System of Particles & Rotational Motion

​System of Particles and Rotational Motion

By Utkersh Bora

Rigid Body

A rigid body is an idealization where the distance between any two particles of the body remains constant, regardless of external forces. In reality, no body is perfectly rigid, but for most practical problems, deformation can be ignored.
एक कठोर पिंड एक आदर्श स्थिति है जिसमें पिंड के किसी भी दो कणों के बीच की दूरी बाहरी बलों के बावजूद स्थिर रहती है। वास्तविकता में कोई भी पिंड पूर्णतया कठोर नहीं होता, लेकिन अधिकतर परिस्थितियों में विकृति को नज़रअंदाज़ किया जा सकता है।

Types of Motion of a Rigid Body

A rigid body can have the following types of motion:

1. Pure Translational Motion – All particles have the same displacement in the same direction.

2. Pure Rotational Motion – The body rotates about a fixed axis, each point moves in a circle around the axis.

3. Combination of Translation and Rotation – Seen in rolling motion.

4. Precession – A slow rotation of the axis of a spinning object around another axis due to an external torque (e.g., spinning top).

कठोर पिंड में निम्न प्रकार की गतियाँ हो सकती हैं:

1. शुद्ध सरणी गति – सभी कण एक ही दिशा में समान विस्थापन करते हैं।

2. शुद्ध घूर्णन गति – पिंड किसी स्थिर अक्ष के चारों ओर घूमता है, प्रत्येक बिंदु अक्ष के चारों ओर वृत्त में चलता है।

3. सरणी और घूर्णन का संयोजन – लुढ़कने वाली गति में देखा जाता है।

4. प्रेसेशन (Precession) – घूमते हुए पिंड के अक्ष का किसी अन्य अक्ष के चारों ओर धीमा घूर्णन, जो बाहरी आघूर्ण के कारण होता है (जैसे घूमता हुआ लट्टू)।

Multiple Choice

Which statement is correct for a rigid body?
कठोर पिंड के लिए कौन-सा कथन सही है?

• Distance between particles changes
  कणों के बीच की दूरी बदलती है

• Distance between particles remains constant
  कणों के बीच की दूरी स्थिर रहती है

• Shape changes under force
  बल लगने पर आकार बदलता है

• Perfect rigidity exists in reality
  वास्तविकता में पूर्ण कठोरता मौजूद होती है

Multiple Choice

In real life, perfectly rigid bodies exist. True or False?
वास्तविक जीवन में पूर्णतया कठोर पिंड मौजूद होते हैं। सही या गलत?

• True सही

• False गलत

Multiple Choice

In pure translational motion, the displacement of all particles is:
शुद्ध सरणी गति में सभी कणों का विस्थापन होता है:

• Same समान

• Different भिन्न

• Rotational घूर्णनात्मक

• Zero शून्य

Multiple Choice

A rolling ball on the ground shows:
जमीन पर लुढ़कती हुई गेंद दर्शाती है:

• Pure rotation शुद्ध घूर्णन

• Pure translation शुद्ध सरणी गति

• Combination of rotation and translation घूर्णन और सरणी गति का संयोजन

• Vibratory motion स्पंदन गति

Centre of Mass (COM)

The Centre of Mass (COM) of a system of particles is a point where the entire mass of the system can be considered to be concentrated for the purpose of studying translational motion.
द्रव्यमान केंद्र (COM) किसी कण समूह का वह बिंदु है जहाँ पूरे पिंड का द्रव्यमान संकेन्द्रित मानकर उसकी सरणी गति का अध्ययन किया जा सकता है।

​Key Points / मुख्य बिंदु:

• Depends only on mass distribution.

• Can lie inside or outside the object.

• Moves as if the entire mass were at COM.

Multiple Choice

The COM of two equal masses placed symmetrically about the origin is at:
दो समान द्रव्यमान जो मूल के चारों ओर सममित रूप से रखे हों, उनका COM कहाँ होगा?

