UTS Teori Ring

Jika  $a$  adalah elemen suatu ring dengan  $a\ne0$  dan terdapat elemen  $b$  dari ring itu dengan  $b\ne0$  sedemikian sehingga  $ab=ba=0$  maka  $a$  disebut sebagai pembagi nol sejati.

Diberikan  $Z_8=\left\{0,1,2,...,7\right\}$  suatu ring terhadap penjumlahan dan perkalian modulo 8. Semua elemen pembagi nol sejati dari  $Z_8$  adalah ....

•  $\left\{2\right\}$  

•  $\left\{2,4\right\}$  

•  $\left\{2,4,6\right\}$  

•  $\left\{0\right\}$  

•  $\left\{0,1,2,...,7\right\}$  

Diketahui $Z_{12}=\left\{0,1,2,...,11\right\}$  merupakan ring terhadap penjumlahan dan perkalian modulo 12. Subring darinya yang memiliki unity (unsur satuan terhadap perkalian) adalah ....

•  $\left\{0\right\}$  

•  $\left\{0,4,8\right\}$  

•  $\left\{0,3,6,9\right\}$  

•  $\left\{0,1,2,...,11\right\}$  

• Semua alternatif jawaban benar

 $Z_7$  merupakan field terhadap operasi penjumlahan dan perkalian modulo 7. Identitas penjumlahan dan perkalian pada  $Z_7$  adalah ....

• 1 dan 7

• 0 dan 7

• 0 dan 1

• 0 dan 6

• 0 dan 3

 $B$  adalah himpunan bilangan bulat dengan operasi  $\left(+\right)$  dan $\left(\times\right)$  yang didefinisikan  $\forall a,b\in B$  berlaku $a\left(+\right)b=a+b+1$  dan $a\left(\times\right)b=a+b+ab$ .
Struktur  $\left(B,\left(+\right),\left(\times\right)\right)$  merupakan ring dengan identitas penjumlahan yaitu ...

• -1

• 0

• 2

• 3

• 4

Ring berikut yang tidak memiliki elemen satuan adalah ...

• himpunan semua bilangan bulat dengan penjumlahan dan perkalian aritmetik

• himpunan semua bilangan bulat kelipatan 5 dengan penjumlahan dan perkalian aritmetik

• himpunan semua bilangan rasional dengan penjumlahan dan perkalian aritmetik

• himpunan semua bilangan kompleks dengan penjumlahan dan perkalian aritmetik

 $G=\left\{2m+1,\ m\in bilangan\ bulat\right\}$  dengan penjumlahan dan perkalian aritmetik bukan suatu ring, karena tidak bersifat ...

• tertutup terhadap penjumlahan

• tertutup terhadap perkalian

• asosiatif terhadap perkalian

• distributif kanan

Pernyataan berikut ini yang benar adalah ....

• setiap field adalah daerah integral

• setiap daerah integral adalah field

• setiap ring pembagian adalah daerah integral

• setiap daerah integral adalah ring pembagian

Berikut yang dapat memuat elemen pembagi nol adalah ....

• ring pembagian

• daerah integral

• field

• ring komutatif

Apabila $R$  suatu ring maka untuk setiap  $x,y\in R$  dan  $m,n$  bilangan-bilangan bulat positif, pernyataan berikut benar, kecuali ....

•  $\left(mx\right)\left(ny\right)=\left(mn\right)\left(xy\right)$  

•  $\left(xy\right)^m=x^my^m$  

•  $\left(y^m\right)^n=y^{mn}$  

•  $\left(m+n\right)x=mx+nx$  

Himpunan berikut merupakan subring dari ring bilangan bulat dengan penjumlahan dan perkalian aritmetik

• $\left\{3m+2,\ m\in bilangan\ bulat\right\}$

• $\left\{4n+2,\ n\in bilangan\ bulat\right\}$

• $\left\{3m+6,\ m\in bilangan\ bulat\right\}$