ДЗ №5 Хард | Піраміда

Кутом між МА і площиною основи є кут між ребром МА і його проекцією на (АВС), яка є половиною діагоналі паралелограма. Оскільки цей кут дорівнює 45°, то висота піраміди дорівнює 8√2 /2 = 4√2. 

З трикутника, утвореного висотою і ребром MD за теоремою Піфагора знаходимо MD:   

$$\sqrt[]{2^2+\left(4\sqrt[]{2}\right)^2}=6$$  

Оскільки ця піраміда правильна, то трикутник, утворений висотою, бічним ребром та його проекцією, буде прямокутним. Тоді проекція дорівнює $$\sqrt[]{5^2-3^2}=\sqrt[]{16}=4$$  Косинус кута – це відношення прилеглого катета до гіпотенузи, отже, 4/5.

Якщо піраміда має 12 ребер, то вона відповідно має 6 бічних граней. Додамо основу, маємо усього 7 граней.

Оскільки трикутник – многокутник з найменшою кількістю сторін, який може лежати в основі піраміди, то піраміда матиме щонайменше 4 грані.

Усі бічні ребра піраміди нахилені до площини основи під кутом 60°, отже, основа висоти піраміди, проведеної до площини (АВС) – центр описаного навколо ΔАВС кола. У прямокутному трикутнику це середина гіпотенузи АВ.

Куля описана навколо піраміди – центр кулі точка О1 належить висоті DO. DO₁ = O₁A = O₁B = O₁C = 6 см.

DC, DB, DA – похилі; OC, OB, OA – їхні проекції. Отже, ∠(DB; (ABC)) = ∠(DC; (ABC)) = ∠(DA; (ABC)) = 60°.

∠DBO = ∠DCO = ∠DAO = 60°.

ΔADB: ∠A = ∠B = 60°. Отже, ∠D = 60°. ΔADB – рівносторонній, точка О₁ – центр описаного кола (O1D = O1B = O1A = 6 см). AB = O1D√3 = 6√3 см.

ΔABC: ∠C = 90°, AC = ABcos15° = 6√3cos15°.

S(ABC) = 1/2*AB*AC*sin15°=1/2 6√36√3cos15°sin15°= 3*9*2sin15°cos15°= 27*2sin15°cos15°= 27sin30°= 27/2 см2.

За властивістю медіани:

DO₁/O₁O=2/1

DO=3/2*DO1=3*6*1/2=9 см.

V=1/3*S(ABC)*DO=1/3*27/2*9=81/2=40,5 см³.

З формули

$$V=\frac{1}{3}\cdot S\cdot H$$  

висота піраміди дорівнює

$$H=\frac{3V}{S}=3\cdot\frac{32}{4^2}=6$$  

Бічну поверхню (тобто її площу) правильної трикутної піраміди SABC обчислюють за формулою:

Sб=Poc*l, де Poc – периметр основи (трикутника ABC);

l=SM – апофема, висота бічної грані.

Периметр основи (правильного трикутника ABC) зі стороною AB=BC=AC=6 см:

Poc=AB+BC+AC=6+6+6=18 см.

Розглянемо бічну грань SAB.

Оскільки у правильної піраміди всі бічні ребра рівні, то трикутник SAB – рівнобедрений з основою AB=6 см і бічними сторонами SA=SB=5 см.

Проведемо висоту бічної грані SM – апофему піраміди до сторони основи AB, SM⊥AB.

За властивістю рівнобедреного трикутника:

SM – медіана і бісектриса ΔSAB, звідси маємо AM=MB=3 см.

У прямокутному трикутнику SAM (∠SMA=90) відомо SA=5 см – гіпотенуза, AM=3 см – катет.

За теоремою Піфагора знайдемо катет SM=l:

SM2=SA2-AM2, звідси

$$l=SM=\sqrt[]{SA^2-AM^2}=\sqrt[]{5^2-3^2}=4$$  

Площу бічної поверхні правильної трикутної піраміди знаходимо за формулою:

$$S=\frac{1}{2}\cdot P\cdot l=\frac{1}{2}\cdot18\cdot4=36\ см^2$$  

На малюнку зображено правильну чотирикутну піраміду QABCD, AD = 8 см - сторона основи, яка є квадратом, QK = 3 см - висота піраміди. S повн = S біч + S осн.

S_0CH = AD2 = 82 = 64 (см2).

QM - висота, медіана ∆QDC. Оскільки М середина CD, а К – середина АС, то КМ - середня лінія ∆ACD. Тому КМ = AD/2 = 8/2 = 4 (см). 

$$\Delta QKM\left(\angle K=90\degree\right):\ QM=\sqrt[]{QK^2+KM^2}=\sqrt[]{3^2+4^2}=5$$  

S біч = pl, де р - півпериметр основи, l = QM - апофема.

S біч = (4*8/5)*5=80см²

Sповн = Sбіч + Sосн = 64 + 80 = 144.

Нехай SАВСD - правильна чотирикутна піраміда , SАС - її діагональний переріз. За умовою AD =D C = 3 , SA = QC = 5cм

З DADC (<D = 90°): $$AC=\sqrt[]{AD^2+DC^2}=\sqrt[]{\left(3\sqrt[]{2}\right)^2+\left(3\sqrt[]{2}\right)^2}=6\ см$$  

Тоді периметр перерізу Р = 6 + 5 + 5 = 16(см).