Передбанник | 8 день: алгебра

$$f'\left(x\right)=\left(tg\ \frac{x}{4}\right)'=\frac{1}{\cos^2\left(\frac{x}{4}\right)}\cdot\left(\frac{x}{4}\right)'=\frac{1}{4\cos^2\left(\frac{x}{4}\right)}.$$  

$$f'\left(x\right)=\left(5e^{4x-3}-8\right)'=5\left(e^{4x-3}\right)'=20\cdot e^{4x-3};$$  

Якщо х = 0,75, то

$$f'\left(0,75\right)=20e^{4\cdot0,75-3}=20e^0=20.$$  

Функції $$y=\sin x,\ y=\frac{2}{x-1},\ y=\left(x-1\right)^2$$  не проходять через точку А(1; 1), тому вони не можуть мати дотичної в цій точці.

Для функції у = х³ маємо:

$$y'=3x^2;\ y'\left(1\right)=3$$  

За формулою дотичної $$y=y'\left(x_0\right)\left(x-x_0\right)+y_0$$   отримаємо:

$$y=3\left(x-1\right)+1=3x+2$$  

$$3x-y-2=0$$  — рівняння дотичної

$$f'\left(x\right)=\left(x-\frac{1}{3x^2}\right)'=\left(x-\frac{1}{3}x^{-2}\right)'=1+\frac{2}{3}x^{-3}=1+\frac{2}{3x^3}$$  

Тоді $$tg\alpha=f'\left(\frac{1}{3}\right)=1+\frac{2}{3\cdot\left(\frac{1}{3}\right)^3}=1+\frac{2\cdot27}{3}=1+18=19$$  

Знайдемо похідну функції x(t):

$$x'\left(t\right)=\left(3t^2+9\ln t+7\right)'=6t+\frac{9}{t}.$$  

Отже, $$v\left(t\right)=6t+\frac{9}{t}.$$  

Знайдемо прискорення $$a\left(t\right)=v'\left(t\right)=6-\frac{9}{t^2}.$$  

За умовою, a(t) = 2 см/c²;

Маємо рівняння:

$$6-\frac{9}{t^2}=2;$$  

$$\frac{9}{t^2}=4;$$  

$$t^2=\frac{9}{4}$$  

Так як t > 0, то t = 1,5 c.

$$\int_1^4\ \frac{2}{\sqrt[]{x}}dx=4\sqrt[]{x}\int_1^4=4\ \sqrt[]{4}-4\sqrt[]{1}=8-4=4$$  

$$F\left(x\right)=\sin x+C$$  

Підставимо координати точки $$M\left(\frac{\pi}{6},1\right)$$  до рівняння первісної:

$$1=\sin\left(\frac{\pi}{6}\right)+C;\ 1=\frac{1}{2}+C;\ C=\frac{1}{2}$$  Отже, первісна має вигляд:

$$F\left(x\right)=\sin x+\frac{1}{2}$$  

Спочатку побудуємо графік функції $$y=6x^2-6$$ . Знайдемо площу зафарбованої фігури:

$$S=\int_{-1}^1\left(0-\left(6x^2-6\right)\right)dx=\int_{-1}^1\left(6-6x^2\right)dx=\left(6x-2x^3\right)\int_{-1}^1=6-2-\left(-6+2\right)=8$$  

Шлях — це інтеграл від швидкості.

$$S=\int_0^3vdt=\int_0^3\left(4t^3-6t^2\right)dt=t^4-2t^3=3^4-2\cdot3^3=81-54=27\ м$$