ENVIII-Matematică-Test 16-Subiectul III

În figura alăturată este reprezentat un dreptunghi ABCD cu AB= 6 cm şi BC=10 cm. Punctele M şi N sunt situate pe laturile BC , respectiv AD , astfel încât BM = 8 cm şi AN =2 cm. Punctul E este proiecţia punctului D pe dreapta MN. Determinaţi perimetrul patrulaterului ABCD.

• $P_{ABCD}=L+l=16\ cm.$

• $P_{ABCD}=L+l+L+l=32\ cm$

În figura alăturată este reprezentat un dreptunghi ABCD cu AB= 6 cm şi BC=10 cm. Punctele M şi N sunt situate pe laturile BC , respectiv AD , astfel încât BM = 8 cm şi AN =2 cm. Punctul E este proiecţia punctului D pe dreapta MN. Demonstraţi că triunghiul DEN este dreptunghic isoscel.

• Punctul E este proiecţia punctului D pe dreapta MN ⇒E este la mijlocul segmentului MN.

• Punctul E este proiecţia punctului D pe dreapta MN ⇒ E este piciorul perpendicularei dusă din D pe dreapta MN⇒ DE ⊥ MN.

În figura alăturată este reprezentat un dreptunghi ABCD cu AB= 6 cm şi BC=10 cm. Punctele M şi N sunt situate pe laturile BC , respectiv AD , astfel încât BM = 8 cm şi AN =2 cm. Punctul E este proiecţia punctului D pe dreapta MN. Demonstraţi că ∆DEN este dreptunghic isoscel.

• MN în ∆MNP cu t. Pitagora ⇒ $MN=6\sqrt{2}cm.$

• MN în ∆MNP cu t. Pitagora ⇒ $MN=10\ cm.$

În figura alăturată este reprezentat un dreptunghi ABCD cu AB= 6 cm şi BC=10 cm. Punctele M şi N sunt situate pe laturile BC , respectiv AD , astfel încât BM = 8 cm şi AN =2 cm. Punctul E este proiecţia punctului D pe dreapta MN.Demonstraţi că triunghiul DEN este dreptunghic isoscel.

• Construim MF⊥DN , înălţime în ∆DMN ⇒ MF = AB = 6 cm.
  Determinăm înălţimea DE în ∆DMN , folosind aria triunghiului.
  $A_{∆DMN}=\frac{b·h}{2}⇒$
  $\frac{DN·MF}{2}=\frac{MN·DE}{2}$ ⇒  $DE=4\sqrt{2}cm.$ 

• Construim MF⊥DN , înălţime în ∆DMN ⇒ MF = AB = 6 cm.
  Determinăm înălţimea DE în ∆DMN , folosind aria triunghiului.
  $A_{∆DMN}=\frac{b·h}{2}$ ⇒
  
  $\frac{DN\ ·\ MF}{2}=\frac{MN\ ·\ DE}{2}$ ⇒ $DE=8\sqrt{2}cm.$ 

În figura alăturată este reprezentat un dreptunghi ABCD cu AB= 6 cm şi BC=10 cm. Punctele M şi N sunt situate pe laturile BC , respectiv AD , astfel încât BM = 8 cm şi AN =2 cm. Punctul E este proiecţia punctului D pe dreapta MN. Demonstraţi că triunghiul DEN este dreptunghic isoscel.

• NE în ∆DEN cu T. Pitagora ⇒ $NE=4\sqrt{6}cm.$  
   $DE=4\sqrt{2}cm$  , m∢DEN=90°⇒
  ∆DEN este dreptunghic.

• NE în ∆NED cu T.Pitagora ⇒ $NE=4\sqrt{2}cm.$  
   $NE=DE=4\sqrt{2}cm$  , m∢DEN=90°⇒
  
  ∆DEN dreptunghic isoscel.

În figura alăturată este reprezentat un dreptunghi ABCD cu AB= 6 cm şi BC=10 cm. Punctele M şi N sunt situate pe laturile BC , respectiv AD , astfel încât BM = 8 cm şi AN =2 cm. Punctul E este proiecţia punctului D pe dreapta MN. Demonstraţi că , dacă BP ⊥ MN, P ∈ MN , atunci BEDP este paralelogram.

