Erwartungswert und Standardabweichung

In einer 7. Klasse mit 25 Schülerinnen und Schülern ist eine Mathematik-Schularbeit wie oben ausgefallen: Wie kann man das arithmetische Mittel berechnen?

•  $\overline{x}=1\cdot5+2\cdot4+3\cdot6+4\cdot7+5\cdot3$  

•  $\overline{x}=1\cdot\frac{5}{25}+2\cdot\frac{4}{25}+3\cdot\frac{6}{25}+4\cdot\frac{7}{25}+5\cdot\frac{3}{25}$  

•  $\overline{x}=\frac{\left(5+4+6+7+3\right)}{25}$  

•  $\overline{x}=\frac{5\cdot4\cdot6\cdot7\cdot3}{25}$  

Welche Frage stellen wir uns bei einem Glücksrad mit verschiedenen Gewinnen und Gewinnwahrscheinlichkeiten?

• Welchen Gewinn kann ich bei einer kurzen Runde spielen einspielen?

• Welchen Gewinn erziele ich, wenn ich viel Geld setze?

• Welchen Gewinn kann ich bei sehr vielen Versuchen durchschnittlich pro Spiel erwarten?

• Gewinne ich mehr, wenn ich in die andere Richtung mit mehr Schwung drehe?

Was besagt das "Empirische Gesetz der großen Zahlen"?

• Bei sehr vielen Versuche habe ich eine höhere Gewinnchance.

• Bei sehr vielen Versuchen nähert sich die absolute Häufigkeit der Wahrscheinlichkeit an, mit derer das Ereignis eintritt.

• Bei sehr vielen Versuchen nähert sich die relative Häufigkeit der Wahrscheinlichkeit an, mit derer das Ereignis eintritt.

Wie ist der Erwartungswert einer Zufallsvariablen X definiert?

• $E\left(x\right)=x_1\cdot P\left(X=x_1\right)-...-x_n\cdot P\left(X=x_n\right)$
  
  

• $E\left(X\right)=x_1\cdot P\left(X=x_1\right)+...+x_n\cdot P\left(X=x_n\right)$
  
  

• $E\left(x\right)=\frac{x_1\cdot P\left(X=x_1\right)}{x_n\cdot P\left(X=x_n\right)}$

• $E\left(x\right)=x_1\cdot x_n\cdot P\left(X=x_1\right)\cdot P\left(X=x_n\right)$

Beschreibe die Standardabweichung einer Zufallsvariable X?

• Die Standardabweichung einer Zufallsvariablen X zeigt, wie weit die Werte einer Zufallsvariable X durchschnittlich vom Erwartungswert  $\mu$  abweichen oder streuen.

• Die Standardabweichung ist ein Maß für die Höhe des Erwartungswerts einer Zufallsvariablen X.

• Bei einer hohen Standardabweichung sind die Werte der Zufallsvariablen X nahe am Erwartungswert  $\mu$ .

• Die Standardabweichung beschreibt die mittlere quadratische Abweichung einer Zufallsvariablen X von Erwartungswert  $\mu$ .