Presentasi Turunan

TURUNAN DAN
PENERAPANNYA

UNIVERSITAS

MATARAM

DOSEN PRAKTISI
Bayu Gunarto, S.Pd

Pertemuan 4, Rabu, 20 November 2024

Ratna Yulis Tyaningsih S.Pd., M.Pd

DOSEN PENGAMPU

Multiple Choice

Untuk merebus 2 butir telur sampai matang di butuhkan waktu 10 menit. Berapa menit waktu yang diperlukan untuk merebut 5 butir telur?

• 5

• 10

• 15

• 25

Konsep Turunan

01. Turunan di Satu Titik

𝑠𝑏. 𝑦

𝑠𝑏. 𝑥

𝑦 = 𝑓(𝑥)

𝑥

𝑓(𝑥)

(𝑥, 𝑓 𝑥 )

ℎ

𝑥 + ℎ

𝑓(𝑥 + ℎ)
( , 𝑥 + ℎ , 𝑓 𝑥 + ℎ )

𝑚 = ∆𝑦

∆𝑥
= 𝑓 𝑥 + ℎ − 𝑓(𝑥)

ℎ

ℎ → 0

𝑚 = lim

ℎ→0

∆𝑦
∆𝑥
= lim

ℎ→0

𝑓 𝑥 + ℎ − 𝑓(𝑥)

ℎ

𝑚 = 𝑓′𝑥 = ∆𝑦

∆𝑥

𝑓′𝑥 = lim

ℎ→0

𝑓 𝑥 + ℎ − 𝑓(𝑥)

ℎ

Defenisi

Turunan pertama fungsi 𝑓 di titik 𝑥, dinotasikan 𝑓′(𝑥)

Notasi Lain

𝑑𝑓(𝑥)

𝑑𝑥
; 𝑑𝑦
𝑑𝑥 ; 𝑦′(𝑥)

Konsep Turunan

01. Turunan di Satu Titik

𝑓′𝑥 = lim

ℎ→0

𝑓 𝑥 + ℎ − 𝑓(𝑥)

ℎ

❖ Contoh 1

Tentukan turunan pertama fungsi 𝑓 𝑥 = 8𝑥 + 7
menggunakan defenisi turunan.

✓ Penyelesaian

𝑓′𝑥 = lim

ℎ→0

8 𝑥 + ℎ + 7 − (8𝑥 + 7)

ℎ

𝑓′𝑥 = lim

ℎ→0

8𝑥 + 8ℎ + 7 − 8𝑥 − 7)

ℎ

𝑓′𝑥 = lim

ℎ→0

8𝑥 + 8ℎ + 7 − 8𝑥 − 7)

ℎ

𝑓′𝑥 = lim

ℎ→0

8ℎ
ℎ

𝑓′𝑥 = 8

𝑓′𝑥 = lim

ℎ→0

𝑓 𝑥 + ℎ − 𝑓(𝑥)

ℎ

❖ Contoh 2

Tentukan turunan pertama fungsi 𝑓 𝑥 = 𝑥2
menggunakan defenisi turunan.

✓ Penyelesaian

𝑓′𝑥 = lim

ℎ→0

(𝑥 + ℎ)2−𝑥2

ℎ

𝑓′𝑥 = lim

ℎ→0

𝑥2+ 2ℎ𝑥 + ℎ2− 𝑥2

ℎ

𝑓′𝑥 = lim

ℎ→0

2ℎ𝑥 + ℎ2

ℎ

𝑓′𝑥 = lim

ℎ→0

2𝑥 + ℎ ℎ

ℎ

𝑓′𝑥 = lim

ℎ→02𝑥 + ℎ

𝑓′𝑥 = 2𝑥 + 0

𝑓′𝑥 = 2𝑥

𝑓′𝑥 = lim

ℎ→0

𝑓 𝑥 + ℎ − 𝑓(𝑥)

ℎ

❖ Contoh 3

Diberikan 𝑓 𝑥 = 𝑥2− 4𝑥 + 3. Tentukan

𝑑𝑓(4)

𝑑𝑥menggunakan

defenisi turunan.

