(-3,5)
d.(-5,-3)
e.(-3,-5)

Modul Matematika Umum Kelas XI KD 3.5

@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN

90

12.Segitiga ABC dengan koordinat titik sudut 𝐴(2, −1), 𝐵(6, −2) dan 𝐶(5, 2) dirotasi

sejauh 180° dengan pusat (3, 1). Bayangan koordinat titik sudut segitiga ABC
adalah …
a.𝐴(4, 3), 𝐵(0, 4), 𝐶(1, 0)
b.𝐴(3, 4), 𝐵(4, 0), 𝐶(0, 1)
c.𝐴(−4, 3), 𝐵(0, −4), 𝐶(−1, 0)
d.𝐴(−4, −3), 𝐵(0, −4), 𝐶(−1,0)
e.𝐴(−4, −3), 𝐵(0,4), 𝐶(1,1)

13.Titik 𝐵(5, −1) dirotasikan terhadap titik 𝑃(2, 3) sejauh 90° searah putaran jarum

jam. Bayangan titik 𝐵 adalah …
a.𝐵′(−4, −3)
b.𝐵′(−5, 1)
c.𝐵′(−5, −1)
d.𝐵′(−2, 0)
e.𝐵′(0, −2)

14.Persamaan bayangan garis y = 5x – 3 karena rotasi dengan pusat O(0,0) bersudut –

90 adalah …
a.5x – y + 3 = 0
b.x – 5y – 3 = 0
c.x + 5y – 3 = 0
d.x + 5y + 3 = 0
e.5x + y – 3 = 0

15.Jika garis 𝑥 − 2𝑦 = 5 diputar sejauh 90° terhadap titik (2, 4) berlawanan arah

putaran jam, maka persamaan bayangannya adalah …
a.2𝑥 + 𝑦 = −19
b.2𝑥 + 𝑦 = 19
c.𝑥 − 𝑦 = 19
d.𝑦 − 𝑥 = 19
e.−𝑥 − 𝑦 = 19

16.Setelah dilatasi [O,-3], bayangan titik S(5,-2) adalah . . . .

a.(6,15)

b.(6,-15)

c.(-15,6)
d.(12,-5)
e.(-5,12)

17.Jika titik A(2, -6) didilatasikan pada titik pusat dilatasi O(0,0) dengan faktor

dilatasi k = 2, maka koordinat bayangannya adalah. .
a.A'(-4, -12)

b.A'(-2, -6)

c.A'(-4, 12)
d.A'(4, -12)
e.A'(1, -3)

Modul Matematika Umum Kelas XI KD 3.5

@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN

91

18.Sebuah transformasi dilatasi dengan faktor dilatasi −

1
2 , memetakan titik A(4, 3)

menjadi A'(10, 6). Koordinat titik pusat dilantasinya adalah . . . . . .
a.P(1, -2)

b.P(8, 5)

c.P(-2, 3)
d.P(5, 2)
e.P(6, 3)

19.Pada ΔABC dengan A(4, 1), B(8, 1), dan C(5, 8) didilatasi dengan pusat O dan

faktor skala 3 menghasilkan bayangan ΔA'B'C'. Perbandingan luas ΔABC dengan
luas ΔA'B'C' adalah . . . .
a.1 : 3

b.1 : 4

c.1 : 6
d.1 : 8
e.1 : 9

20.Dikethui segitiga ABC dan titik – titik ujung A(2, 3), B(8, 2), dan C(4, 6). Segitiga ini

dilatasikan pada titik pusat dilatasi O(0, 0) dan faktor dilatasi k = 3. Luas segitiga
bayangannya adalah . . . .
a.10 satuan luas
b.30 satuan luas
c.90 satuan luas
d.120 satuan luas
e.270 satuan luas

