EDO 1.3 - EDO Variáveis Separáveis

Uma EDO de 1ª Ordem  $\frac{dy}{dx}=f\left(x,y\right)$  é dita ser de variáveis separáveis se  $f\left(x,y\right)=\frac{F\left(x\right)}{G\left(y\right)}$ ou seja,  $\frac{dy}{dx}=\frac{F\left(x\right)}{G\left(y\right)}$  de onde virá que   $G\left(y\right)dy=F\left(x\right)dx$  , ou seja, as variáveis podem ser separadas. A EDO  $y'=x^2y+\cos\left(x\right)y$  , depois de separar as variáveis ficará assim:

•  $y\ dy=\left(x^2+\cos\left(x\right)\right)dx$  

•  $\frac{1}{y}\ dy=\left(x^2+\cos\left(x\right)\right)dx$  

•  $\frac{1}{y}dy=x^2\cos\left(x\right)dx$  

•  $y\ dy=x^2\cos\left(x\right)dx$  

A EDO  $\frac{dy}{dx}=e^{3x+2y}$  pode ser resolvida usando a técnica das Variáveis separáveis. Para isto, basta dividir ambos os membros por  $e^{2y}$  e a EDO terá a forma

•  $e^{-2y}\ dy=e^{3x}\ dx$  

•  $e^{2y}\ dy=e^{3x}\ dx$  

•  $e^{-2y}\ dy=e^{-3x}\ dx$  

•  $e^{-3y}\ dy=e^{2x}\ dx$  

A EDO  $\frac{dP}{dt}=P-P^2$ d pode facilmente ter as variáveis separadas se tornando  $\frac{dP}{P-P^2}=dt$  . Integrando em ambos os membros, a integral do lado esquerdo dará (use um SAC como MAXIMA, MATHEMATICA, MAPLE, GEOGEBRA, etc., se preferir)

•  $\ln\left|P\right|-\ln\left|1-P\right|+C_1$  
  

•  $\ln\left|P-P^2\right|+C_1$  
  

•  $\ln\left|1-P\right|-\ln\left|P\right|+C_1$  

•  $\frac{1}{2}\ \ln\left|P-P^2\right|+C_1$  

A EDO  $\frac{dy}{dx}=x\sqrt{1-y^2}$  pode ter ser facilmente as suas variáveis separadas e depois, disso, aplicando integral em ambos os membros ficaremos com  $\int\frac{1}{\sqrt{1-y^2}}dy=\int x\ dx$ . Depois das duas integrais resolvidas, chegaremos em (use um SAC, se preferir, para resolver as integrais, ou consulte uma tabela de integrais) 

•  $2\sqrt{1-y^2}=\frac{x^2}{2}+C$  

•  $\sqrt{1-y^2}=\frac{x^2}{2}+C$  

•  $\arcsin\left(y\right)=\frac{x^2}{2}+C$  

•  $\ln\left|1-y\right|=\frac{x^2}{2}+C$  
  

Se $y=y\left(t\right)$  representa a quantidade presente (de algo) no instante t e dizemos "a taxa de variação da quantidade presente é diretamente proporcional à quantidade presente", podemos representar esta afirmação com a seguinte EDO  $\frac{dy}{dt}=k\ y\ \ ,\ k\in R$ . Se  $y\left(0\right)=y_0$   a solução desta EDO será

•  $y=y_0e^{kt}$  

•  $y=y_0e^{-kt}$  

•  $y=y_0+e^{kt}$  

•  $y=y_0-e^{-kt}$  

Caso queiramos enfatizar que a quantidade  $y=y\left(t\right)$ decresce no decorrer do tempo, é comum escrever $\frac{dy}{dt}=-k\ y\ ,\ \ \ k\in R$ . Se  $y\left(0\right)=y_0$   a solução desta EDO será

•  $y=y_0e^{kt}$  

•  $y=y_0e^{-kt}$  

•  $y=y_0+e^{kt}$  

•  $y=y_0-e^{-kt}$  

A meia-vida corresponde ao tempo necessário (vamos chamar de T), para que uma amostra radioativa reduza-se à metade da quantidade inicial. Como em decaimento radioativo a taxa de variação da quantidade presente é proporcional à quantidade presente o modelo matemático $\frac{dy}{dt}=-k\ y$  com  $y\left(0\right)=y_0$  se aplica. Qual relação T (Meia-Vida) deve satisfazer?

•  $y\left(T\right)=\frac{1}{2}y_0$  

•  $y\left(T\right)=\frac{1}{2}k$  

•  $y\left(T\right)=\frac{1}{2}e^{-kT}$  

•  $y\left(T\right)=\frac{1}{2}e^{-ky_0}$  

Ainda falando sobre Meia-Vida, no modelo matemático que se aplica  $\frac{dy}{dt}=-k\ y,\ \ com\ \ y\left(0\right)=y_0$ , k é chamada de Constante de Decaimento. Qual a relação entre a Meia-Vida (T) e a Constante de Decaimento (k)?

•  $k+T=2$  

•  $k=\frac{2}{T}$  

•  $k=\frac{\ln\left(2\right)}{T}$  

•  $k+T=\ln\left(2\right)$  

Sabendo que a Meia-Vida do Carbono-14 é de 5.715 anos e que no modelo matemático para decaimento  $\frac{dy}{dt}=-k\ y\ \ com\ \ \ y\left(0\right)=y_0$  e que  $k=\frac{\ln\left(2\right)}{Meia-Vida}$ . Deste modo para uma amostra com cerca de 10.000 anos, é esperado um percentual da quantidade inicial de Carbono-14 próximo de

• 20%

• 25%

• 30%

• 35%

Datação por Carbono-14 não é muito utilizada quando a data esperada é maior que 50 ou 60 mil anos. Considere  $k=\frac{\ln\left(2\right)}{5715}$  no modelo matemático  $\frac{dy}{dt}=-k\ y\ \ com\ y\left(0\right)=y_0$  . Após 60.000 anos, qual o percentual de Carbono-14 seria encontrado na amostra?

• Cerca de 0,001%

• Cerca de 1%

• Cerca de 0,70% 

• Cerca de 0,07%