Geometria: introduzione

​Geometria

By Sara FERRARI

Introduzione

La parte della matematica che si occupa di studiare le proprietà delle figure dello spazio si chiama geometria ed è una scienza antichissima.

La geometria si occupa di studiare le relazioni fra enti geometrici, cioè oggetti

ideali che rappresentano aspetti della realtà.

Introduzione

La geometria fondata su definizioni, enti primitivi, assiomi e teoremi trovò la sua prima sistemazione nell’opera di Euclide, un matematico greco del III secolo a.C.; per questo motivo si indica come geometria euclidea.

Multiple Choice

In geometria si suppone di dare come noti i termini punto, retta, piano.

Questi ultimi sono detti:

• Postulati base

• Enti Primitivi

• Enti base

• Postulati primitivi

Multiple Select

In geometria ci sono alcune proprietà che sono accettate come vere a priori.

Esse prendono il nome di:

• Postulati

• Assiomi

• Teoremi

Postulati di appartenenza

1. Ogni coppia di punti distinti dello spazio appartiene ad una e una sola retta.

2. Data una retta r, esiste almeno un punto che non appartiene a r.

3. Tre punti distinti e non allineati appartengono ad uno e un solo piano.

4. Se due punti di una retta appartengono ad un piano, la retta giace interamente sul piano.

5. Il piano contiene infiniti punti e infinite rette.

6. Dato un piano α, esiste almeno un punto che non appartiene a α.

7. Lo spazio contiene infiniti punti, infinite rette e infiniti piani.

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Definizione: Tre o più punti che appartengono alla stessa retta si dicono

Definizione: figura geometrica

Si dice figura geometrica un qualunque insieme di punti dello spazio.
Una figura che appartiene ad un piano si chiama figura piana, altrimenti si chiama figura solida.

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Definizione: Due rette che appartengono allo stesso piano si dicono

Ricapitolando...

Definizioni

PUNTI ALLINEATI: Tre o più punti sono allineati se appartengono ad una stessa retta.

FIGURA GEOMETRICA: Si dice figura geometrica un qualunque insieme di punti dello spazio. Una figura che appartiene ad un piano si chiama figura piana, altrimenti si chiama figura solida.

RETTE COMPLANARI: Due rette che appartengono allo stesso piano si dicono complanari.

Rette coincidenti, incidenti e parallele

Due rette che hanno in comune due punti sono la stessa retta. Si dicono, quindi, coincidenti.

Se le due rette sono distinte abbiamo due possibili casi:

▶ le rette hanno un solo punto di intersezione e si dicono incidenti;

▶ le rette non hanno alcun punto di intersezione e si dicono parallele.

Multiple Choice

Le rette nell'immagine sono:

• coincidenti

• incidenti

• parallele

Multiple Choice

Le rette nell'immagine sono:

• coincidenti

• incidenti

• parallele

Multiple Choice

Le rette nell'immagine sono:

• coincidenti

• incidenti

• parallele

​Ricapitolando

Due rette che hanno in comune due punti sono la stessa retta. Si dicono, quindi, coincidenti.

Se le due rette sono distinte abbiamo due possibili casi:

▶ le rette hanno un solo punto di intersezione e si dicono incidenti;

▶ le rette non hanno alcun punto di intersezione e si dicono parallele.

​Postulati d'ordine

Una retta su cui è fissato un verso di percorrenza si dice orientata.

Presi due suoi punti distinti A e B, diciamo che A precede B, se percorrendo la retta nella direzione data, incontriamo prima A e poi B.

POSTULATI D’ORDINE

1. Se A e B sono due punti distinti di una retta, o A precede B, o B

precede A.

2. Se A precede B e B precede C, allora A precede C.

3. Preso un punto A su una retta, c’è almeno un punto che precede

A e uno che segue A.

4. Presi due punti B e C su una retta, con B che precede C, c’è

almeno un punto A della retta che segue B e precede C.

Multiple Choice

Stabilisci che ente fondamentale corrisponde la seguente definizione:

Data una retta orientata e fissato un punto O su di essa, si chiama ............ l’insieme dei punti formato da O e da tutti quelli che lo seguono, oppure l’insieme formato da O e da tutti quelli che lo precedono.

