Подготовка к аттестации по геометрии

Multiple Choice

Задание 1
В окружность вписан правильный шестиугольник. Найдите величину угла ∠AOB, где O — центр окружности, а A и B — соседние вершины шестиугольника.

• 30°
• 90°
• 120°
• 60°

Multiple Choice

Задание 2
Чему равна дуга окружности (в градусах), стягиваемая стороной правильного пятиугольника? Выберите верный ответ.

• 60°
• 108°
• 72°
• 90°

Multiple Choice

Задание 3
Чему равна длина окружности, если её диаметр равен 8 см? Выберите верный ответ.

• 8π

• 12π

• 16π

• 24π

Multiple Choice

Задание 4
Дополните утверждение, выбрав верный ответ.

Сумма углов правильного семиугольника равна...

• 720°
• 900°
• 1080°
• 540°

Multiple Choice

Задание 5
Дополните утверждение, выбрав верный ответ.
Если диаметр окружности равен 10 см, то площадь круга равна...

• 25π

• 50π

• 20π

• 40π

Multiple Choice

Задание 6
Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 8. Угол при вершине, противолежащий основанию, равен 120∘. Найдите диаметр окружности, описанной около этого треугольника. Впишите ответ.

• 2

• 8

• 16

• 32

Multiple Choice

Задание 7
Радиус окружности, описанной около квадрата, равен 15√2 . Найдите длину стороны этого квадрата. Впишите ответ.

• 15

• 20
• 30

• 25

Multiple Choice

Задание 8

Какое из уравнений задаёт окружность, проходящую через точку B(2;−4)? Укажите верный ответ.

• A

  $$\left(x+2\right)^2+\left(y-2\right)^2=8$$

• В

  $$\left(x-1\right)^2+\left(y+3\right)^2=20$$

• С

  $$\left(x-2\right)^2+\left(y+4\right)^2=1$$

• D

  $$\left(x-2\right)^2+\left(y+4\right)^2=0$$

Multiple Choice

Задание 9
Сторона AB треугольника ABC проходит через центр описанной около него окружности. Найдите ∠B, если ∠A=50⁰ . Ответ дайте в градусах.

• 40
• 70
• 60
• 30

Multiple Choice

Задание 10

Какое из уравнений задаёт прямую, проходящую через начало координат и точку P(3;6)? Укажите верный ответ.

• A:
  2x+y=0

• B:
  2x+y+16=0

• C:
  x−0.5y=0

• D:
  x+2y=0

Multiple Choice

Задание 11

В какой точке пересекаются прямые 3x−4y+12=0 и x+2y−6=0? В ответе укажите произведение координат. Впишите ответ.

• -12
• 6
• 4
• 0

Multiple Choice

Задание 12

Окружность вписана в квадрат со стороной 25 см. Найдите её длину в сантиметрах. Воспользуйтесь значением π = 3.14. Впишите ответ.

• 78.5
• 82.5
• 80.0
• 75.0

Multiple Select

Задание 13
Укажите верные ответы. Какие преобразования не являются движениями ?

• гомотетия

• гомотетия с коэффициентом k=1

• поворот на 90

• симметрия относительно оси Oy

• подобие

​Движение — это преобразование, которое сохраняет расстояние между точками. Примеры движений:

• Параллельный перенос.

• Поворот.

• Симметрия относительно прямой или точки.

• Композиция этих преобразований.

Анализ каждого преобразования

1. Гомотетия

Гомотетия — это преобразование, которое изменяет размеры фигур, сохраняя их форму. Она не сохраняет расстояния между точками (кроме случая k = 1 ). Не является движением, если k ≠ 1

2. Гомотетия с коэффициентом k = 1

Если коэффициент гомотетии равен 1 , то фигура не меняется в размерах и форма остаётся прежней. Это эквивалентно тождественному преобразованию, которое сохраняет расстояния. - Является движением.

3. Подобие с коэффициентом 1

Подобие с коэффициентом 1 означает, что фигуры одинаковые по размеру и форме. Это также эквивалентно тождественному преобразованию, которое сохраняет расстояния. - Является движением.

4. Симметрия относительно координатной прямой

Симметрия относительно прямой сохраняет расстояния между точками. Например, симметрия относительно оси Oy или любой другой прямой — это движение. - Является движением.

5. Подобие

Подобие — это преобразование, которое сохраняет углы, но может изменять размеры фигур. Если коэффициент подобия k ≠ 1 , то расстояния между точками изменяются. - Не является движением, если k ≠ 1.

6. Симметрия относительно точки

Симметрия относительно точки сохраняет расстояния между точками. Например, симметрия относительно начала координат — это движение. - Является движением.

Multiple Choice

Задание 14

Найдите площадь круга, в который можно вписать квадрат со стороной 8см. Укажите верный ответ.

• 16π см²
• 40π см²
• 32π см²
• 24π см²

Multiple Choice

Задание 15
При повороте на какой угол относительно точки пересечения диагоналей квадрата он перейдёт в себя? Укажите верный ответ.

• 90 градусов
• 270 градусов
• 180 градусов
• 45 градусов

​Шаг 1: Свойства фигуры

- Квадрат — это особый случай ромба, у которого все стороны равны и углы прямые.

- Диагонали квадрата пересекаются под прямым углом и делятся пополам.

- Точка пересечения диагоналей является центром симметрии квадрата.

Шаг 2: Поворот вокруг центра симметрии

- При повороте квадрата вокруг его центра симметрии он будет совпадать сам с собой через определённые углы.

- Эти углы должны быть кратными углу полного оборота, делённого на число симметрий фигуры.

- Квадрат имеет четыре симметричных положения при повороте. Это означает, что он совпадёт сам с собой при поворотах на углы: 90, 180, 270, 360

Шаг 3: Выбор минимального положительного угла

- Наименьший положительный угол, при котором квадрат совпадёт сам с собой, равен 90

Шаг 4: Отрицательные углы

- Отрицательные углы также могут быть рассмотрены. Например, поворот на -90 эквивалентен повороту на 270 так как:

Однако в данном случае мы выбираем минимальный положительный угол, который соответствует варианту 90