Ma 3: integraler tillämpningar

 $v\left(t\right)$  är en hastighet
Vad gör man för att få reda på accelerationen

• deriverar

• integrerar

• beräknar v(0)

Answer explanation

 $v\left(t\right)$  är en hastighet, enheten är till exempel  $\frac{m}{s}$  
Derivatan sätter ett extra s i nämnaren för att derivata är lutning, alltså  $\frac{dv}{dt}$  
Så får man  $\frac{m}{s^2}$  , vilket är enhet för acceleration

 $v\left(t\right)$  är en hastighet
Vad gör man för att få reda på sträckan

• deriverar

• integrerar

Answer explanation

 $v\left(t\right)$  är en hastighet, enheten är till exempel  $\frac{m}{s}$  
Integralen få bort s-et i nämnaren för att integral är  $\int_{ }^{ }v\left(t\right)\cdot dt$  
Så får man  $\frac{m}{s}\cdot s$  , vilket ger  $m$  som är enhet för sträcka

 $y=v\left(t\right)$  är bilens hastighet i  $\frac{m}{s}$  

Vad är det som är 4?

• accelerationen när t=10

• sträckan när t=10

• hastigheten när t=10

Answer explanation

Grafen visar hastigheten, när vi drar tangenten där t=10 har vi hastighetens lutning i den punkten, alltså  $\frac{dv}{dt}$   som ger enheten  $\frac{m}{s^2}$  Alltså: när det precis har gått 10 sekunder accelererar bilden med  $4\ \frac{m}{s^2}$  

 $y=v\left(t\right)$  är bilens hastighet i  $\frac{m}{s}$  

Vad är det som är 67?

• accelerationen när t=10

• sträckan när t=10

Answer explanation

Grafen visar hastigheten, när beräknar integralen, är det area under kurvan där enheten blir  $\frac{m}{s}\cdot s$  , alltså  $m$  .

Det vill säga att på 10 sekunder har bilen åkt 67 meter.

 $y=v\left(t\right)$  är bilens hastighet i  $\frac{m}{s}$  

Vad är det som är 58?

• medelaccelerationen mellan t=5 och t=10

• hur långt bilen har kört mellan sekund 5 och 10

• medelhastigheten mellan t=5 och t=10

Answer explanation

Grafen visar hastigheten, när beräknar integralen, är det area under kurvan där enheten blir  $\frac{m}{s}\cdot s$  , alltså  $m$  .

Det vill säga att under tiden mellan t=5 och t=10 har bilen åkt 58 meter.

 $y=v\left(t\right)$  är bilens hastighet i  $\frac{m}{s}$  

Vad är det som är 20?

• accelerationen när t=10

• sträckan när t=10

• hastigheten när t=10

Answer explanation

Grafen visar hastigheten, så 20 är funktionens värde när t=10.

Alltså: precis när det har gått 10 sekunder kör bilen med hastigheten  $20\ \frac{m}{s}$  

Funktionen $y=f\left(x\right)$  anger antalet samtal per minut till Melodifestivalröstningen. 

Hur beräknar man hur många samtal som kom in under de första 10 minuterna?

•  $\int_0^{10}f\left(x\right)\ dx$  

•  $f\left(10\right)$  

•  $f'\left(10\right)$  

•  $\frac{f\left(10\right)-f\left(0\right)}{10}$  

•  $\int_0^af\left(x\right)\ dx=10$  lös med avseende på a

Answer explanation

Funktionen  $f\left(x\right)$  har enheten  $\frac{samtal}{\min}$  .
Vi vill ta reda på antalet samtal, dvs, vi vill bli av med min i nämnaren:
 $\int_{ }^{ }f\left(x\right)\cdot dx$  har enheten "samtal".

Undre gränsen är noll och övre gränsen är 10. 
Svaret är  $\int_0^{10}f\left(x\right)\ dx$  

Funktionen $y=f\left(x\right)$  anger antalet samtal per minut till Melodifestivalröstningen. 

Hur beräknar man hur länge det dröjde innan man har fått in 100 samtal?

•  $\int_0^{100}f\left(x\right)\ dx$  

•  $f\left(100\right)$  

•  $f'\left(100\right)$  

•  $\frac{f\left(100\right)-f\left(0\right)}{100}$  

•  $\int_0^af\left(x\right)\ dx=100$  lös med avseende på a

Answer explanation

Funktionen  $f\left(x\right)$  har enheten  $\frac{samtal}{\min}$  .
Vi vill ta reda på antalet samtal, dvs, vi vill bli av med min i nämnaren:
 $\int_{ }^{ }f\left(x\right)\cdot dx$  har enheten "samtal".

Vi vill ha den övre gränsen på integralen när dess värde är 100.

 $y=p\left(t\right)$  är en funktion som anger antalet prov per minut jag kan rätta.
Hur räknar man ut hur många prov jag kan rätta under de första 20 min?

Answer explanation

 $p\left(t\right)$  har enheten  $\frac{prov}{\min}$  , jag vill ta reda på antalet prov så vi kör  $\int_0^{20}p\left(t\right)\ dt$  för att ta reda på hur många prov jag kan rätta de första 20 minutrarna.

 $y=p\left(t\right)$  är en funktion som anger antalet prov per minut jag kan rätta.
Hur kan jag få veta om min provrättningshastighet är ökande eller avtagande när det har gått exakt 20 minuter?

Answer explanation

Jag deriverar och sätter in 20:

Om  $p'\left(20\right)$  är positivt så håller min rättningshastighet att öka
Om  $p'\left(20\right)$  är negativt så håller min rättningshastighet att minska