O — точка перетину діагоналей паралелограма ABCD. Знайти сторону AB, якщо периметр трикутника COD дорівнює 15 см, АС = 10 см, BD = 8 см.

• 15 см

• 10 см

• 8 см

• 6 см

• 4 см

Бісектриса тупого кута паралелограма MNDP поділяє сторону MP на відрізки 8 см і 10 см, рахуючи від вершини гострого кута. Знайти периметр паралелограма (у см).

Answer explanation

Бісектриса кута N прямокутника MNFK ділить сторону MK на відрізки у відношенні 5 : 2, починаючи від вершини M. Знайти більшу сторону прямокутника, якщо його периметр дорівнює 72 см.

• 15 см

• 3 см

• 21 см

• 36 см

Answer explanation

Нехай MNFK — прямокутник, про який йдеться в умові задачі. Оскільки NA — бісектриса кута N, то ∠1 = ∠2.

NF || MK, NA — січна, тому ∠2 = ∠3 як внутрішні різносторонні.

Отже, ∠1 = ∠3 і трикутник NMA — рівнобедрений з основою NA.

Отже, MN = MA. Нехай MA = 5x см, тоді AK = 2x см.

MK = MA + AK;

MK = 5x + 2x = 7x см.

Маємо 2*(7х+5х) = 72

12х = 36

х = 3.

Тоді MK = 21 см, MN = 15 см.

Більша сторона дорівнює 21 см.

Сторона ромба утворює з діагоналями кути, градусні міри яких відносяться як 4 : 5. Знайти менший кут ромба.

• 80°

• 100°

• 90°

• 40°

• 50°

Answer explanation

Нехай ABNK — ромб, про який йдеться в умові задачі.

Нехай ∠KAP = 4x°, тоді ∠AKP = 5x°. За властивістю діагоналей ромбі BK ⊥ AN, тому трикутник APK — прямокутний.

У цьому трикутнику: ∠KAP + ∠AKP = 90°.

Складемо рівняння:

4x + 5x = 90

9x = 90

x = 10

Тоді ∠KAP = 40°, а ∠AKP = 50°.

Так як діагоналі ромба бісектриси його кутів, то ∠A = 2∠KAP = 80°, який є меншим кутом ромба.

Відстань від точки перетину діагоналей квадрата до однієї з його сторін дорівнює 7 см. Знайти периметр квадрата (у см).

Answer explanation

Знайти кути чотирикутника, якщо відомо, що три з них, взяті послідовно, відносяться як 5 : 3 : 4 і навколо цього чотирикутника можна описати коло.

• 50°, 110°, 130°, 70°

• 80°, 20°, 130°, 130°

• 100°, 60°, 80°, 120°

• 80°, 120°, 110°, 50°

• 110°, 90°, 80°, 80°

Answer explanation

Нехай коло описане навколо чотирикутника MNKD.

∠M : ∠N : ∠K = 5 : 3 : 4. Оскільки навколо чотирикутника описане коло, то ∠M = 5х°, тоді ∠N = 3х°, ∠K = 4х°.

5x + 4x = 180;

9x = 180;

x = 20;

Тоді 5x = 5*20 = 100; 3x = 3*20 = 60; 4x = 4*20

= 80.

Отже, ∠M = 100°, ∠N = 60°, ∠K = 80°. ∠D + ∠N = 180°;

∠D = 180° - ∠N = 180° - 60° = 120°.

Діагональ ромба, що виходить з вершини кута 60°, дорівнює 24 см. Знайти радіус кола, вписаного в ромб (у см).

Answer explanation

Нехай ABCD — ромб, про який йдеться в умові.

За властивістю діагоналей ромба: BO = OD = 0,5*24 = 12 см.

∠ABO = ∠CBO = 60° : 2 = 30°. Проведемо KO ⊥ AB.

KO — радіус вписаного кола. Трикутни

BKO — прямокутний, бо KO ⊥ AB.

За властивістю катета, що лежить проти кута 30 градусів, KO = 0,5BO = 0,5*12 = 6 см.

Середня лінія трапеції дорівнює 12 см, а більша основа — 14 см. Знайти меншу основу.

• 6 см

• 7 см

• 10 см

• 12 см

Answer explanation

У прямокутній трапеції менші основа дорівнює 21 см. Обчислити площу трапеції (у см²), якщо довжина кола, вписаного в неї, дорівнює 24π см.

Answer explanation

Скільки сторін має многокутник, якщо в ньому можна провести 20 діагоналей?

• 10

• 15

• 5

• 8

• 6