• segmento

• semiretta

• retta

Multiple Choice

Stabilisci che ente fondamentale corrisponde la seguente definizione:

Data una retta orientata e due suoi punti A e B, con A che precede B, chiamiamo ................... AB

l’insieme dei punti della retta formato da A, da B e dai punti che seguono A e precedono B.

• segmento

• semiretta

​Enti fondamentali: il segmento

Due segmenti sono consecutivi se hanno in comune soltanto un estremo.

Due segmenti sono adiacenti se sono consecutivi e appartengono alla stessa retta.

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Completa:

Si dice

una figura costituita da un insieme ordinato di segmenti in cui un segmento e il suo

successivo sono sempre consecutivi.

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Completa:

Data una retta r su un piano α, si dice

di origine r

ciascuna delle due regioni individuate da r su α.

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Completa:

Si chiama

ciascuna delle due parti in cui due semirette con

l’origine in comune dividono il piano.

​Enti fondamentali: angolo

Un angolo si dice concavo se contiene i prolungamenti dei suoi lati; si dice convesso se non li contiene.

Per indicare un angolo di vertice V e con lati le semirette a e b, usiamo il simbolo ^.

Un angolo si indica anche con una lettera greca: α, β, . . . .

​Enti fondamentali: angolo

Due angoli sono consecutivi se hanno il vertice ed un lato in comune e se gli altri due lati si trovano da parti opposte rispetto al lato comune.

Due angoli sono adiacenti se sono consecutivi e se i lati non comuni appartengono alla stessa retta.

Multiple Choice

L'angolo illustrato nell'immagine si dice:

• piatto

• giro

• nullo

Multiple Choice

L'angolo illustrato nell'immagine si dice:

• piatto

• giro

• nullo

Multiple Choice

L'angolo illustrato nell'immagine si dice:

• piatto

• giro

• nullo

​Enti fondamentali: angolo

Un angolo è piatto quando i suoi lati sono due semirette opposte; coincide con un semipiano e spesso lo indicheremo con π..

L’angolo giro è l’angolo i cui lati sono semirette coincidenti e che coincide con l’intero piano.

Un angolo è nullo quando i suoi lati sono due semirette coincidenti e non comprende altri punti oltre quelli dei lati.

​Poligono

Un poligono è l’insieme dei punti di una poligonale chiusa e non intrecciata e di tutti i suoi punti interni.

OPERAZIONI CON SEGMENTI E ANGOLI

Dati i segmenti AB e AC (con AC>AB o AC congruente AB,), la differenza fra AC e AB è il segmento che, addizionato ad AB, dà come somma AC.

​Differenza

Dati due segmenti adiacenti AB e BC, la loro somma è il segmento AC, che ha per estremi i loro estremi non comuni.

​Somma

Operazioni con segmenti.

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Il

di un segmento è il punto che lo divide in due segmenti congruenti.

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L'angolo rappresentato nell'immagine si dice:

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L'angolo rappresentato nell'immagine si dice:

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L'angolo rappresentato nell'immagine si dice:

Angoli retti, acuti e ottusi

Un angolo che sia:

• metà di un angolo piatto è un angolo retto;

• minore di un angolo retto è un angolo acuto;

• maggiore di un angolo retto e minore di un angolo piatto è ottuso.

Multiple Choice

I due angolo della figura si dicono:

• Supplementari

• Complementari

• Esplementari

Multiple Choice

I due angolo della figura si dicono:

• Supplementari

• Complementari

• Esplementari

Multiple Choice

I due angolo della figura si dicono:

• Supplementari

• Complementari

• Esplementari

Angoli supplementari, complementari ed esplementari.

Due angoli si dicono:

supplementari se la loro somma è un angolo piatto;

complementari se la loro somma è un angolo retto;

esplementari se la loro somma è un angolo giro.

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La

di un angolo è la semiretta uscente dal vertice che divide l’angolo in due angoli

congruenti.

Angoli opposti al vertice

Due angoli si dicono opposti al vertice se hanno in comune il vertice e se i lati di un angolo sono i prolungamenti dei lati dell’altro.

Teorema

Se due angoli sono opposti al vertice, allora sono congruenti.