Quiz 3 y 4

La ley de enfriamiento de Newton establee que la rapidez con que cambia la temperatura de un cuerpo, es proporcional en cada instante de tiempo, a la diferencia entre la temperatura del cuerpo y la temperatura del medio en el cual está el cuerpo. Una ecuación diferencial que representa lo anterior es:

• $\frac{\text{d}T}{\text{d}t}=k\left(T\ -\ T_e\right)$

• $\frac{\text{d}T}{\text{d}t}=\ -k\left(T\ -T_e\right)$

• $\frac{\text{d}T}{\text{d}t}=\ -k^2\left(T-T_e\right)$

• $\frac{\text{d}T}{\text{dt}}=k^2\left(T-T_e\right)$

• Todas son equivalentes, pues depende de la escogencia de la constante de proporcionalidad k.
  

Un reactor de cría convierte uranio 238 relativamente estable en el isotopo plutonio 239. Después de 15 años, se ha determinado que 0.043% de la cantidad inicial A_0 de plutonio se ha desintegrado. Determine la vida media de ese isótopo, si la razón de desintegración es proporcional a la cantidad que queda. Este valor es

• $t\ =\ \frac{\ln2}{0.00002867}$ años

• $t=\frac{\ln2}{0.0002867}$ años

• 24 años.
  

Al sacar un pastel del horno, su temperatura es 300 ^o F. Tres minutos después su temperatura es de 200 ^o F. ¿Cuánto tiempo le tomará al pastel enfriarse hasta la temperatura ambiente 70 ^o F?

• Realmente nunca lo alcanza, pues el tiempo en el que esto sucedería es infinito.

• Aunque el modelo indica que el tiempo es infinito, con un poco de inspección, a los 30 minutos aproximadamente, alcanza la temperatura ambiente.

Una ecuación diferencial que describe la velocidad v de una masa que cae sujeta a una resistencia del aire proporcional a la velocidad instantánea es:

•  $m\ \frac{dv}{dt}\ =mg\ -kv;\ k>0$  

•  $m\ \frac{dv}{dt}=-mg\ +kv;\ k>0$  

Un tanque en forma de un cilindro recto circular en posición vertical está sacando agua por un agujero circular en su fondo. Cuando se desprecia la fricción y la contracción del agujero, la altura h del agua en el tanque está descrita por: A_a área sección transversal agua, A_h área transversal del agujero.

•  $A_h\ \frac{dh}{dt}=-A_a\sqrt{2gh}$  

•  $\frac{dh}{dt}=\frac{kA_a}{A_h}\sqrt{2gh}$  

Al tener un cubo lleno de agua que esté perforado, el líquido sale con una razón gobernada por la ley de Torricelli. Esta establece que:

• La razón de cambio del volumen es proporcional a la raíz cuadrada de la altura del líquido.

• $v\ =\ \sqrt{2gh}$

Determine la cantidad de sal en el tanque al tiempo t si la concentración de sal que entra es variable y está dada por  $2+\ sen\left(\frac{t}{4}\right)$  lb/gal, para un tanque que contenía inicialmente 300 galones de una solución salmuera. Al tanque entraba y salía solución porque se bombeaba una solución a un flujo de 3gal/min. Había 50lb de sal disuelta en los 300 galones iniciales.

•  $x\left(t\right)=\ 600\ +3e^{-\frac{t}{100}}\int_{ }^{ }e^{\frac{t}{100}}sen\left(\frac{t}{4}\right)dt\ +ce^{-\frac{t}{100}}$  

•  $x\left(t\right)\ =\ 600+3\int_{ }^{ }e^{\frac{t}{100}}dt+ce^{-\frac{t}{100}}$  

•  $x\left(t\right)\ =\ 600+3e^{-\frac{t}{100}}\int_{ }^{ }e^{\frac{t}{100}}sen\left(\frac{t}{4}\right)dt\ +c$  

Para la ED  $y'\ -xy^{\frac{1}{2}}=0$   ¿por qué y=0 es solución singular?

• Porque obviamente es solución.
  

• Porque es una solución particular de la solución general.
  

• Porque no se obtiene de la solución general.
  

• Porque es la solución trivial.
  

Para la ED:  $\left(x^2y^2-1\right)dy\ +2xy^3dx\ =0$  al hacer  $y\ =\ z^{-1}$  la ED resultante es homogénea.

• Verdad.

• Falso.

 $\left(x^2y^2-1\right)dy+2xy^3dx=0$  ¿Cuáles  de las siguientes son soluciones a la ED?

•  $x^2y^2+1=-y$  

•  $x^2y^2+1\ =\ y$  

•  $x^2y^2+1\ =\ c\left|y\right|$