✓ Penyelesaian

𝑓′𝑥 = lim

ℎ→0

[(𝑥 + ℎ)2−4 𝑥 + ℎ + 3] − (𝑥2− 4𝑥 + 3)

ℎ

𝑓′𝑥 = lim

ℎ→0

𝑥2+ 2ℎ𝑥 + ℎ2− 4𝑥 − 4ℎ + 3 − 𝑥2+ 4𝑥 − 3

ℎ

𝑓′𝑥 = lim

ℎ→0

2ℎ𝑥 + ℎ2− 4ℎ

ℎ

𝑓′𝑥 = lim

ℎ→0

2𝑥 + ℎ − 4 ℎ

ℎ

𝑓′𝑥 = lim

ℎ→02𝑥 + ℎ − 4

𝑓′𝑥 = 2𝑥 + 0 − 4

𝑓′𝑥 = 2𝑥 − 4

𝑠𝑢𝑏𝑠𝑡𝑖𝑡𝑢𝑠𝑖 𝑥 = 4 𝑘𝑒 𝑓′(𝑥)

𝑓′4 = 2(4) − 4

𝑓′4 = 4

𝑓′𝑥 = lim

ℎ→0

𝑓 𝑥 + ℎ − 𝑓(𝑥)

ℎ

❖ Contoh 4

Diberikan 𝑓 𝑥 = 5𝑥2+ 3.
Tentukan 𝑓′𝑥 menggunakan defenisi turunan.

✓ Penyelesaian

𝑓′𝑥 = lim

ℎ→0

[5(𝑥 + ℎ)2+3] − (5𝑥2+ 3)

ℎ

𝑓′𝑥 = lim

ℎ→0

5 𝑥2+ 2ℎ𝑥 + ℎ2+ 3 − (5𝑥2+3)

ℎ

𝑓′𝑥 = lim

ℎ→0

5𝑥2+ 10ℎ𝑥 + 5ℎ2+ 3 − 5𝑥2− 3)

ℎ

𝑓′𝑥 = lim

ℎ→0

10ℎ𝑥 + 5ℎ2

ℎ

𝑓′𝑥 = lim

ℎ→0

10𝑥 + 5ℎ ℎ

ℎ

𝑓′𝑥 = lim

ℎ→010𝑥 + 5ℎ

𝑓′𝑥 = 10𝑥 + 5(0)

𝑓′𝑥 = 10𝑥

❑ Rumus Dasar Turunan Pertama Fungsi Aljabar

𝑓′𝑥 = 𝑛𝑎𝑥𝑛−1

❖ Contoh 1

Tentukan turunan pertama fungsi-fungsi berikut :

𝑎)𝑓 𝑥 = 6𝑥3− 3𝑥2+ 4𝑥 + 7

𝑏) 𝑓 𝑥 = 1

2 𝑥4 − 2

3 𝑥3 + 5𝑥 − 9

✓ Penyelesaian

𝑎)𝑓 𝑥 = 6𝑥3− 3𝑥2+ 4𝑥 + 7

𝑓′𝑥 = 6.3𝑥3−1− 2.3𝑥2−1+ 4𝑥1−1+ 0.7𝑥0−1

𝑓′𝑥 = 18𝑥2− 6𝑥1+ 4𝑥0+ 0

𝑓′𝑥 = 18𝑥2− 6𝑥 + 4

𝑏) 𝑓 𝑥 = 1

2 𝑥4 − 2

3 𝑥3 + 5𝑥 − 9

𝑓′ 𝑥 = 2𝑥3− 6𝑥2+ 5

𝑓′(𝑥) = 4. 1

2 𝑥4−1 − 3. 2

3 𝑥2−1 + 1.5𝑥1−1 − 0.9𝑥0−1

𝑓 𝑥 = 𝑐

𝑓 𝑥 = 0;𝑐 = 𝑘𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑎

𝑓 𝑥 = 𝑎𝑥𝑛

❑ Rumus Dasar Turunan Pertama Fungsi Aljabar

❖ Contoh 2

Diketahui 𝑓 𝑥 = 3𝑥2+ 9

3 𝑥2 −

2
𝑥3

Tentukan nilai 𝑓′(1)

