Δυναμικά Συστήματα Γεωμετρίας (Άρθρο Χρήστου)

Η αποδεικτική διαδικασία και ο επιστημονικός στοχασμός στα Δυναμικά Συστήματα Γεωμετρίας

Κωνσταντίνος Χρήστου
Νίκος Μουσουλίδης
Μάριος Πιττάλης
Δήμητρα Πιττά -Πανταζή

Επιμέλεια Δρίβα Αγγελική

​Δ.Σ.Γ

Η ανακάλυψη των Δ.Σ.Γ και η εφαρμογή τους στην εκπαίδευση αποτελούν καινοτόμο μέθοδο στη διδασκαλία των μαθηματικών.

Ο μαθητής έχει τη δυνατότητα να κατασκευάσει και να αλληλεπιδράσει με μαθηματικά αντικείμενα, να κάνει εικασίες και να ελέγξει την ορθότητά τους.

Δ.Σ.Γ

​Επικριτές των Δ.Σ.Γ

Οι μαθητές αποπροσανατολίζονται απ' το σκοπό της βαθύτερης κατάκτησης της μαθηματικής γνώσης, δηλ την κατανόηση της αποδεικτικής διαδικασίας και την κατάλληλη επιλογή αυτής.

Η μαθηματική εκπαίδευση οφείλει να εφοδιάζει τους μαθητές με δεξιότητες, να κάνουν αποδείξεις και να ελέγχουν την ορθότητά τους.

Το χάσμα μεταξύ απόδειξης και πειραματισμού

Παραδοσιακή Διδασκαλία: οι μαθητές διακρίνουν την απόδειξη από τις ενέργειες πειραματισμού.

Δ.Σ.Γ.: οι μαθητές μπορούν να πειστούν για την εγκυρότητα μιας εικασίας με τα οπτικά μέσα, καθώς γεωμετρικά αντικείμενα παθαίνουν διάφορους μετασχηματισμούς.

Παραδοσιακή Διδασκαλία VS Δ.Σ.Γ

Η μετάβαση απ' τον πειραματισμό στους παραγωγικούς συλλογισμούς των τυπικών αποδείξεων δεν είναι απλή και αυθόρμητη διαδικασία.

Δ.Σ.Γ.: Βοηθούν τους μαθητές
1. στην αναγνώριση των γεωμετρικών ιδιοτήτων των μαθηματικών αντικειμένων,
2. στις συσχετίσεις μεταξύ τους,
3. συμβάλλουν στην κατανόηση των γεωμετρικών προβλημάτων.

Αλλά:

Δ.Σ.Γ.:
Δε συνεισφέρουν στην ανάπτυξη δεξιοτήτων για να κάνουν οι μαθητές αποδείξεις.

Οι πιο συντηρητικοί εκπαιδευτικοί υποστηρίζουν ότι μετά τη χρήση των Δ.Σ.Γ. οι μαθητές δε βρίσκουν ενδιαφέρον και δεν κατανοούν την αναγκαιότητα της απόδειξης.

Για το σκοπό αυτό:

Υπάρχει διαρκής αναζήτηση για την αποτελεσματική αξιοποίηση των Δ.Σ.Γ. και να εισάγεται η απόδειξη ως απαραίτητη δεξιότητα στους μαθητές.

Γι' αυτό εξετάζεται ο επαναπροσδιορισμός των διαδικασιών της απόδειξης.

​Λειτουργίες απόδειξης (Hanna 2000)

Επαλήθευση ∗  
Επεξήγηση (γιατί μια πρόταση ισχύει) ∗
Συστηματοποίηση (οργάνωση των επεξηγήσεων σε λογικά βήματα)
Ανακάλυψη
Επικοινωνία
Κατασκευή
Πειραματισμός
Ενσωμάτωση

∗περιλαμβάνουν όλα τα βήματα ανάπτυξης της μαθηματικής σκέψης

​Η απόδειξη ως διαδικασία αιτιολόγησης είναι περισσότερο αποδεκτή από τους μαθητές και κάνει τα μαθηματικά πιο χρήσιμα και πιο διασκεδαστικά

​Η έρευνα

• 3 δάσκαλοι - φοιτητές

• Βασικές γνώσεις άλγεβρας - γεωμετρίας

• 1 μάθημα μαθηματικών εξαμήνου στο παν/μιο

• Δόθηκαν ανοικτού τύπου προβλήματα, προκειμένου οι φοιτητές να χρησιμοποιήσουν τις λειτουργίες της απόδειξης: να εξερευνήσουν, να κάνουν εικασίες και να τις επαληθεύσουν

  2 άξονες

  i) H χρήση των Δ.Σ.Γ. βοήθησε τους φοιτητές να αναγνωρίσουν εικασίες βάσει των κατασκευών τους;

  ii) Η χρήση των Δ.Σ.Γ. βοήθησε στους μαθηματικούς ισχυρισμούς για την απόδειξη των εικασιών και την αιτιολόγησή τους;

Πρόβλημα: Κατασκευάστε έναν χαρταετό και ενώστε τα μέσα των πλευρών του. Τί παρατηρείτε;

Στάδιο πριν την απόδειξη: οι φοιτητές κατασκεύασαν τον χαρταετό ξεκινώντας από ένα τρίγωνο και χρησιμόποιωντας την ιδιότητα της ανάκλασης με άξονα συμμετρίας τη μια πλευρά. Βρήκαν κι ένωσαν τα μέσα των πλευρών, μέτρησαν τα μήκη και έκαναν πειραματισμόυς μετακινώντας τις κορυφές του χαρταετού.

Στάδιο απόδειξης: Με τις μετρήσεις βρήκαν πως σχηματίζεται ορθογώνιο παραλληλόγραμμο. Μετάβαση απ' τον πειραματισμό στους παραγωγικούς συλλογισμούς. Δυνατότητα γενίκευσης.

​

Συμπέρασματα:

1. Τα Δ.Σ.Γ. χρησιμοποιούνται για να ελέγξουν την ορθότητα των εικασιών και παρέχουν ιδέες που μπορούν να οδηγήσουν σε μαθηματική απόδειξη.

2. Με τις κατάλληλες ερωτήσεις οι μαθητές κινητοποιούνται να επιχειρηματολογήσουν για τις εικασίες τους. Με τις μετρήσεις απ' το λογισμικό εξηγούν, προσδιορίζουν και μπορούν να γενικεύσουν τα συμπεράσματά τους.