ДЗ12 "Комбінації фігур"

Прямокутний паралелепіпед, сторони основ якого 6 дм і 8 дм, вписано в циліндр з висотою 14 дм. Знайти радіус основи циліндра, площу його осьового перерізу і бічної поверхні, об'єм циліндра

У відповідь запишіть отримані значення через кому без пробілів(наприклад, 00,00пі)

(a)  

Answer explanation

Позначимо точку перетину діагоналей основи О - ця точка також буде центром основи циліндра.

За т. Піфагора можемо знайти діагональ основи: 10 дм, а радіус основи циліндра - половина діагоналі, тобто 5 дм.

Площа осьового перерізу циліндра - площа прямокутника зі сторонами 10 дм і 14 дм. S = 10 * 14 = 140 дм²

Бічна поверхня = πRH = 10 * 14 * π = 140π дм²

Об'єм циліндра = πr²H = π * 5² * 14 = 350π дм³

У відповідь: 5,140,140пі,350пі

Якщо кулю вписано в циліндр, висота якого дорівнює 6 см, то площа поверхні кулі дорівнює

• 18π см²

• 32π см²

• 36π см²

• 64π см²

• Інша відповідь

Answer explanation

В такому випадку висота циліндра дорівнює діаметру сфери і буде 6 см, звідки радіус = 3 см.

Тоді поверхня сфери = 4πr² = 4π*3² = 36π см²

Якщо площа поверхні кулі дорівнює 16π см², то площа повної поверхні циліндра, описаної навколо кулі дорівнює

• 60π см²

• 40π см²

• 30π см²

• 20π см²

• 16π см²

Answer explanation

Діаметр сфери буде дорівнювати діаметру основи циліндра. З площі сфери визначимо радіус:

16π = 4πr²

r² = 4

r = 2 см - такий же радіус буде в основі циліндра і половиною висоти, тоді H = 4 см.

S_п = πrH + 2πr² = 8π + 8π = 16π

У конус, осьовий переріз якого є рівностороннім трикутником, твірна дорівнює 10  см. Знайдіть радіус кулі, описаної навколо конуса

• 5 см

• Інша відповідь

У конус, осьовий переріз якого є рівностороннім трикутником, твірна дорівнює 10  см. Знайдіть радіус кулі, вписаної в конус

• 10 см

• Інша відповідь

Навколо конуса, висота якого дорівнює 10√3 см, описано піраміду, основою якої є ромб з висотою 20 см і гострим кутом 30^о. Знайти:

1) кут між твірною конуса і площиною його основи

2) Площу бічної поверхні піраміди

У відповідь запишіть отримані значення через кому без пробілів(наприклад, 00,00)

(a)  

Answer explanation

Оскільки піраміду описано навколо ко­нуса, то всі її бічні грані мають рівні висоти і нахи­лені до основи під однаковими кутами.

Проведемо ΜΝ (твірну конуса, або висоту бічної грані пірамі­ди): ΜΝ ⊥ АВ , ON — її проекція, отже, ON ⊥ АВ (за теоремою про три перпендикуляри).

ON — радіус кола, вписаного в ромб, дорівнює половині висоти ромба, ON = 10 см.

<ΜΝΟ — кут між твірною і основою, tg<MNO = √3, <MNO = 60°, <ΝΜΟ = 30°, ΜΝ = 20 см, AD = 2 · 2r = 40 (см).

Площа бічної поверхні піраміди = 2 · АВ · MN = 2 · 40 · 20 = 1600 (см²).

Навколо циліндра, висота якого 15 см, а радіус основи 5 см, описано пряму призму. Основою при­зми є ромб зі стороною 12 см. Знайти площу осьово­го перерізу циліндра, об'єми призми і циліндра

У відповідь запишіть отримані значення через кому без пробілів(наприклад, 00,00пі)

(a)  

Answer explanation

Призму описано навколо циліндра, тому площи­ни їх основ збігаються, довжина твірної циліндра дорівнює його висоті і довжині бічного ребра при­зми. Отже, АА₁ = 15 см.

Висотою ромба, що лежить в основі призми, є К₁М₁ — діаметр кола основи циліндра.

Осьовий переріз циліндра K₁KMM₁ — прямокут­ник, КМ = 10см, MM₁ = 15см. Площа осьового перерізу S = KM · MM₁ = 10 · 15 = 150 (см²).

Об'єм призми обчислюємо за формулою V = S_oH.

 S_o = AD · KM = 12 · 10 = 120 (см²), V_п = 120 · 15 = 1800 (см³).

Об'єм циліндра обчислюємо за формулою V = πr²H , де r = O₁K₁,

V = π·25·15 = 375π (см³).

У конус вписано правильну трикутну піраміду. Сторона її основи дорівнює а, кут між площинами основи і бічної грані α . Знайти радіус основи і площу осьового перерізу. У відповідь запишіть радіус основи 3R/√3 і площу осьового перерізу 6S/a²tgα

У відповідь запишіть отримані значення через кому без пробілів(наприклад, 00,00)

(a)  

Answer explanation

У конусі твірна дорівнює 10 см і утворює з площиною основи кут 30 ̊. Знайдіть радіус сфери, описаної навколо конуса

У відповідь запишіть 3R

(a)  

Answer explanation

Радіусом сфери буде радіус описаного кола навколо осьового перерізу конуса. Знайдемо висоту конуса, розглянувши відповідний прямокутний три-к, за означенням косинуса або в-тю катета, що лежить проти кута 30^о. У будь-якому випадку висота буде = 5 см. Оскільки осьовий переріз є рівнобедреним трикутнимом, то його висота буде медіаною, а медіана ділиться у відношенні 2 : 1 рахуючи від вершини. Звідси можемо скласти рівняння: 2х + х = 5

3х = 5

х = 5/3

R = 2x = 2 * 5 / 3 = 10/3 см

Для будівництва школи потрібно привезти 18 плит перекриття, виготовлених із залізобетону, гус­тина якого 2200 кг/м³. Плита має вигляд прямокут­ного паралелепіпеда шириною 1,3 м, довжиною 4,9 м і висотою 0,2 м. У цій плиті проходять наскрізні (на всю довжину) 6 отворів, діаметр кожного з яких до­рівнює 0,16 м. Скільки ходок 10-тонного автомобіля слід замовити для перевезення плит?

Всі обчислення виконувати за прави­лами дій з наближеними числами, відповідь записати натуральним числом. Масу плити можна обчислити наступною формулою: m = ρV

У відповідь запишіть отримані значення через кому без пробілів(наприклад, 00,00)

(a)  

Answer explanation

Об'єм прямокутного паралелепіпеда V= 1,3 · 4,9 · 0,2 ≈ 1,27 (м³).

Об'єм циліндричного отвору V_ц = πr²Н = 3,14 · 0,08² · 4,9 ≈ 0,10 (м³).

Об'єм плити дорівнює V - 6V_ц * V_плити = 1,27 – 6 · 0,10 = 0,67(м³).

Маса плити m = 2200 · 0,67 = 1474 (кг) ≈ 1,5 т; 10-тонний автомобіль може перевезти 10 : 1,5 ≈ 6 плит.

Тобто, для перевезення 18 плит потрібно замовити 3 ходки