✓ Penyelesaian

𝑓 𝑥 = 3𝑥2+ 9

3 𝑥2 − 2

𝑥3

𝑓 𝑥 =3𝑥2+ 9𝑥

2
3 − 2𝑥−3

𝑓′𝑥 = 6𝑥 + 18

3 𝑥−1

3 + 6𝑥−4

𝑓′𝑥 = 6𝑥 + 6

𝑥

1
3

+ 6

𝑥4

𝑓′𝑥 = 6𝑥 +6

3 𝑥 + 6

𝑥4

Substitusi𝑥 = 1

𝑓′1 = 6(1) +6

3 1

+6

14

𝑓′1 = 6(1) +6

3 1

+6

14

𝑓′1 = 18

❑ Sifat – Sifat Turunan Fungsi Aljabar

𝑦 = 𝑢 ± 𝑣

𝑦′ = 𝑢′ ± 𝑣′

𝑦 = 𝑢 . 𝑣

𝑦′= 𝑢′. 𝑣 + 𝑢. 𝑣′

𝑦 = 𝑢

𝑣
𝑦′ = 𝑢′. 𝑣 − 𝑢. 𝑣′

𝑣2

𝑦 = 𝑘. 𝑢

𝑦′ = 𝑘. 𝑢′

❖ Contoh

Tentukan turunan pertama dari fungsi-fungsi berikut :
Jika diketahui dua fungsi 𝑢 = 𝑎𝑥𝑛+ 𝑏 dan
𝑣 = 𝑝𝑥𝑛+ 𝑞, maka berlaku :

𝑎)(2𝑥 + 1)(6 − 𝑥2)

✓ Penyelesaian

Misal :

𝑢 = (2𝑥 + 1)

𝑢′ = 2

𝑣 = (6− 𝑥2)

𝑣′ = −2𝑥

𝑦 = 𝑢. 𝑣

𝑦′= 𝑢′. 𝑣 + 𝑢. 𝑣′

𝑦′= 2 6 − 𝑥2+ (2𝑥 + 1)(−2𝑥)

𝑦′= 12 − 2𝑥2− 4𝑥2− 2𝑥

𝑦′= −6𝑥2− 2𝑥 + 12

❖ Contoh

Tentukan turunan pertama dari fungsi-fungsi berikut :

𝑓 𝑥 =3𝑥2

𝑥 + 2

✓ Penyelesaian

Misal :

𝑢 = 3𝑥2
𝑢′ = 6𝑥

𝑣 = (𝑥 + 2)
𝑣′ = 1

𝑦 = 𝑢

𝑣

𝑦′= 𝑢′. 𝑣 − 𝑢. 𝑣′

𝑣2

𝑦′= 6𝑥 𝑥 + 2 − (3𝑥2)(1)

