Alg, GA MOD IV

ÁLGEBRA

MÓDULO IV
FACTORIZACIÓN

​Licda. Mónica Lisbeth Beltrán Ramírez

​Factor común

SITUACION INICIAL

​Factoriza el polinomio:

5y² - 10xy

​Factor común

SOLUCIÓN

​Se debe identificar el factor común en ambos polinomios:

5y² = 5(y)(y) = 5y(y)
10xy = 2(5)(x)(y) = 5y(2x)

Luego, se extrae dicho factor y se utiliza la propiedad distributiva:

5y² - 10xy = 5y(y) - 5y(2x)
= 5y(y - 2x)

​Factor común

CONOCIMIENTO

​Si todos los términos de un polinomio tienen en común un monomio, entonces se extrae este monomio y se factoriza el polinomio, utilizando la propiedad distributiva: ma + mb = m(a + b).

​Factor común

EJEMPLO

​Factoriza el siguiente polinomio: 9x² + 5xy
Solución
Se identifica el factor común en ambos polinomios:

9x² = 9(x)(x) = x(9x)
5xy = 5(x)(y)= x(5y)

Luego, se extrae dicho factor y se utiliza la propiedad distributiva:

9x² +5xy =x(9x) + x(5y)
= x(9x + 5y)

Math Response

Factoriza el polinomio:

2x² + xy

Type answer here

Correct Answer: x\left(2x+y\right)

Deg^°

Rad

​Trinomio Cuadrado Perfecto

SITUACION INICIAL

​Factoriza:

x² - 10x + 25

​Trinomio Cuadrado Perfecto

SOLUCIÓN

​Es un trinomio cuadrado perfecto por las siguientes razones:

a) El término independiente es el cuadrado de un número:

25 es el cuadrado de 5 (5²= 25, y se tiene a = 5).

b) El coeficiente de x es el doble de 5:

2a = 2(5) = 10.

Como el segundo término es negativo, entonces: x² - 10x + 25 = (x - 5)².

​Trinomio Cuadrado Perfecto

CONOCIMIENTO

​El trinomio de la forma x² ± 2ax + a² se llama trinomio cuadrado perfecto. Este se factoriza como el cuadrado de un binomio de acuerdo al signo del segundo término:

x² + 2ax + a²= (x + a)²
x² - 2ax + a²= (x - a)²

Para determinar si un trinomio es trinomio cuadrado perfecto, primero debe comprobarse que el término independiente es el cuadrado de algún número; luego, comprobar que el doble de ese número es igual al coeficiente de la variable de primer grado.

En un trinomio cuadrado perfecto el término independiente nunca es negativo.

​Trinomio Cuadrado Perfecto

EJEMPLO

Factoriza el siguiente trinomio cuadrado perfecto: ​x² + 6x + 9.

Este es un trinomio cuadrado perfecto, pues 9 es el cuadrado de 3, (3² = 9); además el doble de 3 es 6 y es igual al coeficiente de la variable de primer grado x.
Entonces:

x²+ 6x + 9 = x² + 2(3)x + 3²
= (x + 3)².

Math Response

Factoriza el trinomio cuadrado perfecto: $$y^2+14y+49$$

Type answer here

Correct Answer: \left(y+7\right)^2

Deg^°

Rad

Factorización de trinomios de la forma
x² + (a + b)x + ab

SITUACION INICIAL

​Factoriza y² + 13y + 30

​Trinomio Cuadrado Perfecto

SOLUCIÓN

Se deben buscar dos números cuyo producto sea +30 y cuya suma sea +13. Como la suma es positiva, entonces ambos números deben ser positivos:




Por lo tanto, a = 3, b = 10
y²+ 13y + 30 = (y + 3)(y + 10)

​Trinomio Cuadrado Perfecto

CONOCIMIENTO

Para poder factorizar un trinomio en el producto notable (x + a)(x + b) se hace lo siguiente:

1. Los términos del trinomio deben ser x², otro término con parte literal x y el otro sin variable (término independiente).