• At one mass एक द्रव्यमान पर

• At the origin मूल पर

• Between them but closer to one mass बीच में, लेकिन एक द्रव्यमान के पास

• Cannot be determined निर्धारित नहीं किया जा सकता

Multiple Choice

Which of the following affects the position of COM?
निम्न में से कौन-सा COM की स्थिति को प्रभावित करता है?

• Shape only केवल आकार

• Mass distribution द्रव्यमान का वितरण

• Colour रंग

• Material only केवल पदार्थ

Motion of Centre of Mass

The motion of the COM is governed by:

F_ext=Ma_CM

where F_ext​ is the net external force, M is the total mass, and a_CM is the acceleration of COM.
Internal forces do not affect COM motion.
द्रव्यमान केंद्र की गति निम्न समीकरण से नियंत्रित होती है:

F_ext=Ma_CM

जहाँ F_ext कुल बाहरी बल है, MMM कुल द्रव्यमान है, और a_CM COM का त्वरण है।
आंतरिक बल COM की गति को प्रभावित नहीं करते।

Multiple Choice

The velocity of COM changes only when:
COM का वेग बदलता है केवल जब:

• Internal forces act आंतरिक बल लगते हैं

• External forces act बाहरी बल लगते हैं

• Both internal and external forces act दोनों बल लगते हैं

• Never changes कभी नहीं बदलता

Torque (Moment of Force)

Torque is the turning effect of a force about an axis: Here, r is the distance from the axis to the point of application, F is force, and θ is the angle between them.



आघूर्ण किसी बल का किसी अक्ष के चारों ओर घुमाने वाला प्रभाव है:

यहाँ r अक्ष से बल के लगने के बिंदु तक की दूरी है, F बल है, और θ उनके बीच का कोण है।

​Moment of Inertia (MI)

Moment of Inertia measures how much a body resists angular acceleration:

It depends on:

• Mass

• Mass distribution

• Shape and size

• Axis of rotation

जड़त्व आघूर्ण यह मापता है कि कोई पिंड कोणीय त्वरण का कितना प्रतिरोध करता है:

यह निर्भर करता है:

• द्रव्यमान

• द्रव्यमान का वितरण

• आकार और आकारिकी

• घूर्णन का अक्ष

Multiple Choice

Torque becomes zero when:
आघूर्ण शून्य होता है जब:

• Force is zero बल शून्य हो

• r = 0

• θ = 0°

• All of the above उपरोक्त सभी

Multiple Choice

MI increases if:
जड़त्व आघूर्ण बढ़ता है यदि:

• Mass is moved away from axis द्रव्यमान अक्ष से दूर ले जाया जाए

• Mass is near axis द्रव्यमान अक्ष के पास हो

• Shape changes without shifting mass द्रव्यमान बदले बिना आकार बदले

• Colour changes रंग बदले

Angular Momentum (कोणीय संवेग)

Angular momentum (L) of a particle is defined as the cross product of its position vector (r) and linear momentum (p):

Where:

• I = Moment of Inertia (जड़त्व आघूर्ण)

• ω = Angular velocity (कोणीय वेग)

Conservation of Angular Momentum:
If the net external torque on a system is zero, the angular momentum remains constant. SI unit = Kg m²/s
किसी कण का कोणीय संवेग (L) उसकी स्थिति सदिश (r) और रैखिक संवेग (p) का क्रॉस गुणनफल होता है:

कोणीय संवेग का संरक्षण सिद्धांत:
यदि किसी प्रणाली पर कुल बाहरी आघूर्ण शून्य हो, तो कोणीय संवेग स्थिर रहता है।

Multiple Choice

What is the SI unit of angular momentum?
कोणीय संवेग की SI इकाई क्या है?

• Kg m²/s

• Kg m/s

• N-m

• Joule

Multiple Choice

A figure skater pulls in her arms while spinning. What happens to her angular velocity?
एक स्केटर घूमते समय अपने हाथ अंदर की ओर खींचती है। उसकी कोणीय वेग में क्या परिवर्तन होता है?

• Increases — बढ़ता है

• Decreases — घटता है

• Remains same — समान रहता है

• Becomes zero — शून्य हो जाता है