ДЗ №5 Хард | Піраміда

Основою піраміди MABCD є паралелограм ABCD, діагональ BD якого дорівнює 4 см. Висота піраміди проходить через точку перетину діагоналей основи, а бічне ребро MA, що дорівнює 8 см, утворює з площиною основи кут 45°. Знайдіть ребро MD.

• 8

• 4√2

• 2

• 6

На рисунку зображено розгортку піраміди, що складається з квадрата, сторона якого дорівнює 10 см, і чотирьох правильних трикутників. Визначте площу бічної поверхні цієї піраміди (у см²).

• 10√3

• 100

• 400√3

• 100√3

• 200

Answer explanation

Висота правильної чотирикутної піраміди дорівнює 3 см, а бічне ребро – 5 см. Визначте косинус кута між бічним ребром і площиною основи.

• 4/5

• 1/5

• 3/5

• 4/3

• 3/4

Скільки всього граней у піраміди, яка має 12 ребер?

• 4

• 6

• 7

• 12

• 13

Answer explanation

Якщо піраміда має 12 ребер, то вона відповідно має 6 бічних граней. Додамо основу, маємо усього 7 граней.

Яке найменше число граней може бути у піраміди?

• 2

• 3

• 4

• 1

Answer explanation

Оскільки трикутник – многокутник з найменшою кількістю сторін, який може лежати в основі піраміди, то піраміда матиме щонайменше 4 грані.

В основі піраміди лежить прямокутний трикутник із кутом 15°. Усі бічні ребра піраміди нахилені до площини основи під кутом 60°. Радіус кулі, описаної навколо піраміди, дорівнює 6 см. Обчисліть об’єм піраміди.

У відповідь запишіть тільки число.

(a)  

Answer explanation

Усі бічні ребра піраміди нахилені до площини основи під кутом 60°, отже, основа висоти піраміди, проведеної до площини (АВС) – центр описаного навколо ΔАВС кола. У прямокутному трикутнику це середина гіпотенузи АВ.

Куля описана навколо піраміди – центр кулі точка О1 належить висоті DO. DO₁ = O₁A = O₁B = O₁C = 6 см.

DC, DB, DA – похилі; OC, OB, OA – їхні проекції. Отже, ∠(DB; (ABC)) = ∠(DC; (ABC)) = ∠(DA; (ABC)) = 60°.

∠DBO = ∠DCO = ∠DAO = 60°.

ΔADB: ∠A = ∠B = 60°. Отже, ∠D = 60°. ΔADB – рівносторонній, точка О₁ – центр описаного кола (O1D = O1B = O1A = 6 см). AB = O1D√3 = 6√3 см.

ΔABC: ∠C = 90°, AC = ABcos15° = 6√3cos15°.

S(ABC) = 1/2*AB*AC*sin15°=1/2 6√36√3cos15°sin15°= 3*9*2sin15°cos15°= 27*2sin15°cos15°= 27sin30°= 27/2 см2.

За властивістю медіани:

DO₁/O₁O=2/1

DO=3/2*DO1=3*6*1/2=9 см.

V=1/3*S(ABC)*DO=1/3*27/2*9=81/2=40,5 см³.

Сторона основи правильної чотирикутної піраміди дорівнює 4 см, а об’єм – 32 см³. Знайдіть висоту піраміди (у см).

У відповідь запишіть тільки число.

(a)  

Сторона основи правильної трикутної піраміди дорівнює 6 см, а бічне ребро – 5 см. Знайти бічну поверхню піраміди.

• 30 см^2

• 12 см^2

• 36 см^2

• 72 см^2

• 45 см^2

Знайти площу повної поверхні правильної чотирикутної піраміди, сторона основи якої дорівнює 8 см, а висота - 3 см.

У відповідь записати тільки число.

(a)  

Answer explanation

Знайти периметр діагонального перерізу правильної чотирикутної піраміди, сторона основи якої дорівнює 3√2 см, а бічне ребро - 5 см.

У відповідь запишіть тільки число.

(a)  

Answer explanation