Dados bivariados

Dados Bivariados

Dados Bivariados

Exemplo: Quando um pediatra regista o peso e a altura de um bebé está a recolher dados bivariados de uma mesma unidade estatística.

Dada uma amostra A, de dimensão N ∈ ℕ, de uma população cujos elementos estão numerados de 1 a n, e duas variáveis estatísticas x e y dessa população, a sequência ((x₁,y₁), (x₂,y₂), …, (x_n,y_N)) designa-se por amostra bivariada das variáveis x e y.

Esta amostra tem também dimensão N.

Open Ended

Dê um exemplo de um estudo estatístico com dados bivariados.

Uma amostra bivariada das variáveis x e y pode ser representada graficamente por uma nuvem de pontos (diagrama de dispersão), onde cada elemento (x_i,y_i) da amostra é representado pelo ponto P_i (x_i,y_i) num referencial ortogonal do plano.

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Diagrama de Dispersão

Variável explanatória e variável resposta

Em casos concretos da vida real tem sentido definir uma das variáveis como sendo a variável independente (variável explanatória) e a outra como sendo a variável dependente (variável resposta).
A escolha de qual deve ser a variável exploratória e de qual deve ser a variável resposta deve ser cuidada para que o estudo tenha sentido.

​Exemplo:

Se um estudo pretende averiguar a existência de relação entre as classificações internas, obtidas pelos alunos, numa disciplina, e a classificação obtida no exame nacional, por esses mesmos alunos, a variável explanatória deve ser a classificação interna e a variável resposta a classificação interna dos alunos.

A classificação interna não depende do desempenho do aluno no exame.

O recíproco é expectável.

Open Ended

Considere as seguintes variáveis:

V1: Massa de lixo produzido nos lares de uma cidade

V2: Número de habitantes por lar

Indique, se existe correlação entre as variáveis e, em caso afirmativo, identifique qual será a variável explanatória e qual será a variável resposta.

Associação linear entre duas variáveis

A associação entre duas variáveis pode ser avaliada por análise da forma da nuvem de pontos da amostra bivariada e do coeficiente de correlação linear.

​Se os pontos se encontram dispersos de forma aproximadamente linear, de modo que aos maiores valores da variável 𝑥 correspondem os maiores valores de 𝑦, então o gráfico sugere uma associação linear positiva.

​Se os pontos se encontram dispersos de forma aproximadamente linear, de modo que aos maiores valores da variável x correspondem os menores valores de y, então o gráfico sugere uma associação linear negativa.

Coeficiente de correlação linear

O coeficiente de correlação linear (r) de duas variáveis x e y é dado por:

onde ¯x é a média das observações x₁, …, x_n e ¯y é a média das observações y₁, …, y_n.

Nota: A determinação do valor de r será feito recorrendo à tecnologia.

​Ø Um coeficiente de correlação linear com um valor próximo de 1 indica que as variáveis têm uma associação linear positiva;

​​O coeficiente de correlação linear pertence ao intervalo [-1, 1]

Ø Um coeficiente de correlação linear com um valor próximo de –1 indica que as variáveis têm uma associação linear negativa;

Ø Um coeficiente de correlação linear com um valor próximo de 0 indica que não existe associação linear entre as variáveis.

Multiple Choice

Identifiquei a opção correspondente ao possível valor do coeficiente de correlação linear.

• r=-0,78

• r=1

• r=0,97

• r=0

Draw

Associe a cada diagrama de dispersão o respetivo coeficiente de correlação.

Multiple Choice

Considere os quatro diagramas de dispersão.

• A correlação linear é menor no diagrama I do que no diagrama IV.

• O coeficiente de correlação linear no diagrama I é próximo de 1.

• A correlação linear no diagrama II é positiva.

• O coeficiente de correlação linear existente nos diagramas I e III tem o mesmo sinal.

Reta de Regressão

A reta que melhor se ajusta à nuvem de pontos, minimizando a soma dos quadrados dos desvios verticais dos pontos da nuvem em relação à reta, chama-se reta de regressão (ou reta dos mínimos quadrados).

Caso o diagrama de dispersão mostre uma forte associação linear entre as variáveis, essa associação pode ser descrita pela reta de regressão.

Multiple Choice

O diagrama de dispersão mostra a correlação linear entre o comprimento de um pássaro, em cm, e a sua envergadura de asas, em cm.

Assinale a opção em que poderão estar representados o valor de r e uma equação da reta de regressão linear da distribuição representada.

• r=-0,96 e y=1,488x+3,016

• r=0,96 e y=-1,488x-3,016

• r=-0,1 e y=-1,488x+3,016

• r=0,96 e y=1,488x+3,016

Multiple Choice

Relativamente a um modelo de uma marca automóvel, considere as variáveis: 

V1: Valor comercial do automóvel

V2: N.° de anos do automóvel 

Feita a recolha de dados, pretende-se averiguar o efeito do número de anos do automóvel no seu valor comercial.

• A variável explanatória é o valor comercial do carro.

• É esperado que exista uma correlação negativa entre as variáveis.

• Não é esperado existir correlação entre as variáveis.

• A reta de regressão y=ax+b ajustada à núvem de pontos tem declive positivo.

Open Ended

Considere uma amostra bivariada de dados cuja reta dos mínimos quadrados é definida pela equação y=3x-5.

Indique, justificando, qual dos valores r1=-0,5, r2=2,1 e r3=0,75 pode corresponder ao coeficiente de correlação linear desta amostra.

Reta de Regressão e Calculadora Gráfica

Selecione a sua calculadora para ver o vídeo:

• TI-Nspire

• CASIO FX CG50

• Numworks

Multiple Choice

De uma amostra bivariada de dados ((20,30); (34, 40); (36,50); (40,56)), podemos afirmar que o seu coeficiente de correlação linear é, aproximadamente:

• r=0,94

• r=1,2

• r=-0,4

• r=0,79

Multiple Choice

Consideremos a amostra bivariada de dados ((21; 12,1); (22; 11,5); (23; 8,7); (24; 7,5); (25; 8,2)) e a reta de regressão de equação y=ax+b.

Os valores dos parâmetros a e b, arredondados às centésimas são:

• a=-1,15

  b=2,54

• a=11,25

  b=9,61

• a=-1,18

  b=36,74

• a=23,45

  b=9,64

Multiple Choice

Considere a amostra de dados bivariados em que x representa as "despesas em atividades de inovação e desenvolvimento", em milhares de milhões de euros, e y o "número de patentes concedidas". Supondo que as variáveis têm uma associação linear forte e que a reta de regressão tem equação y=0,35x+307, o número esperado de patentes num ano em que se gastam 15 mil milhões de euros é, aproximadamente, igual a:

• 15000000

• 307

• 5250307

• 312

Open Ended

Um grupo de rapazes andou de bicicleta durante uma hora. No final, recorrendo a alguns elementos desse grupo, construiu‑se uma tabela.

A partir dos dados da tabela, obteve‑se um modelo de regressão linear, de y sobre x , em que x representa a massa corporal e y o número de calorias gastas.

O João fez parte do grupo e tem de massa corporal de 68 kg .

Utilizando a calculadora gráfica e recorrendo ao modelo de regressão linear faça uma estimativa do número de calorias gastas pelo João. Apresente o resultado arredondado às unidades.