(𝑥 + 2)2

𝑦′=6𝑥2 + 12𝑥 − 3𝑥2

𝑥2+ 4𝑥 + 4

𝑦′= 3𝑥2 + 12𝑥

𝑥2+ 4𝑥 + 4

❑ Aturan Rantai – Turunan Fungsi

𝑑𝑦
𝑑𝑥 = 𝑑𝑦

𝑑𝑢 . 𝑑𝑢

𝑑𝑥

❖ Contoh 1

Tentukan turunan pertama dari fungsi-fungsi berikut :
𝑦 = 2𝑥2− 25

✓ Penyelesaian

Misal : 𝑢 = 2𝑥2− 2

𝑑𝑢
𝑑𝑥= 4𝑥

𝑦 = 𝑢5

𝑑𝑦
𝑑𝑢 = 5𝑢4

𝑑𝑦
𝑑𝑥 = 𝑑𝑦

𝑑𝑢 . 𝑑𝑢

𝑑𝑥

𝑑𝑦
𝑑𝑥= 5𝑢4. 4𝑥

𝑑𝑦
𝑑𝑥= 5 2𝑥2 − 2

4. 4𝑥

𝑑𝑦
𝑑𝑥 = 20𝑥 2𝑥2 − 2

4

❑ Aturan Rantai – Turunan Fungsi

❖ Contoh 2

Tentukan turunan pertama dari fungsi-fungsi berikut :
𝑦 = 3 𝑥 − 2𝑥2 4

✓ Penyelesaian

Misal : 𝑢 = 3 𝑥 − 2𝑥2

𝑑𝑢
𝑑𝑥= 3

2𝑥−1

2 − 4𝑥

𝑦 = 𝑢4

𝑑𝑦
𝑑𝑢 = 4𝑢3

𝑑𝑦
𝑑𝑥 = 𝑑𝑦

𝑑𝑢 . 𝑑𝑢

𝑑𝑥

𝑑𝑦
𝑑𝑥 = 4𝑢3.
3

2 𝑥 − 4𝑥

𝑑𝑦
𝑑𝑥= 4(3 𝑥 − 2𝑥2)3.
3

2 𝑥− 4𝑥

𝑢 = 3𝑥

1
2 − 2𝑥2

𝑑𝑢
𝑑𝑥 =
3

2 𝑥 − 4𝑥

❑ Aturan Rantai – Turunan Fungsi

❖ Contoh 1

Tentukan turunan pertama dari fungsi-fungsi berikut :
𝑦 = 2𝑥2− 25

✓ Penyelesaian

𝑦 = 𝑢5

𝑦 = 𝑢𝑛⇒𝑦′= 𝑛. 𝑢𝑛−1. 𝑢′

𝑦′= 5𝑢4. 𝑢′

Misal :

𝑢 = 2𝑥2− 2

𝑢′ = 4𝑥

𝑦′= 5 2𝑥2− 2

4. 4𝑥

𝑦′= 20𝑥 2𝑥2− 2

4

❖ Contoh 2

Tentukan turunan pertama dari fungsi-fungsi berikut :
𝑦 = 3 𝑥 − 2𝑥2 4

✓ Penyelesaian

Misal : 𝑢 = 3 𝑥 − 2𝑥2

𝑢 = 3𝑥

1
2 − 2𝑥2

𝑦 = 𝑢4⇒ 𝑦′= 4𝑢3. 𝑢′

⇒ 𝑢′= 3

2 𝑥−1

2 − 4𝑥

𝑢′ =
3

2 𝑥− 4𝑥

𝑦′= 4 3 𝑥 − 2𝑥2 3.
3

2 𝑥 − 4𝑥

❖ Contoh 3 :

Jika 𝑦′ turunan pertama dari 𝑦 =

3 6𝑥2 + 3.

Tentukan nilai dari 𝑦′2 .

✓ Penyelesaian :

𝑦 =

3 6𝑥2 + 3
⇒ 𝑦 = 6𝑥2+ 3
ൗ
1 3

𝑦 = 6𝑥2+ 3
ൗ
1 3

𝑦 = 𝑢𝑛

⇒ 𝑦′= 𝑛. 𝑢𝑛−1. 𝑢′

𝑦′= 1

3 . 6𝑥2 + 3 −2

3. 12𝑥

𝑢 = 6𝑥2+ 3

⇒ 𝑢′ = 12𝑥

𝑦′= 1

3 . 6𝑥2 + 3 −2

3. 12𝑥

𝑦′= 4𝑥. 6𝑥2+ 3−2

3

𝑦′=
4𝑥

6𝑥2+ 3

2
3

Subtitusi nilai 𝑥 = 2

𝑦′= 1

3. 6(22) + 3 −2

3. 12.2

𝑦′= 8 27−2

3.
=
8

33

2
3

= 8

9

𝑦′=
4(2)

6(2)2+3

2
3

=
8

27

2
3

= 8

9

Multiple Choice

Tentukan Hasil dari turunan $$y=3x^2-6x$$

• y=6x-6

• y=6x

• y=6

• y=0

Terima Kasih