2. Se buscan dos números cuyo producto sea igual al término independiente y cuya suma sea igual al coeficiente de x, teniendo en cuenta la ley de los signos.

​Trinomio Cuadrado Perfecto

Factoriza el polinomio: x²– 13x + 36
El trinomio cumple las condiciones para factorizarlo en el producto notable (x + a)(x + b). Se buscan dos números cuyo producto sea +36 y cuya suma sea -13. Como la suma es negativa y el producto positivo, ambos números deben ser negativos:





Entonces: x²- 13x + 36 = [x + (-4)][x + (-9)]
= (x - 4)(x - 9)
Por lo tanto, x2 - 13x + 36 = (x - 4)(x - 9)

Math Response

Factoriza:

$$x^2-7x-30$$

Type answer here

Correct Answer: \left(x+3\right)\left(x-10\right)

Deg^°

Rad

Diferencia de cuadrados

SITUACION INICIAL

Factoriza: x² - 9.

​Diferencia de cuadrados

SOLUCIÓN

Para factorizar x² - 9, el término independiente 9 es igual al cuadrado de 3.
Entonces: x²- 9 = x² - 3²

= (x + 3)(x - 3)
Por lo tanto: x² - 9 = (x + 3)(x - 3).

Diferencia de cuadrados

CONOCIMIENTO

Al polinomio de la forma x² - a² se llama diferencia de cuadrados, y se factoriza en el producto notable (x + a)(x - a), es decir:

x² - a² = (x + a)(x - a).

Diferencia de cuadrados

Factoriza: y²– 16

El término independiente 16 es igual al cuadrado de 4.
Entonces: y²- 16= y² - 4²

= (y + 4)(y - 4)
Por lo tanto: y² - 16 = (y + 4)(y - 4).

Math Response

Factoriza: $$x^2-\frac{1}{9}$$

Type answer here

Correct Answer: \left(x+\frac{1}{3}\right)\left(x-\frac{1}{3}\right)

Deg^°

Rad

Método de la tijera

SITUACION INICIAL

Factoriza: x² + 7x + 12

Método de la tijera

SOLUCIÓN

Se descompone el primer término del trinomio en 2 factores (x² = xx). De cada factor sale una punta de la tijera.

Entonces : x² + 7x + 12 = (x +3)(x+4)

Método de la tijera

CONOCIMIENTO

El término independiente se descompone en 2 factores (12 = 3 x 4 = 6 x 2 = 12 x 1 ) a estos factores llegan las puntas de la tijera. El signo del segundo término del trinomio es el signo del segundo término del primer factor binomio y luego el signo en el segundo factor depende del signo del tercer término del trinomio segun la ley de los signos. Si el término independiente del trinomio es negativo entonces el segundo binomio es una resta.
Se multiplica los factores según la tijera. Si la suma es igual al segundo termino del trinomio, se tienen los factores que son las cantidades horizontales de la tijera.

Método de la tijera

Factoriza: y²– y - 20
El término independiente -20 y sus factores son : (10 y 2 ),( 5 y 4), (20 y 1).
Valorando 5 y 4




Entonces: y²- y -20 = (y - 5) (y +4 )

Math Response

Factoriza por medio del método de la tijera:

$$x^2-2x-8$$

Type answer here

Correct Answer: \left(x-4\right)\left(x+2\right)

Deg^°

Rad

¡Aprende más!

Puedes practicar los casos de factorización en el siguiente juego:
https://wordwall.net/play/23771/913/196

Argueta, A., Gómez, J., Herrera, P., (2019). Matemática 8. (2ed.) Esmate MINEDUCYT

Mejia, R., Lemus, M., (2019). Matemática 9. (2ed.) Esmate MINEDUCYT

​Referencia bibliográfica

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