21.T1 adalah transformasi rotasi dengan pusat O dan sudut putar 90º. T2 adalah

transformasi pencerminan terhadap garis y = –x. Bila koordinat peta titik A oleh
transformasi T1T2 adalah A’(8, –6), maka koordinat titik A adalah …
a.(–6, –8)

b.(–6, 8)

c.(6, 8)

d.(8, 6)
e.(10, 8)

22.Transformasi (𝑎𝑎 + 1

1
−2 ) yang dilanjutkan dengan transformasi ( 2

1

−1−3)

terhadap titik A(2, 3) dan B(4, 1) menghasilkan bayangan A’(22, –1) dan B’(24, –
17). Oleh komposisi transformasi yang sama, bayangan titik C adalah C’(70, 35).
Koordinat titik C adalah …
a.(2, 15)
b.(2, –15)
c.(–2, 15)
d.(15, –2)
e.(15, 2)

Modul Matematika Umum Kelas XI KD 3.5

@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN

92

23.Sebuah garis 3x + 2y = 6 ditranslasikan dengan matriks ( 3

−4), dilanjutkan dilatasi

dengan pusat di O dan faktor 2. Hasil transformasinya adalah …
a.3x + 2y = 14
b.3x + 2y = 7
c.3x + y = 14
d.3x + y = 7
e.x + 3y = 14

24.Bayangan kurva y = x2 – x + 3 yang ditransformasikan oleh matriks (0−1

1
0 )

dilanjutkan oleh matriks (−10

01) adalah …

a.𝑦 = 𝑥2+ 𝑥 + 3
b.𝑦 = −𝑥2+ 𝑥 + 3
c.𝑥 = 𝑦2− 𝑦 + 3
d.𝑥 = 𝑦2+ 𝑦 + 3
e.𝑥 = −𝑦2+ 𝑦 + 3

25.Persamaan bayangan garis 3x + 5y – 7 = 0 oleh transformasi yang bersesuaian

dengan matriks ( 1−1

−1
2 ) dilanjutkan dengan (32

21) adalah …

a.2x + 3y + 7 = 0
b.2x + 3y – 7 = 0
c.3x + 2y – 7 = 0
d.5x – 2y – 7 = 0
e.5x + 2y – 7 = 0

Modul Matematika Umum Kelas XI KD 3.5

@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN

93

KUNCI JAWABAN :

1.C
2.A
3.E
4.C
5.D
6.E
7.E
8.B
9.E
10.C

11.A
12.A
13.B
14.D
15.B
16.C
17.D
18.B
19.E
20.C

21.D
22.A
23.A
24.C
25.D

Modul Matematika Umum Kelas XI KD 3.5

@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN

94

DAFTAR PUSTAKA

Anonim. 2018. Transformasi Geometri Menggunakan Aplikasi Geogebra. Dalam:

http://panduangeogebra.blogspot.com/2018/11/cara-menggunakan-aplikasi-

geogebra.html diakses 14 September 2020

Cunayah, Cucun dan Etsa Indra Irawan. 2013. 1700 Bank Soal Bimbingan Pemantapan

Matematika untuk SMA/Ma. Bandung : Yrama Widya

Defantri. 2015. Bank Soal dan Pembahasan Matematika Dasar Transformasi Geometri.

Dalam:https://www.defantri.com/2015/10/matematika-dasar-transformasi-

geometri.html diakse 14 September 2020

Ginting, Rodeestalita BR. E-Modul Matematika Kelas XI. Jakarta : Kementrian Pendidikan

dan Kebudayaan

Manullang, Sudianto. dkk. 2017. Matematika SMA/MA Kelas XI. Jakarta : Kementrian

Pendidikan dan Kebudayaan

Ngapiningsih.dkk. 2019. Matematika untuk SMA/MA kelas XI. Yogyakarta : Intan Pariwara

Tampomas, Husein. 2017. Matematika. Bekasi : MGMP Kota Bekasi

Tim Progresif. 2019. Erlangga X-Press UN SMA/MA 2020 Matenatika IPA. Jakarta:

Erlangga