Funcions, continuïtat i derivades

Si una funció és contínua en tot el seu domini podem assegurar que:

• Podem utilitzar el teorema de Bolzano per trobar com a mínim un valor c | f(c)=0.

• El domini de la seva derivada, si aquesta existeix, serà un subconjunt del domini de la funció.

• La funció no pot tenir cal asímptota vertical.

• Segur que és derivable en qualsevol valor del seu domini.

Sigui f(x) una funció contínua en [0,2] i en [3,6], si sabem que f(0)=1, f(2)=2, f(3)=-4, f(5)=1 i f(6)=-4.

• Podem assegurar que la funció no té cap arrel.

• Podem assegurar que la funció té com a mínim 2 arrels.

• Podem assegurar que la funció té com a mínim 3 arrels.

• Podem assegurar que la funció té com a mínim 1 arrel.

Si una funció contínua i derivable, té 3 punts crítics i sabem que en dos d'ells la segona derivada és 0 i en l'altre és positiva, llavors

• La funció té un únic extrem i és un mínim.

• La funció té un únic extrem i és un màxim.

• No podem saber quants màxims o mínims relatius té.

• Segur que té exactament 2 punts d'inflexió.

Si al calcular el límit d'una funció obtenim el resultat$$0·\infty$$, llavors 

• estem davant d'una indeterminació que podem resoldre amb la definició del número e.

• no és cap indeterminació perquè 0 per qualsevol valor és 0.

• estem davant d'una indeterminació que es pot transformar en una altra indeterminació del tipus  $\frac{\infty}{\infty}$  , i aquesta es podria resoldre per l'Hôpital.

• estem davant d'una indeterminació que es pot transformar en una altra indeterminació del tipus  $\frac{0}{0}$ 

En aquesta gràfica podem veure una funció amb

• un mínim i un màxim.

• una discontinuïtat de salt una una discontinuïtat asimptòtica.

• un mínim en x=0.

• un únic extrem relatiu que és un màxim

Si la derivada d'una funció en un punt és 3,

• la recta tangent a la funció en aquest punt serà creixent.

• la funció és contínua en x=3.

• la funció és contínua en aquell punt.

• la funció és creixent en un entorn d'aquell punt.

Si una funció té una asímptota horitzontal en y=0, llavors.

• No pot tenir cap altra asímptota horitzontal.

• No pot tenir cap asímptota obliqua.

• No pot tenir 2 asímptotes més obliqües.

• No pot tenir cap arrel ja que tallaria l'asímptota horitzontal.