•  $DE=4\sqrt{2}$  
  DE ⊥MN, BP ⊥ MN ⇒DE ∥ BP 
  Determinăm lungimea lui BP.
  Observăm că DN ∥ BP şi secanta MN
  ⇒m∢DNE=m∢BME=45°
  BP⊥MN⇒∆BPM dreptunghic isoscel
  BP în ∆BPM, m∢P=90°  , $\sin∢M=\frac{BP}{BM},\ \ \ \ \sin45°=\frac{BP}{8}$  
  
   $BP=4\sqrt{3}cm.$  
  
  

•  $DE=4\sqrt{2}$  
  DE ⊥MN, BP ⊥ MN ⇒DE ∥ BP 
  Determinăm lungimea lui BP.
  Observăm că DN ∥ BP şi 
  secanta NM 
  ⇒m∢DNE=m∢BME=45°
  BP⊥MN
  ⇒∆BPM dreptunghic isoscel
  BP în ∆BPM, m∢P=90°, $\cos∢B=\frac{cat.alăt}{ip}⇒\cos45°=\frac{BP}{BM}$  
   $BP=4\sqrt{2}cm$  
  BP=DE
  BP ∥ DE ⇒
  BPDE paralelogram

În figura alăturată este reprezentată o piramidă patrulateră VABCD cu ABCD pătrat, AB = 10 cm, $VO=5\sqrt{3}\ cm\$ şi VO ⊥ (ABCD) şi O intersecţia diagonalelor AC şi BD. Punctele M, N şi P sunt mijloacele segmentelor BC, CD şi, respectiv , CV. Determinaţi lungimea segmentului AC.

• AC diagonală în pătrat ⇒ $AC=l\sqrt{2}=10\sqrt{2}cm.$

• AC diagonală în pătrat⇒ $AC=l\sqrt{3}=10\sqrt{3}\ cm.$

În figura alăturată este reprezentată o piramidă patrulateră VABCD cu ABCD pătrat, AB = 10 cm, $VO=5\sqrt{3}\ cm\$ şi VO ⊥ (ABCD) şi O intersecţia diagonalelor AC şi BD. Punctele M, N şi P sunt mijloacele segmentelor BC, CD şi, respectiv , CV. Demonstraţi că planele (MNP)  şi  (BDV) sunt paralele.

• Două plane sunt paralele, dacă două drepte concurente dintr-un plan sunt paralele cu alte două drepte concurente din celălalt plan.
  MP linie mijlocie în ∆BCV ⇒MN ∥ VB
  PN linie mijlocie în ∆DCV ⇒NP ∥ VD
  ⇒ (MNP) ∥ (ABC).

• Două plane sunt paralele, dacă două drepte concurente dintr-un plan sunt paralele cu alte două drepte concurente din celălalt
   plan.
  MN ∥ VB
  NP ∥ VD
  ⇒ (MNP) ∥ (ABC).

În figura alăturată este reprezentată o piramidă patrulateră VABCD cu ABCD pătrat, AB = 10 cm, $VO=5\sqrt{3}\ cm\$ şi VO ⊥ (ABCD) şi O intersecţia diagonalelor AC şi BD. Punctele M, N şi P sunt mijloacele segmentelor BC, CD şi, respectiv , CV. Determinaţi măsura unghiului dintre dreapta VM şi planul (ABC).

• Măsura unghiului dintre o dreaptă  şi un plan este egală cu măsura unghiului dintre dreaptă şi proiecţia ei pe plan.
  Proiecţia lui V pe planul (ABCD) este O.
  Proiecţia lui M pe planul (ABCD ) este M, deoarece M∈ (ABCD).
   m∢ (VM, (ABCD))= m ∢(VM, OM)=m∢OVM.

• Măsura unghiului dintre o dreaptă  şi un plan este egală cu măsura unghiului dintre dreaptă şi proiecţia ei pe plan.
  Proiecţia lui V pe planul (ABCD) este O.
  Proiecţia lui M pe planul (ABCD ) este M, deoarece M ∈ (ABCD)
  m∢ (VM, (ABCD)) = m∢ (VM, OM) = m∢VMO.

În figura alăturată este reprezentată o piramidă patrulateră VABCD cu ABCD pătrat, AB = 10 cm, $VO=5\sqrt{3}\ cm\$ şi VO ⊥ (ABCD) şi O intersecţia diagonalelor AC şi BD. Punctele M, N şi P sunt mijloacele segmentelor BC, CD şi, respectiv , CV. Determinaţi măsura unghiului dintre dreapta VM şi planul (ABC).

• m∢(VM, OM) = m∢VMO în ∆VMO, m ∢O=90°, cu tg∢VMO
  OM este linie mijlocie în ∆ABC⇒ $OM=\frac{AB}{2}=5\ cm.$
  $tg∢VMO\ =\frac{cat.alăturată}{cat.opusă}=$
  
  $\frac{O\ M}{VO}=\frac{5}{5\sqrt{3}}=\frac{1}{\sqrt{3}}$
  ⇒m∢(VMO)=30°
  m∢(VM, (ABCD))=m∢(VM, OM)=m∢VMO=30°.

• m∢(VM, OM) = m∢VMO în ∆VMO, m ∢O=90°, cu tg∢VMO
  
  OM linie mijlocie în ∆ABC⇒ $OM=\frac{AB}{2}=5cm$ . $tg∢VMO=\frac{cat.opusă}{cat.alăturată}=$
  $\frac{VO}{OM}=\frac{5\sqrt{3}}{5}=\sqrt{3}$ ⇒m∢(VMO)=60°
  
  m∢(VM, (ABCD))=m∢(VM, OM)=m∢VMO=60°.